1、等差数列与等比数列的有关知识比较一览表等 差 数 列 等 比 数 列定义一般地,如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫公差一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列这个常数叫公比 递推关系 （ ）121naa*nN （ ）d 11nnaa（ ）*2,N （ ）12na*nN （ ）1nq *0,q （ ）1na*2,nN通项公式 （ ）1()nd*nN apq（ ）*,为 常 数 （ ）1nnq* pa（ ）*,0,nN是 常 数求和公式 12()nnSa（ ）*N ( )1
2、()2nSad*nN ( )2nAB*,是 常 数 求积公式 ( ) nnia)121* ( )1,()nnaqS*N ( ， )1,nnAq*0A主若 p+q=s+r, p、q、s、r N*,则.psraa对任意 c0,c 1, 为等比数列.nc若 p+q=s+r, p、q、s、r N*,则.qpa对任意 c0,c 1, 若 an 恒大于 0，则为等差数列.logcn要性质 .*12,2nnaaN若 、 分别为两等差数列，则b为等差数列.n数列 为等差数列.S若 为正项等差自然数列，则nb为等差数列.na 为等差数列.,232nnSS ，n2m ， m、n .nm*N .mnnSd若 则 .
3、,0mnS .2,21nNann若 、 为两等比数列，则b为等比数列.n若 an 恒大于 0，则数列 为等nia1比数列.若 为正项等差自然数列，则nb为等比数列.na 为等比数列.,232nnSS ，n2m，m 、nmiini a11， .*0,pN .mnmnnmSqS若 ,2121aa则 .nmi1此外，还要了解一些等差数列与等比数列中的重要结论，这些结论之间不具有对偶关系：等 差 数 列 等 比 数 列重要结论若 p、q ，且,pa*N,q则 .0p若 且 ,则,Sqqpp、q .()pq*N )1(1(2mnmmn qqS = .)(n若|q|1,则 .nSli1aq求数列a n通项
4、公式的方法1 = + 型na)(f累加法：=（ ）+（ ）+ （ n1n1na22a）+1a= + + +)(f)(f)(f1例 1.已知数列 满足n=1， = + （nN +） ，求 .1a12na解 = + + +nn1a21= + + +112= = 1n = 1 （nN +）na23 =p +q 型（p、q 为常数）1na方法：（1） + =1， 再根据等比数)(pn列的相关知识求 .na （2） =1)(1na 再用累加法求 . （3） = + ，先用累加1np1nq法求 再求 .a例 3.已知 的首项 =a（a 为常数） ，n1=2 +1（n N +，n2） ，求 .n1n解 设
5、=2 （ ） ，则 = 1a +1=2（ +1）1n 为公比为 2 的等比数列.n +1=（a+1） =（a+1） 1nan2 型)(1gn累乘法： = na12n1a例 2.已知数列 满足 （nN +） ， =1，n1求 .na解 = n12n1a=（n1） （n2）1 1=（n1）！ =（n1）！ （nN +）a 4 =p + 型（p 为常数）1)(f 方法：变形得 = + ，1na1)(nf则 可用累加法求出，由此求 .npa例 4.已知 满足 =2， =2 +11na.求 .12n解 = +1a 为等差数列.n2= n1 =nna5 = p q 型（p、q 为常数）2na1na特征根法
6、： x（1） 时， = + x1C2nx（2） 时， =（ + n）2n1例 5.数列 中， =2， =3，且 2 = +aaa（nN +，n2） ，求 .1解 =2 1 x12x =（ + n） = + nnaC2C 3121 )(Nn 7 “已知 ，求 ”型nSa方法： = （注意 是否符合）11例 6.设 为 的前 n 项和， = （nnS231） ，求 （nN +）a解 = （ 1） （n N+）S23当 n=1 时， = （ 1） =31a当 n2 时，= S1n= （ 1） （ 1）323na =3 = （nN +）na6 = 型（A、B、C、D 为常数）1nan特征根法： =x（
7、1） 时， =C221an21xn（2） 时， =x1xC例 6. 已知 =1， = （nN +） ，求 .1n2ana解 = x201x = +C na1 =1， = ，代入，得 C= 232 为首项为 1，d= 的等差数列 .na = = （nN +）2na8 “已知 ， ， 的关系，求 ”1nSn型方法：构造与转化的方法.例 8. 已知 的前 n 项和为 ，n且 +2 （ ）na1a=0（n2） ， = ，求 .n解 依题意，得 +2 =0S11nS =2n =+2（n）=2nS1 = ， =21)( = -nan=2 )(= （ ）)1(n2 =na),()2N练一练1a n是首项 a
