1、 A 题：级联型 H 桥变换器的阶梯波特定消谐技术研究 摘要 我们的模型主要包括四部分： 1）基于经验公式与波形拟合相结合的初值设定模型，用于获取对不同单元级联个数 n能使非线性消谐方程尽快收敛的初值；2）等步长的检验搜索模型，用于确定（ 1）、（ 2）、（ 3）问中特定单元个数下使非线性消谐方程有解的调制比幅值 m 的取值范围； 3） 基于步长搜索模型中开关角范围的包含关系分析模型，用以分析出 m特定时随 n增加所解得开关角的包含关系以及输出电压波形质量改善效果； 4）通过设定控制角改变单元输出正负的 功率均衡求解模型 使各 H 桥变换 器单元在一定周期内实现功率均衡。 在问题一中，主要思路
2、就是初值设定使阶梯波尽可能拟合正弦波；基于此想法建立了一种 基于波形拟合的初值设定模型， 在 n和 m为已知的情况下， 把阶梯波的转折上边沿点和正弦曲线拟合，根据在正弦曲线上的阶梯拐点的纵坐标运用反三角函数确定初始的开关角；针对不能取反三角的 m范围对最后一个初值点采用前点切线取角的方法，得到完整的开关角初值。 解方程采用 matlab中 fsolve函数迭代求解 。但是该模型对 m的范围要求较高，超出范围便不适用；采用一种综合简便性和精确性考虑较优的经验公式，建立了 改进的 补充经验公式的初值设定模型，得到较为完整的初值设定方法。 对 n=3， m=0.8和 m=0.5 以及 n=5,15
3、时不同 m 值的情况设定初值后求解结果表明初值与结果差值很小，而且均能较快收敛。 针对问题二，对特定的模块数 n ， m只有在一定范围内开关角求解方程才会有解；因为 要直接 解非线性超越方程中 m的范围难以实现；所以建立了一种等步长的检验搜索模型，采用对 m的值在一定精度下进行搜索使方程有解来确定其范围的方法，在给定步长下变化 m的值，代入方程看是否有解，逐步搜索出 m在该精度下的范围。在 n=3,5,15 的情况下搜索得出 m的范围，在 m范围内根据公式计算 THD的结果表明 THD随着 m变化波动范围很小，说明求出的范围较为合理 。 在问题三求解上， 沿用步长搜索方法建立了 基于步长搜索模
4、型中开关角范围的包含关系分析模型。 基于问题二的 m 范围， 在 n=3,5,15 都适用的 m 范围内搜索，过程中对确定 m值分别求解不同 n的开关角来分析解的 相互包含关系 ，并计算 THD 来反映 波形质量 ；最终结合所有 m 值的分析结果来综合评估得到不同 n的解的 相互包含关系，以及 n 增加的波形质量总体改善特性。取 m=0.85 的 开关角 解的相互包含关 系结果表明了模型反映了解具有包含关系，波形质量的改善特性也反映了随 n 增加质量更优的结果。 对于问题四，为了实现功率均衡，对每一模块单元设定三个控制角，使单元的输出为先正后负再正，综合功率相等与谐波消除列出方程， 增加一定数
5、目功率相等约束方程 ,同时减少一定数目消谐波方程，解方程求解控制角。对应控制角的值， 控制各模块开关 S1i， S2i， S3i， S4i 。 综上所述，模型在初值设定下 开关角的求解值 较为 精确； 使开关角有解的 m范围求解较为 可靠 ；分析解的包含关系中 THD 随着 n增大而减小， 反映 对谐波的消除效果 较 好；并且在 单 元 功率均衡优化开关控制策略 上能给出可行的方案。 模型具有一般性，可推广到 实际工程的消谐技术中 。 关键词 ： 非线性 消谐方程，初值设定，调制比幅值范围，功率平衡 I 问题重述与分析 1.1 问题背景 在电力系统中实现高电压、多电平输出的研究中，解决脉冲宽度
