1、- 1 -第十二讲 基本初等函数一：教学目标1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质；2、理解基本初等函数的性质；3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数二：教学重难点教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用；教学难点：基本初等函数基本性质的应用三：知识呈现1.指数与指数函数1).指数运算法则：（1） ； （2） ； （3） ；rsrsasrrarrab（4） ； （5） （6）mna1mn ,|nn且2). 指数函数：形如 (0)xya且2.对数函数1）对数的运算：1、互化： Nbaablog2、恒等： Nalog3、换底： cl指数函数 01图 象表达式
2、xya定义域 R值 域 (0,)过定点 1单调性 单调递减 单调递增- 2 -推论 1 推论 2 abalog1llogllogabac推论 3 mn)0(4、 NMNaaalllogog5、 naall2）对数函数：3.幂函数一般地，形如 （ ）的函数叫做幂函数，其ayxR中 a 是常数1)性质：(1) 所有的幂函数在(0,+)都有定义，并且图象都通过点(1, 1);对数函数01图 象表达式 logayx定义域 (0,)值 域 R过定点 (1，0)单调性 单调递减 单调递增- 3 -(2) 如果 ，则幂函数图象通过（0，0） ，并且在区间 0,+) 上是增函数；(3) 如果 ，则幂函数在区间
3、(0,+) 上是减函数，在第一象限内，当 x 从右边趋向于原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴，当 x 趋于+时，图象在 x 轴上方无限逼近 x轴。四：典型例题考点一：指数函数例 1 已知 ，则 x 的取值范围是_2321(5)(5)xxaa分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围解： ，22()4函数 在 上是增函数，(5xya)且 ，解得 x 的取值范围是 31x1414且评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1 的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论例 2 函数 在区间 上有最大值 14，则 a 的值是21(0)xy
4、aa且1且_分析：令 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后 的取值范围xt t解：令 ，则 ，函数 可化为 ，其对称轴a0t21xya2(1)yt为 1t当 时， ，1x且 ，即 xa ta 当 时， t2max(1)4y解得 或 （舍去） ；35当 时， ，01且 ，即 ，xa 1at 时， ，1t2max4y解得 或 （舍去） ，a 的值是 3 或 351评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等例 3 求函数 的定义域和值域216xy- 4 -解：由题意可得 ，即 ，2160x 261x ，故 函数 的定义域是 20x ()f2且令 ，则 ，
5、6tyt又 ， ，即 2x 0x 261x 01t ，即 01t 1函数的值域是 且评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响例 4 求函数 y 的单调区间.231x分析 这是复合函数求单调区间的问题可设 y ,ux 2-3x+2，其中 y 为减函数u3u31ux 2-3x+2 的减区间就是原函数的增区间(即减减增)ux 2-3x+2 的增区间就是原函数的减区间(即减、增减)解：设 y ,ux 2-3x+2,y 关于 u 递减，u31当 x(-， )时，u 为减函数，y 关于 x 为增函数；当 x ，+)时，u 为增函数，y 关于 x 为减函数.23考点二：对数函数例 5 求下
6、列函数的定义域（1）y=log 2（ x2-4x-5）;（2）y=log x+1（16-4 x）（3）y= 解：（1）令 x2-4x-50，得（x-5 ）（x+1）0，故定义域为 xx-1，或 x5- 5 -（2）令 得 故所求定义域为x-1x 0，或 0x2（3）令 ，得 故所求定义域为xx-1- ，或-1- x-3, 或 x2说明 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零底数大于零不等于 1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零例 6 比较大小：（1）log 07 13 和 log07 18（2）（lg n） 17 和（lgn） 2（n1）（3）log 23 和 log53
7、（4）log 35 和 log64解：（1）对数函数 y=log07 x 在（0，+）内是减函数因为 1318，所以log07 13log 07 18（2）把 lgn 看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数 lgn 讨论若 1lgn0，即 1n10 时， y=（lgn ） x 在 R 上是减函数，所以（lgn） 12 （lgn）2；若 lgn1，即 n10 时，y=（ lgn） 2 在 R 上是增函数，所以（lgn） 17 （lgn） 2（3）函数 y=log2x 和 y=log5x 当 x1 时，y=log 2x 的图像在 y=log5x 图像上方这里x=3，所
8、以 log23log 53（4）log 35 和 log64 的底数和真数都不相同，须找出中间量 “搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解因为 log35log 33=1=log66log 64，所以 log35log 64评析 要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例 2 中的说明得到结论- 6 -例 7 已知 f（x）=2+log 3x，x 1，9，求 y=f （x） 2+f（x 2）的最大值，及 y取最大值时，x 的值分析 要求函数 y=f（x） 2+f（x 2）的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定义域，然后求值域解： f（x）=2+log 3x
9、，y=f（x） 2+f（x 2）=（2+log 3x） 2+2+log3x2=（2+log 3x） 2+2+2log3x=log23x+6log3x+6=（log 3x+3） 2-3函数 f（x）的定义域为1， 9，要使函数 y=f（x） 2+f（x 2）有定义，就须 ，912x1x3 0log 3x16y=（log 3x+3） 2-313当 x=3 时，函数 y=f（x） 2+f（x 2）取最大值 13说明 本例正确求解的关键是：函数 y=f （x） 2+f（x 2）定义域的正确确定如果我们误认为1，9是它的定义域则将求得错误的最大值 22其实我们还能求出函数 y=f （x） 2+f（x 2
10、）的值域为6，13例 8 求函数 y=log05 （-x 2+2x+8）的单调区间分析 由于对函数的底是一个小于 1 的正数，故原函数与函数 u=-x2+2x+8（-2x4）的单调性相反解 -x2+2x+80， -2x4， 原函数的定义域为（-2，4 ）又 函数 u=-x2+2x+8=-（x-1 ） 2+9 在（-2，1上为增函数，在1，4）上为减函数，函数 y=log05 （-x 2+2x+8）在（-2 ，1上为减函数，在1，4）上为增函数评析 判断函数的单调性必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集考点三：幂函数例 9比较大小：- 7 -（1）12.5,7（2） 33(1.),.2
11、5)（3） 12.,5.6,.（4）30.3log.解：（1）12yx在 0,)上是增函数， .7，12.7（2） 3在 R上是增函数， 125， 33()(.5)（3） 1yx在 (,)上是减函数， .6， 11.6； 5.6是增函数， ， 12；综上， 112.2.5.6 （4） 30， 0.， 3log.50， .53log.例 10已知幂函数 23myx（ Z）的图象与 x轴、 y轴都无交点，且关于原点对称，求 的值解：幂函数 23（ ）的图象与 轴、 轴都无交点， 20m， 1； Z， 2(3)Z，又函数图象关于原点对称， 2是奇数， 0m或 2例 11、求函数 y 2x 4（x32
12、）值域51解析：设 tx ，x 32，t 2，则 yt 2 2t4（t1） 231当 t1 时，y min3函数 y 2x 4 （x32）的值域为3， ） 51 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法五：课后练习1、若 a1 在同一坐标系中，函数 y=a 和 y=log 的图像可能是（ ）xxa- 8 -A B C D2求值 + -（ ） - = 40625.410383. 下列函数在 上为减函数的是（ ）, 13yx2yx3yx2yx答案：4.已知 x= ,y= ,求 - 的值2yx5若 a a ，则 a 的取值范围是（ ）1Aa1 Ba0 C1a0 D1a0解析：运用指数函数的性质，选 C答案：C6.下列式子中正确的是（ ）A log =log -log B =log -loga)(yxaxyyaxlogxyaC =log D log -log = logyaxlogyx xayyxa
