1、1抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在 x R 上的函数 y=f(x)，满足 f(x+a)=f(x-a)（或 f(x-2a)=f(x)）( a0)恒成立，则 y=f(x)是周期为 2a的周期函数；2、若 y=f(x)的图像关于直线 x=a 和 x=b 对称，则函数 y=f(x)是周期为 2|a-b|的周期函数；3、若 y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数 y=f(x)是周期为 2|a-b|的周期函数；4、若 y=f(x) 的图像有一个对称中心 A(a,0)和一条对称轴 x=b（a b） ，则函数 y=f(x)是周期为 4|a-b|的周期函数；5、若函数 y=f
2、(x)满足 f(a+x)=f(a-x)，其中 a0，且如果 y=f(x)为奇函数，则其周期为 4a；如果 y=f(x)为偶函数，则其周期为 2a；6、定义在 x R 上的函数 y=f(x)，满足 f(x+a)=-f(x) ，则 y=f(x)是1()fxaf或 1()fxaf或周期为 2|a|的周期函数；7、若 在 x R 恒成立，其中 a0，则 y=f(x)是周期为 4a 的周期函数；1ffxa8、若 在 x R 恒成立，其中 a0，则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数。1ffx（7、8 应掌握具体推导方法，如 7）函数图像的对称性：1、若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(b-x
3、)，则函数 y=f(x)的图像关于直线 对称；2abx2、若函数 y=f(x)满足 f(x)=f(2a-x)或 f(x+a)=f(a-x)，则函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称；3、若函数 y=f(x)满足 f(a+x)+f(b-x)=c，则 y=f(x)的图像关于点 成中心对称图形；,2abc4、曲线 f(x,y)=0 关于点(a,b) 的对称曲线的方程为 f(2a-x,2b-y)=0；1212()()fxfafxfxff25、形如 的图像是双曲线，由常数分离法0,axbycdbc知：对称中心是点 ；daccydxx,dac6、设函数 y=f(x)定义在实数集上，则 y=f(x+
4、a)与 y=f(b-x)的图像关于直线 对称；2bax7、若函数 y=f(x)有反函数，则 y=f(a+x)和 y=f -1(x+a)的图像关于直线 y=x+a 对称。一、 换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.例 1. 已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求 f(x)二、方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。例 2 .23|)(:|,)1(2),(, xfxffxff(x)y 求 证且为 实 数即是 实 数 函 数设三、待定系数法 如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。例 3
5、已知 f(x)是二次函数，且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x).四、赋值法 有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例 4对任意实数 x,y，均满足 f(x+y2)=f(x)+2f(y)2 且 f(1) 0,则 f(2001)=_.3例 5已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对于任意的实数 a,b 都满足f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求 f(0)，f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论;五、转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的
6、方便.例 6设函数 f(x)对任意实数 x,y，都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x0 时 f(x)0 且 a 1)f(x+y)=f(x)f(y) ffx或对数函数 f(x)=logax (a0 且 a 1)f(xy)=f(x)+f(y) ffyy或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx()(1fxyfy余切函数 f(x)=cotx ()()ffxy例 10已知实数集上的函数 f(x)恒满足 f(2+x)= f(2-x),方程 f(x)=0 有 5 个实根,则这 5 个根之和=_例 11设定义在 R 上的函数 f(x)
7、，满足当 x0 时，f(x)1，且对任意 x， y R，有 f(x+y)=f(x)f(y)， f(1)=2 5（1）解不等式 f(3x-x2)4；（2）解方程f(x) 2+ f(x+3)=f(2)+11例 12已知函数 f(x)对任何正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)f(y)，且 f(x) 0，当 x1 时，f(x)0)恒成立，则 y=f(x)是周期为 2a的周期函数；2、若 y=f(x)的图像关于直线 x=a 和 x=b 对称，则函数 y=f(x)是周期为 2|a-b|的周期函数；3、若 y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数 y=f(x)是周期为 2|a-b|的
8、周期函数；4、若 y=f(x) 的图像有一个对称中心 A(a,0)和一条对称轴 x=b（a b） ，则函数 y=f(x)是周期为 4|a-b|的周期函数；5、若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x)，其中 a0，且如果 y=f(x)为奇函数，则其周期为 4a；如果 y=f(x)为偶函数，则其周期为 2a；6、定义在 x R 上的函数 y=f(x)，满足 f(x+a)=-f(x) ，则 y=f(x)是1()fxaf或 1()fxaf或周期为 2|a|的周期函数；7、若 在 x R 恒成立，其中 a0，则 y=f(x)是周期为 4a 的周期函数；1ffxa8、若 在 x R 恒成立，其
9、中 a0，则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数。1ffx（7、8 应掌握具体推导方法，如 7）1212()()fxfafxfxff8函数图像的对称性：1、若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(b-x)，则函数 y=f(x)的图像关于直线 对称；2abx2、若函数 y=f(x)满足 f(x)=f(2a-x)或 f(x+a)=f(a-x)，则函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称；3、若函数 y=f(x)满足 f(a+x)+f(b-x)=c，则 y=f(x)的图像关于点 成中心对称图形；,2abc4、曲线 f(x,y)=0 关于点(a,b) 的对称曲线的方程为 f(2a-x,2
