1、黑龙江省哈尔滨市第六中学 2009 届高三第一次模拟考试数学文科试卷本试卷分第卷(选择题)和第 卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考试用时 120 分钟；第卷（选择题 满分 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 21|log,1|(),02xAyxBy，则 AB为 （ ）A )2,0(B )(C D (,2)2函数 12l3yx的递减区间为 （ ） A , B 4, C ,21 D ,433函数 xxf 3sin)23sin()的图象相邻的两条对称轴之间的距离是 （ ）A、 B、 6 C、
2、 D、 4已知向量 )1,(xa， b(1, x1)，则 |ba的最小值是 （ ）A1 B 2C 3D25已知数列 n为等差数列，且 1714a，则 1tn()a （ ）A 3 B C D 6下面给出四个命题： 直线 l与平面 内两直线都垂直，则 l； 经过直线 a有且仅有一个平面垂直于直线 b； 过平面 外两点，有且只有一个平面与 垂直； 直线 l同时垂直于平面 、 ，则 ；其中正确的命题个数为 （ ）A、 0 B、1 C、2 D、37一次文艺演出中，需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯共 15 只，以不同的点亮方式增加舞台效果，设计者按照每次点亮时，恰好有 6 只是关的，且相邻的灯不能同时
3、被关掉，两端的灯必须点亮的要求进行设计，那么不同点亮方式的种数是 （ ）A28 B84 C180 D3608直线 0axby与圆 230xy的位置关系是 （ ）A相交 B相离 C相切 D与 a、 b的取值有关9已知 x，y 满足63， za若 的最大值为 93，最小值为 3，则 a 的范围为 （ ）A 1 B 1a C 1 D 1a或10函数 )2()(xxf 是偶函数，则曲线 )(xfy在 处的切线方程是 （ ）A 42xyB xyC 2xyD xy211椭圆 1 0aba的中心、右焦点、右顶点、右准线与 轴的交点依次为 OFH、 、 、 ，则 |AO的最大值为 （ ）A 2 B 3 C 1
4、4 D不能确定 12如图，已知平面 平面 ， 、 B是平面 与平面 的交线上的两个定点，,DC，且 ， ， A， 8， 6AB，在平面 内有一个动点 P，使得 P，则 的面积的最大值是 （ ）A 24 B 3 C 12 D 4第卷 （非选择题 满分 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填写在答题纸相应位置上13二项式 6)2(x的展开式中常数项为 ；14在四面体 ABCD 中，三组对棱棱长分别相等且依次为34、 1、5，则此四面体 ABCD 的外接球的半径 R 为 ；15已知 2F、 分别为双曲线21(0,)yab的左右焦点， P为双曲线左支上的一点，
5、若 1|8|Pa，则双曲线的离心率的取值范围是 ；16对于函数 xxfcosin)(, 给出下列命题： 存在 2,0, 使 34)(f； 存在 )(, 使 )(f恒成立； 存在 R, 使函数 )(xf的图象关于 y 轴对称； 函数 ()fx的图象关于点 0,4对称； 若 0,2, 则 ()12f；其中正确命题的序号是 ；三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本题满分 10 分）在 ABC中，角 、 、 的对边分别为 abc、 、 ， (2,)bcam，(cos,)n，且 mn；（1）求角 的大小；（2）当 2isi()6yB取最大值时，求角
6、B的大小；18. （本题满分 12 分）在教室内有 10 名学生，分别佩带着从 1 号到 10 号的校徽，任意选 3 人记录其校徽的号码；（1）求最小号码为 5 的概率；（2）求 3 个号码中至多有一个偶数的概率；（3）求 3 个号码之和不超过 9 的概率；19. （本小题满分 12 分）如右图，将一副三角板拼接，使它们有公共边 BC，且使两个三角板所在平面互相垂直，若90BACD， ABC， 60D， （）求证：平面 平面 （）求二面角 的平面角的余弦值（）求 到平面 的距离20. （本题满分 12 分）设函数 axxf231)(， bxg2)(，当 21时， )(xf取得极值；(1) 求
7、a的值，并判断 f是函数 )(f的极大值还是极小值；(2) 当 4,时，函数 与 的图象有两个公共点，求 b的取值范围；21. （本题满分 12 分）已知数列 na中， 2111, (,)nnnaaN，且 1nak；（1）求证： k；（2）设1()!nxg， ()f是数列 ()gx的前 项和，求 ()fx的解析式；（3）求证：不等式 32f对于 nN恒成立；（3） 问只理科生做，文科生不做 ）22 （本题满分 12 分） ABCD在ABC 中， 32AC，B 是椭圆 1452yx的上顶点，l 是双曲线 22yx位于x 轴下方的准线，当 AC 在直线 l 上运动时（1）求ABC 外接圆的圆心 P
8、 的轨迹 E 的方程；（2）过定点 F(0， 2)作互相垂直的直线 l1、l 2，分别交轨迹 E 于 M、N 和 R、Q；求四边形 MRNQ 的面积的最小值；文科数学试卷答案一、选择题： 1. C 2. A 3.C 4. B 5. A 6.B 7. A8. A 9. C 10. D11. C 12. C二、填空题： 13. 60 14. 5215. (1,3 16. 三、解答题：17 （本题满分 10 分）在 ABC中，角 、 、 的对边分别为 abc、 、 ， (2,)bcam，(cos,)n，且 mn；求角 的大小；当 2isi()6yB取最大值时，求角 B的大小；解：由 n，得 0A，从