6、调制（ PWM）较广泛的方法主要是 SPWM(Sinusoidal PWM)法，其中运用三电平级联 H 桥变换器的特定谐波消除脉宽调制技术（ Selected Harmonic Elimination Pulse Width Modulation， SHEPWM）是实现 SPWM 法的一种方案。关键是通过选择特定的开关时刻，在满足期望的输出基波电压 vac的同时，来消除选定的低次谐波，进而改善输出电压的波形质量 ，根据题意分析和已有的研究成果，发现初值设定对于求解结果的准确性和收敛性有影响 。 1.2 问题的分析与拆解 1.2.1 问题剖析 在 n 个单元串联的 H 桥变换器系统中，对于第 i
7、 个 H 桥变换器单元，控制开关可得到的输出电压 vaci 主要有 Vdci， 0， -Vdci；当 H 桥变换器单元直流侧独立电压 Vdci都为 Vdc时，可输出（ 2n+1）电平数的阶梯型 电压 vac，通过对该波形进行傅里叶级数分解，以导通角 i 表示 n 个单元分别导通时序，那么 vac的第 s 个奇数次谐波的幅值的傅里叶级数可以改为式（ 1）： 121 , 3 , 5 ,4 c os( ) c os( ) c os( )dcsnsVV s s ss （ 1） 其中： 120 2n 。 因此消谐技术的关键就是试找出一组 i（ i=1, n），使输出电压的基波分量幅值为 V1m，且不含有
8、低次谐波。具体方法如下： 定义调制比幅值 m=V1m/(nVdc)，那么根据上述消除谐波的要求，令低频率的展开方程部分为 0，便可写出消谐关于 i（ i=1, n）的非线性代数方 程组式（ 2）。 1121212c os( ) c os( ) c os( )44c os( 5 ) c os( 5 ) c os( 5 ) 0c os( 7 ) c os( 7 ) c os( 7 ) 0.mndcnnV n mV (2) 另外，对于特定的级联模块数 n，调制比 m在一定范围内取值才能使非线性方程组有解。并且需要一组初值 i0（ i=1, n）使方程组求解收敛。 如需校核阶梯波特定消谐技术的输出电压
9、 vac波形质量，可通过总电压谐波畸变率（ Total Harmonics Distortion， THD）来描述，如式（ 3）。 %1 0 0%1 0 0 212432112725213,2,1 162 VVVVVVVT H D kkii (3) 可见低次谐波若占有输出的部分越少， THD 的值就越小，消谐得到的波形质量越 高。 因此，综上分析，式（ 2）为模型求解约束条件（根据此约束条件进行求解），式（ 3）数值尽量小为约束求解下的目标函数。 1.2.2 问题拆解 综合题意指定及剖析，原问题的五问可拆解分为以下几个子问题模型的建立和求解： （ 1）初值设定模型：如何建立合理的初值确定模型使
10、式（ 2）的非线性超越方程求解尽快收敛，并满足一定精度要求； （ 2）迭代求解模型：给定 n， m 时，如何对方程（ 2）中 i（ i=1, n）进行快速求解：针对问题 1 至问题 3 中 i的角度求取； （ 3）有解判定及 搜索 模型：给定 n 时如何迭代收搜使方程（ 2）有解的 m范围：针对问题 1 至问题 3 中 m 范围的求取； （ 4）解的延伸与判定模型：给定 m 情况下， n 从小变大时 i（ i=1, n）解是如何拓展延伸的，具备何种规律，以及如何编程建立基于 THD 的波形质量判定程序：针对前三问中 THD 求取及第四问； （ 5）功率均衡求解模型：如何对各单元的通断角度进行综
11、合匹配设定，使得各模块单元功率相等：针对第五问。 1.3 总体建模求解思路 根据以上对问题的剖析和拆解，我们的总体建模求解思路如下： （ 1）初值设定模型：阶梯型波上拐角点与正弦曲线重合； （ 2）迭代求解模型：对不同的 n，通过初值设定模型求取初值，通过牛顿迭代求解； （ 3）有解判定及 搜索 模型： 取 给定步长下变化 m 的值， 求出对应初值，再进行迭代求解，确定 m 的取值范围； （ 4）解的延伸与判定模型： 通过 m 范围选取合适的 m 值 ，求出 不同模块数n 所对应 开关角 进行 讨论分析 ； （ 5）功率均衡求解模型：所有单元在 1/4 周期内先正后负再正。 II 基本假设 1
