1、高中物理教案学案第三章 牛顿运动定律第五课时 牛顿定律应用中的临界和极值问题1、知识回顾：如图所示，水平放置的长木板 AB 上静置一个小物块，小物块与木板之间的动摩擦因数 恒定。现将木板绕其 A 端沿逆时针方向缓慢旋转，下列图线中能最好地描述小物块沿长木板滑下的加速度 a 和长木板与水平面间夹角 的关系的是( B )。质点所受的力 F 随时间变化的规律如图所示，力的方向始终在一直线上，已知 t0 时质点的速度为零。在图示 t1、t 2、t 3和 t4各时刻中，质点的速度最大的是：( B )At l Bt 2 Ct 3 Dt 42、典型例题分析：【例 1】传送带是一种常用的运输工具，它被广泛地应
2、用于矿山、码头、货场等生产实际中，在车站、机场等交通场所它也发挥着巨大的作用。如图所示为车站使用的水平传送带装置模型，绷紧的传送带水平部分 AB 的长度 L5m，并以 V 传 2ms 的速度向右传动。现将一个可视为质点的旅行包轻轻地无初速地放在传送带的 A 端，已知旅行包与皮带之间的动摩擦因数 0.2。求：旅行包在传送带上从 A 端运动到 B 端所用的时间；若要旅行包在传送带上从 A 端运动到 B 端所用的时间最短，则传动的速度大小应满足什么条件？（g10ms 2）【解析】由于旅行包的初速为零，在开始阶段，旅行包速度小于传送带的速度，故旅行包相对于传送带向左运动，其受到的滑动摩擦力向右，此滑动
3、摩擦力使旅行包产生加速度，旅行包向右做初速度为零的匀加速运动（如图所示） 。但旅行包是否是匀加速运动到 B 端，却要看旅行包fmgNAV传 BA B从 A 端运动到 B 端过程中是否一直受到滑动摩擦力作用。判断依据是这一过程中若旅行包一直做匀加速运动，其到达 B 端的速度 VB是否大于皮带传动的速度 V 传 ：V BV 传 ，则旅行包一直做匀加速运动；若 VBV 传 ，则旅行包先做匀加速直线运动后做匀速运动。根据牛顿第二定律可得： fma ，Nmg0。结合 fN 可解得：a2m/s 2。假设旅行包从 A 端到 B 端一直做匀加速运动，则由 Vt2V 022aS 可解得：VB2 m/s。即 VB
4、V 传 ，故旅行包先做匀加速直线运动，到速度与皮带传动速度相等后5做匀速运动。所以旅行包从开始运动到速度与传送带速度相等:需要的时间为 t 1 V 传 /a2/2s1s，通过的位移为 S 1at 2/221 2/2m1m。后一阶段旅行包运动至 B 端所用的时间为 t2，则由 LS 1V 传 t2可解得：t 22s。所以，物体由 A 端到 B 端所用时间为：tt 1t 23s。要使旅行包在传送带上从 A 端运动到 B 端所用的时间最短，旅行包应该在传送带上一直受到滑动摩擦力作用而做匀加速直线运动，且到达 B 端时的速度 VB要小球或等于 V 传 。由 Vt2V 022aS 可解得：V B m/s
5、2 m/s。故要使旅行包在aL25传送带上从 A 端运动到 B 端所用的时间最短，应满足的条件是 V 传 2 m/s5【小结】解决临界状态问题的关键是找临界条件，即根据具体问题找到临界状态所对应的物理条件。例如，相对静止物体间出现相对滑动的临界条件就是静摩擦力达到最大值；物体与支持面分离的临界条件就是相互间作用的压力为零；用细绳系着的物体能在竖直平面内做圆周运动的临界条件就是在最高点处细绳的拉力为零。出现临界状态所需的临界条件，需要通过对具体物理过程进行细致分析，深入理解，才能得到，切忌死记硬背。因此，做好受力分析、状态分析和运动过程的分析，根据运动和力的关系，正确建立物体运动的情景，抓住运动
6、过程中的“转折点” ，注意可能出现的多种情况，是解决牛顿定律应用中的临界问题的基本方法。对临界现象比较隐蔽的临界问题，常用极限分析法使比较隐蔽的临界现象暴露出来，再分析得出其临界条件。【例 2】如图所示，物体 A、 B 的质量分别为 5kg 和 15kg，叠放在光滑的水平面上，水平恒力 F10N 作用在物体 A 上，使 A 由静止开始在足够长的物体 B 上运动，当它相对地前进 0.5m 时的速度为 V，则 V 不可能为：A0.5ms B0.8ms C1.0ms D1.4ms【解析】要确定物体 A 相对地前进 0.5m 时的速度，就必须要知道 A 在这一过程中做何种性质的运动，故首选要分析 A
