1、导数的概念及运算知识点一：函数的平均变化率（1）概念： 函数 中，如果自变量 在 处有增量 ，那么函数值 y 也相应的有增量y=f(x0+x)-f(x 0)，其比值 叫做函数 从 到 +x 的平均变化率，即。若 ， ，则平均变化率可表示为 ，称为函数 从到 的平均变化率。注意：事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值” 。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当 取值越小，越能准确体现函数的变化情况。 是自变量 在 处的改变量， ；而 是函数值的改变量，可以是 0。函数的平均变化率是 0，并不一定说明函数 没有变化，应取 更小考虑。（2）平均变化率
2、的几何意义函数 的平均变化率 的几何意义是表示连接函数 图像上两点割线的斜率。如图所示，函数 的平均变化率 的几何意义是：直线 AB 的斜率。事实上， 。作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。知识点二：导数的概念： 1导数的定义： 对函数 ，在点 处给自变量 x 以增量 ，函数 y 相应有增量。若极限 存在，则此极限称为 在点 处的导数，记作 或 ，此时也称 在点 处可导。即： （或 ）注意：增量 可以是正数，也可以是负数；导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。2导函数： 如果函数 在开区间 内的每点处都有导数，此时对于每一个 ，都对应着一个确定的导数
3、 ，从而构成了一个新的函数 , 称这个函数 为函数在开区间内的导函数，简称导数。注意：函数的导数与在点 处的导数不是同一概念， 是常数，是函数 在处的函数值，反映函数 在 附近的变化情况。3导数几何意义： （1）曲线的切线曲线上一点 P(x0，y 0)及其附近一点 Q(x0+x,y 0+y)，经过点 P、Q 作曲线的割线PQ，其倾斜角为 当点 Q(x0+x,y 0+y)沿曲线无限接近于点P(x0，y 0)，即x0 时，割线 PQ 的极限位置直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线。若切线的倾斜角为 ，则当x0 时，割线 PQ 斜率的极限，就是切线的斜率。即： 。(2)导数的几何意义：函数 在点
4、x0的导数 是曲线 上点（ ）处的切线的斜率。注意：若曲线 在点 处的导数不存在，但有切线，则切线与 轴垂直。 ，切线与 轴正向夹角为锐角； ，切线与 轴正向夹角为钝角；,切线与 轴平行。(3)曲线的切线方程如果 在点 可导，则曲线 在点（ ）处的切线方程为：。4瞬时速度： 物体运动的速度等于位移与时间的比，而非匀速直线运动中这个比值是变化的，如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度，我们采用瞬时速度这一概念。如果物体的运动规律满足 s=s(t)(位移公式)，那么物体在时刻 t 的瞬时速度 v，就是物体 t 到 t+t 这段时间内，当t0 时平均速度的极限，即。如果把函数 看作是物体的位
5、移公式） ，导数 表示运动物体在时刻 的瞬时速度。规律方法指导1如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：作差：求出 和作商：对所求得的差作商，即 。注意：（1） ，式子中 、 的值可正、可负，但的值不能为零， 的值可以为零。若函数 为常数函数时， 。（2）在式子 中， 与 是相对应的“增量” ，即在 时，。（3）在式子 中，当 取定值， 取不同的数值时，函数的平均变化率不同；当 取定值， 取不同的数值时，函数的平均变化率也不一样。2如何求函数在一点处的导数（1）利用导数定义求函数在一点处的导数，通常用“三步法” 。计算函数的增量： ；求平均变化率： ；取极限得导数： 。（2）
6、利用基本初等函数的导数公式求初等函数的导数。3导数的几何意义设函数 在点 的导数是 ，则 表示曲线 在点（ ）处的切线的斜率。设 是位移关于时间的函数，则 表示物体在 时刻的瞬时速度；设 是速度关于时间的函数，则 表示物体在 时刻的加速度；4利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤求出 在 处的导数 ；利用直线方程的点斜式得切线方程为 。类型一：求函数的平均变化率1、求 在 到 之间的平均变化率，并求 ， 时平均变化率的值. 思路点拨：求函数的平均变化率，要紧扣定义式 进行操作.举一反三：【变式 1】求函数 y=5x2+6 在区间2，2+ 内的平均变化率。【变式 2】已知函数 ，分别计算 在下
7、列区间上的平均变化率： （1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001. 【变式 3】自由落体运动的运动方程为 ，计算 t 从 3s 到 3.1s，3.01s，3.001s 各段内的平均速度（位移 s 的单位为 m）。【变式 4】过曲线 上两点 和 作曲线的割线，求出当时割线的斜率.类型二：利用定义求导数2、用导数的定义，求函数 在 x=1 处的导数。举一反三：【变式 1】已知函数（1）求函数在 x=4 处的导数.（2）求曲线 上一点 处的切线方程。【变式 2】利用导数的定义求下列函数的导数：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。3、求曲线 y=x3+2x 在 x=1 处
8、的切线方程. 思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数 y=x3+2x 在 x=1 处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将 x=1 代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.举一反三：【变式】在曲线 y=x2上过哪一点的切线：（1）平行于直线 y=4x5；（2）垂直于直线 2x6y+5=0；（3）与 x 轴成 135的倾斜角。知识点三：常见基本函数的导数公式（1） （C 为常数） ，（2） （n 为有理数） ，（3） ，（4） ，（5） ，（6） ，（7） ，（8） ，知识点四：函数四则运算求导法则设 ， 均可导（1）和差的导数：（2）积的导数：（3）商的导数： （ ）知识点五
9、：复合函数的求导法则或即复合函数 对自变量 的导数 ，等于已知函数 对中间变量 的导数 ，乘以中间变量 对自变量 的导数 。注意：选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。规律方法指导1求复合函数的导数的一般步骤适当选定中间变量，正确分解复合关系；分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导） ；把中间变量代回原自变量（一般是 x）的函数。整个过程可简记为分解求导回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。类型一：利用公式及运算法则求导数1、求下列函数的导数： （1） ； （2） （3） ； （4）y=2x 33x 2+5x4 举一反三：【变式】求下列函数的导数：（1） ； （2） （3）y=6x 34x 2+9x6 2、求下列各函数的导函数（1） ； （2）y=x 2sinx; （3）y= ； （4）y=举一反三：【变式 1】函数 在 处的导数等于( )A1 B2 C3 D4【变式 2】下列函数的导数（1） ； （2）【变式 3】求下列函数的导数.（1） ； （2） ； （3） .