12、、假设每个模块单元只有三个控制角度。 2、 假设每个模块单元完全相同。 III 符号说明 M 调制比幅值 N 串 联的电平数 i0 开关角的初值 i 开关角的解 Vdc H桥变换器单元直流侧独立电压 V1m 电压的基波分量幅值 搜索 m时的步长 THD 总电压谐波畸变率 开关角初值与求解结果误差 Vs 第 s个奇数次谐波幅值 Vci 单元 i的输出电压 基波幅值 S 各模块单元的变换功率方差 IV 初值设定模型及迭代求解模型 4.1 迭代求解模型 方程组式（ 2）为 非线性超越方程组，解决该类方程组比较常用的一种数值方法是牛顿迭代法， Matlab 内置的基于最小二乘的 fsolve 函数，可
13、采用高斯 -牛顿迭代法搜索，加快对求解的收敛速度，因次我们考虑使用 fsolve 函数进行求解。 4.2 初值设定模型 采用迭代求解模型 的缺点是对初值的选取有一定的要求，初值选取对方程组求解收敛性和结果的精度有直接影响 1。所以解决问题一的建模关键在于建立一个能给出可靠初值的模型方法。 方程组式（ 2）为非线性超越方程组，解决该类方程组 比较常用的一种数值方法是 迭代法，我们考虑 使用 Matlab 软件内置的 fsolve 函数进行求解，但是该方法对于初值的选取有一定的要求，初值选取对方程组求解收敛性和结果的精度有直接影响。所以解决问题一的建模便转换为建立一个能给出可靠初值的模型方法。 4
14、.2.1 模型建立的准备 给出 n=3,m=0.8;在运用模型给出初值 10 、 20 、 30 的情况下采用 Matlab 中fsolve 函数迭代求解方程对应的变量值为 1 、 2 、 3 。 4.2.2 模型建立 基于波形拟合的初值设定模型 对于 n 已知的情况， H 桥变换器单元输出电压叠加消谐得出的阶梯形电压如图 1所示。 V d c2 V d c3 V d cn V d c 1 23n2- n V d c- 3 V d c20图 1 叠加消谐得出的阶梯形电压 实际采用交流波形叠加通过开关角消谐得到阶梯波，使其更接近正弦波。基于此原理，当阶梯波的阶梯高度 dcV 和 n已知时，采用阶
15、梯曲线与正弦曲线拟合的方法，视纵坐标为 dcVk （ k=1,2.n）的阶梯拐角点 dcVkk， 刚好都在正弦线上时为较好拟合；则可以得到较可靠的初值 i0 便为 k 的值。 由调制比公式 m=V1m/(nVdc)可得， nmVV mdc 1 (4) 取 V1m=1，可以得到初值， i0 = nmk 1-sin （ k=1,2.n-1） (5) 由于可能 m值不同可能出现如下图出现的两种拟合情况 (a)m1 (b)m1: 正弦曲线能包括阶梯波形，所以 n0 = m1sin1- (6) (2) m nVdc，对第 n个初值只能采用近似取值的方法，采用 (n-1)点出的导数作为斜率，取 01-n）
16、（ 至 2/ 终点为区间的斜直线的中点，其纵坐标对应的 值作为第 n个初值为 n0 = 0)1(0)1(0)1( 2/c1/ 2 nnnos (7) 最终可以得到 n个基本的初值，并代入方程求 得开关角的解。 4.2.3 模型的结果和分析 n=3， m=0.8 的初值分别为： 10 =0.4298 20 =0.9851 30 =1.1470 代入方程运用 fsolve函数求解结果为： 1 =0.5103 2 =0.9501 3 =1.1255 回代到原方程组得： 1 2 341 2 351 2 3*3c o s( ) c o s( ) c o s( ) 1 .8 8 4 9 0 .9 9 9
