1、 抽象函数的应用抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。例 1：定义在 R 上的函数 ，当 时， ，且对任意的 ，(),0yfx0x()1fx,abR有 ，()()fabf（1）求证： ；01（2）求证：对任意的 ，恒有 ；xR()0fx（3）证明： 是 上的增函数；()f（4）若 ，求 的取值范围。21xx例 2 已知函数 ()fx, g在 R 上有定义，对任意的 ,xyR
2、有()()fxyyf且 10f（1）求证： ()fx为奇函数（2）若 2， 求 ()g的值例 3 已知函数 对任意实数 恒有 且当 ，)(xfyx, )()(yfxyf0x.2)1(.0)(fxf又(1)判断 的奇偶性；(2)求 在区间3,3 上的最大值；(3)解关于 的不等式x .4)()2)(axfaxf例 4 已知 f(x)在 (1，1)上有定义， f( 21)1，且满足 x，y(1，1) 有 f(x)f(y)f(xy1)证明：f(x) 在 (1，1)上为奇函数； 对数列 x1 2，x n1 2nx，求 f(xn);求证 5)()(21 fff n例 5 已知函数 Nxfxfy)(,),
3、(，满足：对任意 ,2121xNx都有()( 12121fxf ；（1）试证明： 为 N 上的单调增函数；（2） n，且 (0)f，求证： ()fn；（3）若 ()f， 对任意 ,m,有 1)(nfm，证明： niif14)3(.2例 6 已知函数 的定义域为 ，且同时满足： (1)对任意 ，总有 ；()fx0,10,1x()2fx(2) (3)若 且 ，则有 .(1)3f12,2x122()(fff(I)求 的值；0(II)求 的最大值；fx(III)设数列 的前 项和为 ，且满足nanS*12(3),nnaN例 7 对于定义域为 的函数 ，如果同时满足以下三条：对任意的 ，总有0,1()f
4、x 0,1x； ；若 ，都有 成立，()0fx()f212,0,1212()()fxff则称函数 为理想函数(1) 若函数 为理想函数，求 的值；()fx()f(2)判断函数 是否为理想函数，并予以证明；21g,0x(3) 若函数 为理想函数， 假定 ，使得 ，且 ，()fx0,1x0(),1fx0()fx求证 0()f例 8 已知定义在 R 上的单调函数 ,存在实数 ,使得对于任意实数 ,总有()fx0x12x恒成立。012012()()fxfxf()求 的值；()若 ,且对任意正整数 ,有 , ,求数列a n的通项公式；0)fxn1()2naf()若数列b n满足 ，将数列b n的项重新组合成新数列 ，具体法则如12bog nc下： ，求证：123456,cbc478910,cb。1239n例 9 定义在 R 上的函数 f（x）满足 ，且 时，fxyfxyf()()()1120， x12f（x）0 时，01；（2）求证：f（x）在 R 上单调递减；（3）设集合 ，Ayffyf(,)|()(221，若 ，求 a 的取值范围。Byfaxa(,)| 1， AB