9、而 (2)cos0bAaC由正弦定理得 sicosiniC2sincosi()0,2sincosi0BACBA,0,)， 1， 3 （4 分） 2sini()(cos2)incos2sin666y B311icosi6BB由 ()得， 270,62时，即 3时， y取最大值 （10 分）18. （本题满分 12 分）在教室内有 10 名学生，分别佩带着从 1 号到 10 号的校徽，任意选 3 人记录其校徽的号码；（1）求最小号码为 5 的概率；（2）求 3 个号码中至多有一个偶数的概率；（3）求 3 个号码之和不超过 9 的概率 (1) 解：从 10 人中任取 3 人，共有等可能结果 310C
10、种，最小号码为 5，相当于从6，7，8，9，10 共 5 个中任取 2 个，则共有 25种结果，则最小号码为 5 的概率为：123051CP4 分(2) 解：选出 3 个号码中至多有 1 个偶数包括没有偶数和 1 个偶数两种情况，取法共有 60251种，所以满足条件的概率为： 216032CP 8 分(3) 解：三个号码之和不超过 9 的可能结果为(1，2 ，3)，(1，2，4)，(1，2 ，5)，(1，2，6)，(2，3， 4)，(1，3 ，4)，(1，3，5)，则所求概率为： 1073 12 分19 （本小题满分 12 分）解：（）由于平面 ABC平面 D，且 BC，那么 BD平面 AC，
11、而 平面ABC，则 D，又 A, ，所以 平面，又因为 平面 ,所以平面 平面 A；（）取 中点 E，作 FC于 ，连 ,EF，则 平面 BC， AFE为二面角ACB的平面角。Rt中， 6，则 32AB， 3A， C， 32E， EDFBCRtEFA中， tan2AEF二面角 CDB的正切值为 2；（）作 BH于 ，则 H平面 ACDRtA中， 23， 0， 65B，即 到平面 CD的距离为 65。20 (本大题满分 12 分)设函数 axxf231， bxg2)(，当 21时， )(xf取得极值。(1)求 a的值，并判断 (f是函数 f的极大值还是极小值；(2)当 4,时，函数 )与 (的图
12、象有两个公共点，求 b的取值范围；解：（1）由题意 axf2)( 当 21x时， )(xf取得极值， 02(f 01 即 1a此时当 x时， 0)(f，当 时， )(f，)1(f是函数 x的极小值； 4 分（2）设 )(g，则 03123bx， x3123设 xxF3)(2， G)(2，令 032xF解得 1x或 3， 列表如下：)1,( ),(,4)4)(x _ 0 +F9359320函数 )(x在 )1,3和 4,(上是增函数，在 ),1(上是减函数；当 时， 有极大值 )F；当 x时， )(xF有极小值 9)(；函数 )(xf与 g的图象有两个公共点， 函数 与 G的图象有两个公共点35
13、20b 或 9b9)35,20( 12 分21. （本题满分 12 分）已知数列 na中， 2111, (,)nnnaaN，且 1.nak（1）求证： 1k；（2）设 ()!naxg， ()f是数列 ()gx的前 n项和，求 ()fx的解析式；（3）求证：不等式 32f对于 N恒成立。（1） 11kna， 12ka又因为 )*,(,111 nnnn ，则 213a，即 231a，又 23ka， k2， .4 分（2） 1n， !12)(121 nnaann .6 分因为 1)!()xxg，所以当 x时， )(3f .8 分当 1时， 123nf ，-： nnxxxfx11)(12 ， xnf)
14、()2.综上所述， 1,)1(2)()xfn12 分22 （本题满分 12 分）在ABC 中， 32AC，B 是椭圆 452yx的上顶点，l 是双曲线 22yx位于x 轴下方的准线，当 AC 在直线 l 上运动时(1) 求ABC 外接圆的圆心 P 的轨迹 E 的方程；(2) 过定点 F(0， 23)作互相垂直的直线 l1、l 2，分别交轨迹 E 于 M、N 和 R、Q求四边形 MRNQ 的面积的最小值(1)解：（解法一）由椭圆方程 452yx及双曲线方程 22yx可得点 B(0，2)，直线 l 的方程是 1y 3AC，且 AC 在直线 l 上运动.可设 )1()3( ，mA，则 AC 的垂直平
15、分线方程为 x AB 的垂直平分线方程为 )23(32mxy P 是ABC 的外接圆圆心， 点 P 的坐标(x，y) 满足方程和.由和联立消去 m 得： )23(321xxy，即 261xy.故圆心 P 的轨迹 E 的方程为 6 6 分（解法二）利用直线被圆截得的弦长公式（勾股定理）求轨迹方程也可；(2)解：如图，直线 l1 和 l2 的斜率存在且不为零，设 l1 的方程为 23kxyl 1l 2，l 2 的方程为 231xky由 263xyk得 0960362k，直线 l1 与轨迹 E 交于两点.设 M(x1，y 1)， N(x2，y 2)，则 9212kx， )1(634(| 2211 kkxMN 同理可得： )6|2kRQ 9 分四边形 MRNQ 的面积 |)|(|2|2| RFQMNRFQFMNS 1(81)(136|212 kkN 7)(82k当且仅当 21，即 1时，等号成立.故四边形 MRNQ 的面积的最小值为7212 分