17、9 * * 0 .84c o s( 5 ) c o s( 5 ) c o s( 5 ) - 1 .5 7 0 5 * 1 0c o s( 7 ) c o s( 7 ) c o s( 7 ) - 4 .6 8 5 4 * 1 0 (8) 从结果可知，此时求出的开关角的值非常精确，对于此情况得出结果的迭代收敛，该初值选取的模型比较可靠。 4.3 初值设定模型的改进和求解 4.3.1 初始模型的局限性 对 n取某一特定值，通过分析可知当 (n-1)/(n*m)1时， nmk 1-sin 没有实数解，模型计算初值不再适用；即 m的范围为：nn )1(m ，在此范围内改变 m对应不同的 n的解的情况如表
18、 (1)。 表 1 不同 m和 n情况下开关角的求解 n=5 (m0.8) m=0.9 m=1.04 0 初值 i 结果 误差 0 初值 i 结果 误差 0.2241 0.2401 -0.0364 0.1935 0.1766 -0.0607 0.4606 0.4703 -0.0253 0.3948 0.2277 -0.0337 0.7297 0.7596 -0.0012 0.6150 0.4779 -0.0043 1.0949 0.9933 -0.1467 0.8766 0.7161 0.3300 1.2039 1.1587 -0.1441 1.2925 1.0666 0.6476 m=0.9
19、4 m=1.05 n=15 (m0.93) 0 初值 i 结果 误差 0 初值 i 结果 误差 0.0710 0.0378 -0.3612 0.0606 0.0321 -0.4269 0.1423 0.1230 -0.0336 0.1215 0.0973 -0.0567 0.2144 0.2215 -0.0021 0.1828 0.1928 0.0309 0.2876 0.2222 -0.0452 0.2449 0.1889 0.0121 0.3625 0.3319 0.0660 0.3079 0.2759 -0.0051 0.4395 0.4707 0.0276 0.3722 0.3190
20、0.0052 0.5195 0.4801 0.0075 0.4381 0.3820 -0.0008 0.6033 0.6203 0.0120 0.5062 0.4424 -0.0086 0.6923 0.6826 -0.0502 0.5769 0.5098 0.0055 0.7884 0.7462 -0.0202 0.6511 0.5845 0.0081 0.8949 0.9021 -0.0117 0.7297 0.6702 0.0009 1.0180 1.0064 0.0092 0.8143 0.7759 -0.0025 1.1732 1.1384 0.0238 0.9074 0.9105
21、0.0009 1.4516 1.4063 0.0196 1.0131 1.0067 -0.0135 1.4587 1.5858 0.0342 1.1411 1.1316 -0.0220 在 m的范围满足约束时初值选取较为可靠，但是经过验证可以发现在 m小于该约束时模型不适用，但取适当的初值方程仍然有解，模型具有局限性。 4.3.2 模型的改进 补充经验公式的初值设定模型 在拟合曲线的初值确定模型的基础上，为扩大模型的适用范 围，使得模型在nn )1(m 时仍然能得出可靠的初始值，通过查阅相关文献选取了一种经验公式来改进模型；从文献 2的初值确定思路来看，该经验公式在实际工程应用广泛，该公式是以
