1、非整数量子跃迁,张启仁,北京大学 技术物理系,(普朗克情结),Commun. Theor. Phys. 47(2007)1017-1023, quant-ph/0512028,目 录,玻尔条件 共振还是能量守恒激光光电效应 II.1 爱因斯坦的光电效应理论 II.2 圆偏振激光在氢原子上光电效应的 非微扰理论 1.圆偏振激光光电效应的形式理论 2.计算方法 3.数值结果,分立能级间的跃迁 III.1 赝薛定谔方程与跃迁概率 III.2 微扰与玻尔条件 III.3 非微扰与玻尔条件的破坏IV. 认识论意义,I. 玻尔条件共振还是能量守恒,一般认为量子跃迁中辐射或吸收的光频须符合玻尔条件,对多光子
2、过程一般地有,(1),(2),其中,为,跃迁系统始末两态能量差.,(1)即,被解释为单光子过程的能量守恒;(2)即,n为整数,被解释为多光子过程的能量守恒.这种解释是近似的,有条件的,因为它忽略了跃迁系统与光子(电磁场)的相互作用能,只当这种相互作用能比系统和光子的能量小得多时才是正确的.,玻尔条件(1)或(2)从来没有严格成立过.原子光谱是线状的,符合(1).然谱线有宽度(自然宽度)即表明(1)并不严格成立.不过线光谱的谱线宽度比谱线间距离窄得多,(1)是很好(但不是严格)成立的.磁共振现象中1.跃迁系统只有有限几个能级,1/2自旋粒子只有两个磁状态,其磁共振可严格求解;2.磁作用强度与磁能
3、级距离可以比拟,不是微扰,磁共振频率位置和磁共振频谱宽度可以比拟,大部分磁跃迁不符合(1)或(2).,一般说来跃迁中,不是,整数,即都是非整数跃迁.,表示,跃迁中系统能量变化一般都不是,的整数,倍.,只是线光谱,非常接近整数,系统能量变化,非常接近,的整数倍罢了.,在量子力学的推导中玻尔条件(1)来自时间,它表示周期过程的共振,条件下,.,(3),严格讲来玻尔条件(1)或(2)表示的不是能量守恒而是共振,是可以违背的.对共振过程成立,对非共振过程可以不成立.,玻尔条件乃是共振条件,II. 激光光电效应,II.1爱因斯坦的光电效应理论,A. Einstein Ann. Phys. (Leipzi
4、g) 17 (1905)132,每种物质有一临界频率, 低于临界频率的光不能在该物质上引起光电效应,高于临界频率的光立即产生光电效应,无时间滞后;光电子能量只与光的频率有关,而与光的强度无关;3. 光电子流强度正比于光强.,早期光电效应的实验规律是:,据此规律,爱因斯坦提出了光电效应的量子理论:,以W表示将一个电子从物资中取出需作的功,称为脱出功,是该物资的一个特征量;T表示光电子动能;,表示引起光电效应的光频;爱因斯坦指出,它们之,间有关系, (4),并以此解释了光电效应的上述实验规律.这是量子论发展过程中的一座里程碑.若令,(4)式即是(1)式,可见爱因斯坦关系(4)是玻尔条件(1)的最早
5、特例.从玻尔条件不必满足可联想到爱因斯坦关系(4)也不一定成立.,(5),量子力学的微扰法导出了爱因斯坦关系(4)和他的光电效应理论.从量子力学的大视野看,爱因斯坦的光电效应理论是一种微扰理论.在发明激光后人们认识到激光与物质的作用不是微扰,不能用微扰法讨论.于是提出了多光子过程,在这种过程中,光电子吸收不止一个光子,爱因斯坦关系(4)被修改为,. (6),采用(5),此式即是(2).其实,这仍然是沿微扰论方向的思维.高阶微扰即可给出多光子跃迁,在这里就给出多光子电离,文献中称MPI(Multi-Photon Ionisation),此问题可相当严格地解出,适宜用来演示光电效应中真正的非微扰效
6、应,II.2 圆偏振激光在氢原子上光电效应的 非微扰理论,1.圆偏振激光光电效应的形式理论Q.-R. Zhang, Phys. Lett. A 216(1996)125激光可很好地当作经典光场.沿z方向传播的圆偏振激光在库仑规范中由一矢势,(7),表示.,由于涉及的电子能量比它的静止能量0.51MeV小得多,电子在轻原子中和在光电效应中的运动可用非相对论量子力学描述(包括不考虑自旋),哈密顿量为, (8),其中V(r)为中心场.忽略原子核的运动, m就是电子的质量.在激光场(7)和中心场V(r)的联合作用下,电子的哈密顿量成为, (9),其中,(10),它是时间有关的.,设电子起始,时处于,的
