1、函数的最值1函数最大值与最小值的含义定义：一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：()yfxIM（1）对于任意的 ，都有 ；（2）存在 ，使得 。xIfM0xI0()fx那么，我们称 是函数 的最大值（maximum value）.()yfx几何意义：函数 的最大值是图象最高点的纵坐标。()f一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：yfxIM（1）对于任意的 ，都有 ；（2）存在 ，使得 。I()f0xI0()fx那么，我们称 是函数 的最小值（minimum value）.Myfx几何意义：函数 的最大值是图象最低点的纵坐标。()f2最值的求法1 配凑法：研究二次函数 的
2、最大（小）值，若给定区间是2(0)yaxbca，先配方成 后，当 时，函数取最小值为 ；当(,)4()24acb时，函数取最大值。若给定区间是 ，则必须先判断函数在这个区间上的单调性，0a ,然后再求最值（见下列例题）（此处顺带说出求值域的方法配方法）2 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.3 数形结合法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.4 分离系数法5 反函数法6 构造法7 换元法8 判别式法3例题分析（讲解最值求解方法时带出值域）例 21、求函数 在下列各区间上的最值：21yx（1）
3、（2）1，4 （3） （4） （5）(,)6,22,2,42、求函数 的最大值.261yx例 3求函数 在区间2，6上的最大值和最小值21yx分析：先判定函数在区间2，6上的单调性，然后再求最大值和最小值。变式：若区间为 呢？6,2例 4. 求下列函数的最大值和最小值：（1） ； （2 ） .2533,yx|1|2|yx解：（1）二次函数 的对称轴为 ，即 .2yxba1x画出函数的图象，由图可知，当 时， ； 当 时，1max4y32. min94y所以函数 的最大值为 4,最小值为 .2533,yx94（2） .(2)|1|13x作出函数的图象，由图可知， . 所以函数的最大值为 3, 最
4、小值为-3.,3y点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.直接观察得到。一、（数形结合法）由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确地判断函数值域的方法例 1、求函数 的值域。 )1(,1xxy ),2练习：求函数 的值域。 13xy 4,二、配凑法： 例:求函数 的值域。652xy练习：求函数 的值域。 1062xy ),1三、分离常量法：例 3、求函数 的值域。1xy练习：1.求函数 的值域 （1， ）21xy(1,)x322. 求函数 的值域 -1，
5、121xy四、换元法：通过对函数恒等变形，将函数化为易求值域的函数形式，来求值域的方法。例 5、求函数 的值域。 xy21 21,(练习：求函数 的值域67yx五、反函数法：利用求已知函数的反函数的定义域，从而得到原函数的值域的方法。例 4、求函数 的值域。 32,xy练习：求函数 的值域。 cdxcdxbay,0,六、判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域的方法。求函数 的值域。 212xy函数必须同时满足以下几个条件才可以用判别式法求其值域：1）分子分母的最高次为二次的分式函数；2 ）分子分母无公约数； 3）未限定自变量的取值范围。练习：求函数 的值域。12xy作业：一、求下列函数的值
6、域：(1) (2) (3) 24yx214yx2,4yx(4) (5) (6) ,(0),1ayxx125xy21xy二、已知二次函数 的定义域和值域都为 1 , b， ( b1 ) ,求 b 的值.21()fx随堂巩固：1、指出下列函数图象的最高点或最低点， 能体现函数值有什么特征？； ，()23fx1,2x2()1fx2,x2、函数 在区间2，4 上的最大值，最小值是（ ）2yxA 1、 B. 、1 C. 、 D. 、 2124123、函数 的最大值 )1()(xxf4、若 ，那么 的最小值 410tt5、函数 的最大值是 yx能力提升1 已知 函数，求函数的最大值和最小值。5,3,21)(xxf2、已知函数 5,2)(2xaxf（1）当 时，求 的最值 -5,37.1a)(f（2）求实数 的取值范围，使 在 上的单调函数 )(xfy, 5或a3、已知函数 ，若对任意 ， 恒成立，试求实数 的xaf2)( ),1x0)(xf a取值范围 答案： 3