10、b-y)=0；5、形如 的图像是双曲线，由常数分离法0,axbycdbc知：对称中心是点 ；daccydxx,dac6、设函数 y=f(x)定义在实数集上，则 y=f(x+a)与 y=f(b-x)的图像关于直线 对称；2bax7、若函数 y=f(x)有反函数，则 y=f(a+x)和 y=f -1(x+a)的图像关于直线 y=x+a 对称。二、 换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.例 2. 已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求 f(x)解：令 u=1+sinx，则 sinx=u-1 (0 u 2),则 f(u)=-u2+3u+1 (0 u
11、 2)故 f(x)=-x2+3x+1 (0 x 2)二、方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。例 2 .23|)(:|,)1(2),(, xfxffxff(x)y 求 证且为 实 数即是 实 数 函 数设解: fff 3,1)(2,1联 立 方 程 组 ， 得得代 换用 3|)(|xf三、待定系数法 如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。9例 3已知 f(x)是多项式函数，且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x).解：由已知得 f(x)是二次多项式，设 f(x)=ax2+bx+c (a0)代入 f(x+1)=a(
12、x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+cf(x-1)= a(x-1)2+b(x-1)+c=ax2+( b -2a)x+a-b+c f(x+1)+ f(x-1)=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x比较系数得：a=1,b= -2,c= -1 , f(x)=x2-2x-1.四、赋值法 有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例 4对任意实数 x,y，均满足 f(x+y2)=f(x)+2f(y)2 且 f(1) 0,则 f(2001)=_.解：令 x=y=0，得： f(0)=0,令 x=0,y=1,得 f(0+12)=f(0)+2f(1)
13、2,f(1) 0 f(1)= . 令 x=n,y=1，得 f(n+1)=f(n)+2f(1)2=f(n)+ 即 f(n+1)-f(n)= ，故 f(n)= ，f(2001) = 12n012例 5已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对于任意的实数 a,b 都满足f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求 f(0)，f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)若 f(2)=2,un=f(2n) (n N*),求证：u n+1un (n N*).解：(1)令 a=b=0,得 f(0)=0,令 a=b=1,得 f(1)=0.(2)f(x)是奇函数。因为：令 a
14、=b=-1,得 f(-1)(-1)=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,故 f(-x)=f(-1)(x)= -f(x)+xf(-1)= -f(x),故 f(x)为奇函数.(3)先用数学归纳法证明：u n=f(2n)0 (n N*)(略)五、转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便.例 6设函数 f(x)对任意实数 x,y，都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x0 时 f(x)0,由已知得 f(x2-x1)0,故 f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1) f(x1)110所以 f(x)是 R
15、 上的减函数，又 f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6，f(-3)=6故 f(x)在-3,3 上的最大值为 6,最小值为-6.例 7定义在 R+上的函数 f(x)满足： 对任意实数 m，f(x m)=mf(x)； f(2)=1.(1)求证：f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数 x,y 都成立；(2)证明 f(x)是 R+上的单调增函数；(3)若 f(x)+f(x-3) 2,求 x 的取值范围。解：(1)令 x=2m,y=2n,其中 m,n 为实数，则 f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n.又 f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m
16、+n,所以 f(xy)=f(x)+f(y)（2）证明：设 0x1x2，可令 mn 且使 x1=2m,x2=2n由（1）得 f(x1)-f(x2)= =f(2m-n)=(m-n)f(2)=m-n0xf故 f(x1)f(x2)，即 f(x)是 R+上的增函数。(3)由 f(x)+f(x-3) 2 及 f(x)的性质，得 fx(x-3) 2f(2)=f(4)解得 3x 4。六、递推法 对于定义在正整数集 N*上的抽象函数，用递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.例 8已知 f(x)是定义在 R 上的函数，f(1)=1，且对任意 x R 都有 f(x+5) f(x)+5，f(x
17、+1) f(x)+1。若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)=_.解：由 f(x+1) f(x)+1 得 f(x+5) f(x+4)+1 f(x+3)+2 f(x+2)+3 f(x+1)+4又f(x+5) f(x)+5 f(x)+5 f(x+1)+4 f(x)+1 f(x+1) 又f(x+1) f(x)+1 f(x+1)=f(x)+1又f(1)=1 f(x)=x g(x)=f(x)+1-x=1， 故 g(2002)=1。模型法模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。应掌握下面常见的特殊模型：