8、11，公差为 d3 的等差数列，如果 an2 005，则序号 n 等于( )A667 B668 C669 D6702在各项都为正数的等比数列a n中，首项 a13，前三项和为 21，则 a3a 4a 5( )A33 B72 C84 D1893如果 a1，a 2，a 8 为各项都大于零的等差数列，公差 d0，则( ) Aa 1a8a 4a5 Ba 1a8a 4a5 Ca 1a 8a 4a 5 Da 1a8a 4a54已知方程(x 22x m)(x 22xn)0 的四个根组成一个首项为 的等差数列，则mn等于( )A1 B C D 4321835等比数列a n中，a 29，a 5243，则a n的
9、前 4 项和为( ).A81 B120 C168 D1926若数列a n是等差数列，首项 a10，a 2 003a 2 0040，a 2 003a2 0040，则使前 n项和 Sn0 成立的最大自然数 n 是( )A4 005 B4 006 C4 007 D4 008 7已知等差数列a n的公差为 2，若 a1，a 3，a 4 成等比数列, 则 a2( )A4 B 6 C8 D 108设 Sn是等差数列a n的前 n 项和，若 ，则 ( )35a959SA1 B 1 C2 D 219已知数列1，a 1，a 2，4 成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4 成等比数列，则的值是( )2b1C解
10、析：由题设，代入通项公式 ana 1(n1)d，即 2 00513(n1)，n6992C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力设等比数列a n的公比为 q(q0)，由题意得 a1a 2a 321，即 a1(1qq 2)21，又 a13，1qq 27解得 q2 或 q3(不合题意，舍去)，a 3a 4a 5a 1q2(1qq 2)32 27843B解析：由 a1a 8a 4a 5，排除 C又 a1a8a 1(a17d)a 127a 1d，a 4a5(a 13d)(a 14d)a 127a 1d 12d 2a 1a84C解析：解法 1：设 a1 ，a 2 d，a 3 2d，a 4 3d
11、，而方程 x22xm0 中两4111根之和为 2，x 22x n0 中两根之和也为 2，a 1a 2a 3a 416d4，d ，a 1 ，a 4 是一个方程的两个根，a 1 ，a 3 是另一个方程的两个745根 ， 分别为 m 或 n，1675mn ，故选 C2解法 2：设方程的四个根为 x1，x 2，x 3，x 4，且x1x 2x 3x 42，x 1x2m，x 3x4n由等差数列的性质：若 spq，则 aa sa pa q，若设 x1 为第一项，x 2 必为第四项，则 x2 ，于是可得等差数列为 ， ， ， ，4741547m ，n ，165mn 25B解析：a 29，a 5243， q 3
12、 27，25a94q3，a 1q9，a 13，S 4 1203152406B解析：解法 1：由 a2 003a 2 0040，a 2 003a2 0040，知 a2 003 和 a2 004 两项中有一正数一负数，又 a10，则公差为负数，否则各项总为正数，故 a2 003a 2 004，即 a2 0030，a 2 0040.S 4 006 0，260641)(4032)(S 4 007 (a1a 4 007) 2a2 0040，77故 4 006 为 Sn0 的最大自然数. 选 B解法 2：由 a10，a 2 003a 2 0040，a 2 003a2 0040，同解法 1 的分析得 a2
13、0030，a 2 0040，S 2 003 为 Sn中的最大值S n是关于 n 的二次函数，如草图所示，2 003 到对称轴的距离比 2 004 到对称轴的距离小， 在对称轴的右侧074根据已知条件及图象的对称性可得 4 006 在图象中右侧零点 B 的左侧，4 007，4 008 都在其右侧，S n0 的最大自然数是 4 0067B解析：a n是等差数列，a 3a 14，a 4a 16，又由 a1，a 3，a 4 成等比数列，(a 14) 2a 1(a16)，解得 a18，a 28268A解析： 1，选 A59S2)(519a3599A解析：设 d 和 q 分别为公差和公比，则413d 且4(1)q 4，d1，q 22，(第 6 题) 21ba2qd