7、的受力情况。分析时发现，由于题目所给条件不充分，所以 A 的受力情况有两种可能性： A、B 间有摩擦力作用与 A、B 间没有摩擦力作用。A、B 间有摩擦力作用时又有两种可能性：A、B 间是静摩擦力作用与 A、B 间是滑动摩擦力作用。结合牛顿第二定律和运动学公式可得：FBA当 A、B 间没有摩擦力作用时，A 相对地前进 0.5m 时的速度最大，为Vmax m/s m/s；m2FS5.0122当 A、B 间有摩擦力作用且 A、B 相对静止时，A 相对地前进 0.5m 时的速度最小，为Vmin m/s /2 m/s 。)（ )15(.2即 A 相对地前进 0.5m 时的速度介于 /2 m/s 和 m
8、/s 之间，故此题正确答案应选2A 【小结】此题是已知物体受力情况确定物体运动情况的问题，常规思路是：根据物体受力情况，结合牛顿第二定律和运动学公式得出结论。题中由于物体所受摩擦力情况的不确定性，导致结论的不确定，摩擦力发生突变是临界状态出现的原因。【例 3】如图所示，在水平面上放一质量为 m 的物体，与水平面间的动摩擦因数为 ，现用力 F 拉物体， （1）如果要使物体做匀速运动，求拉力 F 的最小值；（2）如果要使物体以加速度 a 做匀加速运动，求拉力 F 的最小值。【解析】 （1）此问题有两种解法。物理方法图解法：物体受力分析如图 a 所示。力 F 大小和方向发生变化时，N、f大小也随之改
9、变。由于 f/N，所以 f、N 的合力 T 的方向在力 F 变化过程中保持不变（如图 b 所示） 。物体在 mg、F、N 与 f 四个力作用下处于平衡，可以看成在 mg、F、N 与 f 的合力 T三个力作用下处于平衡。由于mg 的大小、方向均不变，T 的方向也不变，故由力的平衡条件和平行四边形定则可知：当F 与 T 垂直时，F 的值最小（如图 c 所示） 。设 T 与竖直方向的夹角为 ，则 F 的最小值为 Fminmgsin，而 tgf/N，故 Fminmg/ 。21数学方法三角函数求极值：设力 F 的方向与水平方向夹 角（如图 d 所示） ，根据力的平衡条件和正交分解法可得：水平方向：Fco
10、sf0 竖直方向：NFsinmg0 fN F图aFfmgN图bTNf图c FmgT图dFfmgN联列解得：Fmg/(cossin)由三角函数的两角和公式可得：当 ctg 时，力 F 最小且最小值为 Fminmg/。21（2）根据牛顿第二定律和正交分解法可得：水平方向：Fcosfma 竖直方向：NFsinmg0 fN 联列解得：Fm（ga）/(cossin)由三角函数的两角和公式可得：当 ctg 时，力 F 最小且最小值为：Fminm（ga）/ 。21【小结】极值问题常常是和临界问题联系在一起的。本题第（1）问是牛顿第二定律的特殊情况平衡问题，其解析中的图解法具有直观、简捷的特点，是求解极值问题
11、常用的方法之一。函数方法是求解极值问题的常规方法，其基本思路是：要求某个量的极值，可先根据相关的物理规律及物理量之间的关系求出这个物理量的解析式，然后根据解析式讨论在什么条件下，这个物理量取极值。本题中用到的三角函数转化公式：asinbcos sin()（其中 ctga/b）要熟记。2ba【例 4】倾角为 的坡面上，有在同一水平线上相距 L 的两点 A 和 B（如图所示） 。一坦克模型由静止从 A 点出发，需不离开直线 AB 而开往 B 点，求坦克模型完成这个要求所用的最短时间。已知坦克和坡面间的动摩擦因数 tg。【解析】坦克模型在沿直线 AB 运动过程中受重力 G、支持力 N 和摩擦力 f
12、作用，其中摩擦力的作用效果有两个：一是阻止坦克模型沿坡面下滑，二是使坦克模型沿直线 AB 加速运动。将摩擦力 f 在坡面内沿坡面向上和沿坡面向 AB 方向正交分解为 f1和 f2，则有f2f 12+f22。坦克模型和坡面间的动摩擦因数 tg 说明坦克模型静止在坡面上时不会沿坡面下滑。要使坦克模型从 A 点沿直线 AB 开往 B 点所用时间最短，坦克模型必须以履带与坡面接触部分相对坡面静止所能达到的最大加速度行驶，此时履带与坡面之间的静摩擦力达到最大值。故有：fmaxNmgcosf1mgsinf2maf12+f22f 2max即(mgsin) 2+(ma)2(mgcos) 2,agcos ,代入