7、一个本征态,考察它,随时间的发展.在相互作用图象中,电子与激光的相互作用能(10)成为, (11),其中, (12), (13),它们都成为与时间无关的.现在问题化成了一个有效哈密顿量为,(14),的不含时间的单体量子力学问题.,在中心场V(r) 中,可同时确定,因而可将,取为,的共同本征态,因而也是,的本征态.在相互作,用图象中,它从,发展到,时刻,将成为薛定谔图,象中,的本征态 (Gell-Mann Low 定理),M. Gell-Mann and F. Low, Phys. Rev. 84(1951)350,另一方面, 设态,从,时刻发展到,时成为所考,虑的末态,按形式理论它们之间符合L
8、ippmann-Schwinger 方程:,. (15),由于,时激光的作用已卸除,乃是,的本征态,本征值分别为,为态,的磁量子数.,从,到,的跃迁振幅就是从,到,的跃迁振幅.,这两个态在同一时刻, 它们之间的跃迁振幅即是,其中,为,态的,的本征值:,(16),单位时间的跃迁概率便是, (17),为末态在,处的能态密度. 此式是本问题的费米黄金规则.现在它,为等效扰动哈密顿量,是严格的.只是,(18),由于,都与A有关,(17)表示的跃迁概率与光强不会,是简单的正比关系.截面不是表示激光光电效应强度的好量.不过还是可以用它表示,只要记住截面本身与强度有关即可.激光(7)的能量密度为,光子流密度
9、为,.,若不考虑自旋,能态密度为,.代入(17),将所,得除以 j, 即得激光光电效应的微分截面, (19),其中,是精细结构常数,是真空介电常数,是,在磁量子数为,的子空间中的投影.,若取,然而,且,就是电子在一个孤立原子内的能量, (18)即是(6).,不是电子在一个孤立原子内的能量,而是(12)-(14),定义的,的本征值.由(13)看出,它会随A连续变化.这使,(18)和(20)定义的光电子能量T 随激光强度连续变化.若将,固定为孤立原子中电子的能量,.,由于W与,的差(由于,)随光强连续变化,一般地说,光电效应一般为非整数跃迁.,2.计算方法,2.1对(12)-(14)定义的,作幺正
10、变换,得有效哈密顿量,(21),对态作相应的幺正变换,得有效态矢量,(16)式成为,. (23),这是一个比较简单的本征方程,可用数值方法求解. 2.2对氢原子中的电子,. (24),. (22),将(23)写入位置表象. 将,的位置表象,用氢原子的,定态波函数,(25),展开得,. (26),(25)中,分别为氢原子的主量子数,道量子数,磁量子数,为玻尔半径.为了使本征方程在氢原子能量表象中成为,一个代,数方程,(26)右边只取了分立谱,且只保留主量子数,不超过某一最大值的那些态. 在以下的计算中取,的,态,共2109个.这使(23)成为一个,n,l,从这个方程求解贋能量,和有效波矢量,.,
11、2.3 微分截面(19)可在前两步基础上化简.以,为单位,的微分截面为, (27),其中,是一个复杂的解析表达式,在(26)有截断的条件,下是有限和.,3.数值结果,是光电子速度.,c=299792458m/s,取,eV,光电子能量(eV),激光能流密度,临界强度,(18)中的每一值对应此图中的一条曲线.其中光电子能量都随光强连续变化,不符合(4)或(6).若硬表成(6),则其中本来表示光子数的 n 现在要用非整数代替,表示 非整数量子跃迁.在此情形中,量子性不表现在 n 为整数(光量子数)上,而表现在给定频率和强度的光会激发出不同能量的光电子(对应不同的或上图中的不同曲线),它们的 能量差为