22、给定适当 0m 的初值得到的解为基准，不断给 m一个很小的增量，逐步迭代得到所求的 m的初值，经验表明用牛顿迭代法可以很快收敛于新的解，所以采用经验公式改进原模型。 当nn )1(m 时，据经验公式可以得 到 0m 时，初值 0i 计算方法 (i 为奇数且3iN-3)： 10200( 1) 0( 2 ) 0( 1) 0001201.60( 1)160( 1)1.60( 1)16060( 3)1iinnnnininnnnn (9) 给迭代初值时，不能让任意两个开关角相等，否则在解线性方程组时 会发生奇异，故采取以下修正方法： 0( 1 ) 060( 1) 0.01160( 1) 0.011iii
23、nin (10) 将此计算方法添入 基于波形拟合的初值确定模型，得到改进后 补充经验公式的初值确定模型。 4.3.3 改进模型的结果和分析 对于 n=3的情况，取 m=0.5，此时 m超出原模型范围 (m2/3),此时采用改进模型赋值得： 10 =0.5236 20 =0.7854 30 =1.0472 代入求解得到开关角的结果为： 1 =0.7116 2 =1.1489 3 =1.5595 此时 1 2 341 2 341 2 3*3c o s( ) c o s( ) c o s( ) 1 .1 7 8 1 1 * * 0 .54c o s( 5 ) c o s( 5 ) c o s( 5
24、) 2 .8 7 4 9 * 1 0c o s( 7 ) c o s( 7 ) c o s( 7 ) - 6 .1 3 8 2 * 1 0 (11) 从结果可知，此时求出的开关角的值非常精确， 初值的结果迭代收敛，非常可靠。 所以改进后的初值确定模型适用范围大，迭代收敛的效果较好；对初值确定体现了优化效果。 V 有解判定及搜索模型 5.1 模型建立的准备 首先 对给定 n 的值，分别取 n 为 3,5,15 来对 m的范围进行研究；当 m 的值确定时，采用问题一的初值设定模型给出初值，求解开关角沿用 fsolve 函数的迭代方法。 5.2 模型的建立 等步长检验搜索的有解判定模型 对于仅给出了
25、 n 的情况， m 此时是变量，我们先考虑 m 最大可能取到的范围。由公式 1 2 311121114c o s( ) c o s( ) . c o s( )c o s( ) c o s( ) . c o s( )44/ ( )c o s( ) c o s( ) . c o s( ) 1dcmmndcm dcnnV nmVm V n VVV (12) 知 m0。 所以 0m4/。由于方程组（ 2）中的各项均任意次可微，说明此方程组的可解范围也应连续。当 m 在 (0, 4/)时，采用逐个 m值点的搜索思路，选取等步长依次增加 m 的值进行搜索，用求解方法找出使方程有解的 m 值，若设步长规定为
26、 ，则有 1ii mm (i=0,1,2.n) (13) 其中 m0=0， mn=(4/ - )；把确定的 n， mi代入方程 (2)求解即可确定 mi是否符合有解的条件。最后把 mi对应的 i 通过图像描绘就可以得到使得方程有解的 m的范围。具体方法如下： m 从 0 开始，设置 =0.01， mi的取值依次为 0， 0.01， 0.02 1.27。对于每一个 m 值，根据补充经验公式的初值设定模型，分别求取相应的初值，然后 通过 fsolve 函数进行开关角 的求解，如果能够求解出符合要求的 值，则认为m 符合要求。根据此时求解出的 值，计算相应的 Vs ，求出对应的 THD。 5.3 模型的结果与分析 绘制 m 值与求解出的开关角关系图，在图上 ，若对应一个 m的取值满足关系120 2n ， 即开关角之间大小不能相等；实际上两个开关角大小相差大于 0.05/n 时我们认为不相等，且最大的开关角小于 1.57，最小的开关角大于 0。则认为该 m 值满足要求。 当 n=3， m 与开关角 的关系如图： (a) 全局情况 (b)m 值左极限放大情况