13、 L=(1/2)t 2min,解得：2tgtmin /aL2tggcos【小结】求解牛顿定律应用中的临界、极值问题的典型错误有：一是未能仔细对物体受力情况、状态和运动过程进行分析，不能正确建立物体运动的情景，也就不能发现一些比较隐蔽的临界现象及其临界条件，从而造成思路不清、过程混淆的错误；二是对每种性质运动的受力特点（即运动和力的关系）未能熟练掌握，解题时乱套公式；三是思维狭窄，未能预见可能出现的多种情况。摩擦力的方向与相对运动或相对运动趋势的方向相反，而与物体的运动方向不一定在同一条直线上，此题即是如此。解答物体在斜面上运动的问题时，要重视题设条件中 与斜面倾角 关系的意义：a、tg，物体无
14、初速放在斜面上时会加速下滑； b、tg，物体无初速放在斜面上时会保持静止状态；c、tg，物体无初速放在斜面上时会保持静止状态，受到一个扰动后能沿斜面匀速下滑。汽车、坦克等的驱动力是地面对它们的摩擦力充当的，所谓的“牵引力”只是一种笼统的说法。3、跟踪反馈：1、一个小孩在蹦床作游戏，他从高处落到蹦床上后又被弹起到原高度小孩从高处开始下落到弹回的整个过程中，他的运动速度 V 随时间 t 变化的图象如图所示，图中 oa 段和 cd 段为直线则根据此图象可知，小孩和蹦床相接触的时间为：( C )At 2t 4 Bt 1t 4 Ct 1t 5 Dt 2t 52、如图所示，木块 A 质量为 1 千克，木块
15、 B 的质量为 2 千克，叠放在水平地面上，AB 间最大静摩擦力为 1 牛，B 与地面间摩擦系数为 0 .1，今用水平力 F 作用于 B，则保持 A、B 相对静止的条件是 F 不超过：（ D ）A3 牛 B4 牛 C5 牛 D6 牛3、如图所示，竖立在水平地面上的轻弹簧，下端固定在地面。现将一金属球由弹簧的正上方无初速释放，金属球下落一段时间后，落在弹簧上并压缩弹簧，在金属球将弹簧压缩至最短后，金属球又被弹簧向上弹起。下列关于这一过程的有关描述中，正确的是：( B、C )A金属球刚接触弹簧时速度最大B金属球将弹簧压缩至最短时，金属球的加速度最大C金属球刚接触弹簧到弹簧被压缩至最短过程中，金属球
16、的速度先增大后减小D金属球刚接触弹簧到弹簧被压缩至最短过程中，金属球的加速度逐渐减小4、一新房要盖屋顶，从侧面看房宽 L 为定值，为使落在屋顶的雨水能以最短时间淌离屋顶，则屋脊到屋檐的高度 h 应为多少?(设雨水沿屋顶下滑时，可作为沿光滑斜面下滑)。( L/2)BAF5、如图所示，质量为 M 的小球某时刻速度 V0的方向与竖直方向成 30角，要使能沿该时刻速度方向所在的直线运动，则至少要给小球施加多大的力？(不计空气阻力)(mg/2)6、用一轻质弹簧把两块质量各为 M 和 m 的木块连接起来，放在水平面上，如图所示问：必须在上板施加多大压力 F，才能使撤去此力后 m 跳起来，恰好使下面的 M
17、离地?(F=(M+m)g)7、如图，用一轻质细线将质量为 m 的小球系于一倾角为 60 的光滑斜面上，细线与斜面平行。现对斜面体施加一水平外力，使斜面体以加速度 a2g/3 向右做匀加速直线运动，求此时斜面和细线对小球的作用力分别是多大？(N=0；T mg/3)138、如图，质量为 m1kg 的物体，放在倾角为 37 的斜面上，物体与斜面间的动摩MFmmgV030a擦因数 0.3，要使物体与斜面体一起沿水平方向向左加速运动，则其加速度多大？(18g/496g/7)9、如图所示，A、B 两物体的质量分别是 m1和 m2，其接触面光滑，与水平面的夹角为，若 A、B 与水平地面的动摩擦系数都是 ，用
18、水平力 F 推 A，使 A、B 一起加速运动，求：（1）A、B 间的相互作用力 （2）为维持 A、B 间不发生相对滑动，力 F 的取值范围。(m 1g/cos；m 1g(m1+m2)(tg)/m 2) 10、如图所示，小金属块 A 的质量 m100g，将它轻放到沿水平地面匀速向右运动的薄木板上，刚放上去时距木板左端为 d2 mA 与板间的动摩擦因数 0.4。A 放上后，木板仍在外力作用下做匀速运动。要把木板从金属块 A 下抽出来，木板运动的速度 Vo 应满足什么条件?（大于 4m/s）11、如图所示，若传送带与地面的倾角为 37，从 A 到 B 的长度 16m,传送带以 10m/s的速率逆时针方向转动，在传送带上端无初速地放一个质量为 m0.5kg 的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为 0.5。求物体从 A 到 B 所需的时间是多少?（sin370.6，cos370.8，g10m/s 2）(2s)370ABBA F