12、光量子能量h的整数倍.对每一频率有一临界强度,只有超过临界强度的光才能产生相应的光电效应.,截面的计算归结为下面的计算积分,它可解析地作出:,其中,为汇合超几何函数,一个来自出射电子的,库仑波函数,一个来自氢原子中电子的径向波函数.,为第二类Appell二元超几何函数.在这里是一二,元多项式,只需作有限的数值计算.结果见下页:截面与光强(光子流强)的关系是高度非线性的,违背爱因斯坦定理.表明不是一个个光子分别单独与电子作用,而是激光整体与电子作用. 复杂结构可能携带丰富信息,截面,激光能流密度,III.分立能级间的跃迁,III.1 赝薛定谔方程与跃迁概率,在原子核的库仑场和激光场(7)的联合作
13、用下,电子的哈密顿量,由(9)以及(8)和(10)定义,是时间有关的.这使薛,定谔方程,时间有关而不好解.作变换,(28), (29),得, (30),其中,由(14)以及(12)和(13)定义,是与时间无关的.这使,(30)有定态解.用,(31),表示第 i 定态的位置表象,它满足定态方程,. (32),要注意的是:,并非通常所指的哈密顿量,可称为赝哈密,顿量;它的本征值,也就不是电子能量,而是赝能量; (30),则应称为赝薛定谔方程.,用变换(22)可将(32)变换成有效哈密顿量(21)的本征方程,即(23)的位置表象.实际上,对此处考虑的光波,这使基态或不太高的激发态氢原子中,可将(32
14、),写成,的本征方程,将解写成(26),并按那里的办法求解.,设起始(t=0)时氢原子处于,态,此时激光到达,开始与,氢原子作用. 将始态,用赝定态解(31)展开,按(26),得,赝薛定谔方程(30)有解,. (33),由于(25)中采用了虚归一化因子,系数,皆为实数.,由 nl 态到 nl 态的跃迁概率为,. (34),这是 t 的周期函数,实际观察到的概率为它在宏观时间间隔中的平均.,不同的项的积在这种平均中消失.因而,观察到的平均概率为,由归一性,得归一性,. (35),(36), (37),表明(35)是合理的.,III.2 微扰与玻尔条件,在A很小(弱光)条件下可用微扰法解方程(32
15、).又由于,赝哈密顿量简化为,. (38),这相当于在(21)表示的,去掉含 k 的项.在 A=0 的极限,下,. (39),这便是未被微扰时的赝哈密顿量.在 A 很小,可只考虑其一次幂的贡献,而忽略二次幂的贡献的条件下,微扰赝哈密顿量为,. (40),考虑它,的一个不简并的本征态,例如氢原子基态,在,附近的微扰,以求得,的形如(26)的本征态.不过现在,未被微扰的赝哈密顿量为(39)表示的,如果玻尔条件,(41),不满足,这个态与,的其它本征态也不简并,在,的极限下,的零级近似本征态中,这个态和,的其它,本征态不会同时在叠加式(26)中出现.按(34),它和其它态间的跃迁概率为零.如条件(4
16、1)得到满足,是简并的,此时要,将此二态叠加起来构成正确的零级近似态.按(34),它们之间可以跃迁.具体的推导结果与传统理论一致.可见: 玻尔条件是微扰法的结果 它表示共振,III.3 非微扰与玻尔条件的破坏,用II.2中的计算方法可求出(26)中的展开系数.再按(35)便得到跃迁概率.它们随光强和光量子能量的变化在下二图中.对强激光而言,它们随光强的变化是 连续的,非线性的;它们随频率或光量子能量的变化 没有共振峰,激光能流密度,光子能量(eV),1905年前后,光电相互作用的实验知识还很单薄.没有激光,只有弱光与物质相互作用的粗浅知识.然而正是在此条件下,一些本质的规律(共振)显露出来,未被过于丰富的现象掩盖.这时,爱因斯坦的洞察力才得以发现其中的量子性,为后来建立量子力学奠定了重要基础.在此基础上,发明了激光(一种超强光),并且认识到,如果用这种超强光与物质作用,会出现极为丰富的现象,导致发现量子性的简单现象被掩盖. 幸好最早发明的是弱光源,而不是激光.启示: 不要等待过于丰富的实验现象,IV. 认识论意义,谢 谢,
