1、第一节,傅里叶级数,第十五章,一、三角级数 三角函数系的正交性,二、以2为周期的函数的傅里叶级数,三、正弦级数和余弦级数,一、三角级数 三角函数系的正交性,1. 研究意义,( A: 振幅,复杂周期运动 :, :角频率,: 初相 ),(谐波迭加),简单周期运动 :, 三角级数,2 回顾,优点：,缺点：,易于计算,3. 函数展开成三角级数的基本问题,an = ?, bn = ?,展开式是否唯一?,(2) 在什么条件下才能展开成三角级数?,(3) 三角级数的收敛域? 展开式成立的范围？,定义,(正交函数系),正交函数系.,4.三角函数系数的正交性,定理1,三角函数系,证,类似地，得,上的积分不等于
2、0 .,三角函数系中任两相同函数的乘积在,注 1,2,正交性:,二、以2 为周期的函数的傅里叶级数,1. 函数展开成三角级数的形式,定理2 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 若,唯一的, 且, 傅里叶系数,证,对(3)逐项积分, 得,由正交性, 值为零,(3) cosnx, 再积分,由正交性,(3) sinnx, 再积分,2. 傅里叶系数,或,(4),定义,(傅里叶级数),3. 傅里叶级数,问题:,其中,定理2 (收敛定理, 展开定理),设以2为周期的函数 f (x),满足狄利克雷条件:,1) 连续，或最多只有有限个第一类间断点;,2) 最多只有有限个极值点,则 f (x) 的傅里
3、叶级数在(-,+ )处处收敛 , 且,在一个周期内,4. 函数展开成傅里叶级数的充分条件,注,函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.,x 为f (x)的间断点,x 为f (x)的连续点,例1,解,5. 展开步骤,例2,上的表达式为,将 f (x) 展成傅里叶级数.,解,设 f (x) 以 2 为周期 ,3 所求函数的傅里叶展开式为：,例3,设 f (x) 以 2 为周期 ,上的表达式为,解,将 f (x) 展成傅里叶级数.,an=0,傅氏级数的部分和逼,注,近 f (x) 的情况见右图.,矩形波是无穷多正弦波的叠加,傅氏级数的意义整体逼近,播放,三、正弦级数和余弦级数,2.奇、
4、偶函数(周期:2 )的傅里叶级数,定理3 周期为 2 的奇(偶)函数f (x),为正(余)弦级数,傅里叶系数为,和,1.定义,正(余)弦级数:,其傅里叶级数,例4,解,将f(x)展成傅里叶级数 .,设 f (x) 以 2 为周期 ,上的表达式为,f(x)为偶函数(如图),可展成余弦级数.,当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得,注,函数展开成傅里叶级数的应用：,求数项级数的和:,设,已知,内容小结,1. 函数(周期: 2)的傅里叶展开:,其中,注 若,为间断点,则级数收敛于,2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数,奇函数,正弦级数,偶函数,余弦级数,处收敛于,则它的傅里叶级数在,
5、在,处收敛于 .,提示,设周期函数在一个周期内的表达式为,思考题,备例1 设,f (x)x ,将 f (x) 展成傅里叶级数.,以2 为周期,解 不计,奇函数.,的表达式为,周期为2 的,n1,由收敛定理得正弦级数:,级数的部分和,n2,n3,n4,逼近 f (x) 的情况见右图.,n5,注,备例2 将周期函数,展成傅里叶级数.,(常数 E 0),解,是以2 为,周期的偶函数 .,备例3 设,是以 2 为周期的函数 ,其傅氏,则,的傅氏系数,提示,令,系数为,傅里叶 (1768 1830),法国数学家.,他的著作热的解析,理论(1822) 是数学史上一部经典性,书中系统的运用了三角级数和,三角
6、积分,他的学生将它们命名为傅,里叶级数和傅里叶积分.,最卓越的工具.,以后以傅里叶著作为基础发展起来的,文献,他深信数学是解决实际问题,傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展,都产生了深远的影响.,狄利克雷 (18 05 1859),德国数学家.,对数论, 数学分析和,数学物理有突出的贡献,是解析数论,他是最早提倡严格化,方法的数学家.,函数 f (x) 的傅里叶级数收敛的第一个充分条件;,了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和,举例说明条件收敛级数不具有这样的性质.,他的主要,的创始人之一,并,论文都收在狄利克雷论文集 (1889一1897)中.,1829年他得到了给定,证明,傅氏级数的意义整体逼近,傅氏级数的意义整体逼近,傅氏级数的意义整体逼近,傅氏级数的意义整体逼近,傅氏级数的意义整体逼近,傅氏级数的意义整体逼近,傅氏级数的意义整体逼近,傅氏级数的意义整体逼近,傅氏级数的意义整体逼近,傅氏级数的意义整体逼近,傅氏级数的意义整体逼近,傅氏级数的意义整体逼近,傅氏级数的意义整体逼近,傅氏级数的意义整体逼近,(1) 三角级数与幂级数的特点对照.,有,无,繁,简,弱(比连续弱),强( f (n)(x)存在),区间(简),大(复杂),
