1、函数凹凸性的判定性质及应用曹阳 数学计算机科学学院摘 要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及判定定理。在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。一元到二元，即增加了一个变量，那么对于元的情况是否有相似的函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至元的情形，给出元凹凸函数的定义，判定方法及性质。本文主要讨论了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍了它们应用。关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用； Convex f
2、unction of Judge Properties and ApplicationsAbstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision
3、 theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a sim
4、ilar function exist? This layers of depth, the binary function to re-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes the
5、ir application. Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications; 1.引言凸函数是数学中一类极其重要的函数，它在最优化，运筹与控制理论，模具设计等方面具有重要的理论和实践意义。凸函数在大学数学中很少具有直接的运用，而导数在函数图像的凹凸性研究是大学数学中一个重要的知识点，这说明凸性在大学数学，特别是数学分析中的应用没有得到应有的正视，长期以来，凸函数被热为只在一些具体学科，如机器人学，模具设计或一些数学分支（如全局优化，运筹学等）中具有
6、重要的运用，而在大学数学中没有应用。本文将重点探讨凸函数在分析学中的一些简单应用。在本文中，我们首先给出凸函数的多种定义，性质，然后探讨二元与多元的情况下凸函数的定义，判定及性质。2. 一元函数凹凸性的判定2.1 凸函数的多种定义及等价证明下面先先给出凸函数的13种常见定义。假设I R，f:I R.定义2.1.1 1： f在I 内连续（ ） ,则称f为凸函数。 （ ） （ ）定义2.1.2 1：若 则称f为凸函数3221123 ()() fxfxfx ， ， ，定义2.1.3 1：的行列式 0，则称f为凸函数123123xx （ ）， ， ， ， （ ） （ ） 定义2.1.4 1：，则称f为
7、凸函数12x ， ， （ 0， 1） ， （ t （ -t） ） t （ x） （ 1-t） （ ）定义2.1.5 1: ，则称f(x) 为凸函数111nnn ， ， 有 （ ） （ ）定义2.1.6 1：12x （ .） ， （ ） ， （ ） 且 （ ） （ ）(） ， ， （ ） （ ）则称f(x)为凸函数定义2.1.7 1：若在内存在单增函数 , I, x I,有（）（ ） ，则称f为凸函数。d （ ） 定义2.1.8 1：设f在I上连续， 且 有12x， ， 12x，则称f为凸函数。12 12+()xfxd （ ） （ ） 定义2.1.9 1：若 ， ，（ ） x （ ），则称f为凸
8、函数。 （ ） （ ） （ ） 定义2.1.10 1：若在内可导， ， ，有（） （）（）（），则称f为凸函数。定义2.1.11 1：若在可导，且 （）单调递增，则称f为凸函数。定义2.1.12 1：在内二次可导， （） ，则称f为凸函数。 定义2.1.13 1：在区间上凸函数的充要条件是：函数为0,1上的凸函数， （ ） （ （ ） ）下面给出几种定义间的相互证明。定理2.1.1 1 若在区间上可导，则定义 定义证明：因为在内存在单增函数 ， ， ， 有 ：（）（ ） （） dt （ ）故对于 ，不妨设，有： （）（ ） （） dt （ ）将式（）两边关于求导，得 （） （ ）（）（） ，得
9、：（）（） d （ ） d （ ） d （ ） d （ ） （） ； （）d （ ） （ ）因为 单调递增，且 ，所以 ，式（）可化为：（ ） （ ） （ ）（）（）（） （） （）（ ） （ ）（）即（） （）（）（）定理2.1.2 1： 若在上连续，则定义 定义。证明：因为 为 上的凸函数，故：（ ） （ （ ） ） ， （ ） （ （ ） ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）特别地，当 时，有（ ）12 （ ） （ ）先证不等式的左边I， ，由实数的性质知在上可确定一个闭区间 ，若1x， ， ，则关于 的对称点是 ，而在上连续， ， 所以积分存在，所以： d
10、 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 即 （ ） （ ） 下证不等式的右边作变换 x t（ 0 ） ， 则 t x u（ ） x （ 1 u） x， dt （ x） du，当 t 时 ， u 1； 时 ， 0d （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）（ ） 即 ，故 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）定理2.1.3 1 若在上二次可导，则定义 定义。证明 因 ， ，1x2 （ ） （ ） （ ） （ ）令 ，即（）x ， 则 ， 故 （ ） （ ） （ ）（ ） （ ）（ ） ；又因为在 ， 所 以 x （ ） （ ） （ ） （
11、 ） 上可导，则在上连续，故由极限的性质可知因为具limlimx x （ ） （ ） （ ） （ ） ， 即 （ ） （ ）有二阶导数，所以 ，即 ， ，都有 （ ） （ ） ， （ ） （ ） 1x2，设为上任意固定点，则 （ ） （ ）0lixx （ ） （ ） ， 所 以 （ ） 。定理2.1.4 1 定义 定义2证明 因为（）在内可导，且 单调递增， I, 且 （ ） ， ， 。可确定两个区间 ， ，曲线（）在 ， ， （ ，（ ）的切线方程为（ ） （ ）故横坐标为2x2 （ ） 的曲线的纵坐标与切线纵坐标之差为：（）（）（ ）（ ）而（）在内可导，而 ，故（）在 （ ） ， 内连续
12、，在（ ）上可导，所以（）在 上满足拉格朗日 ， ， ， 中值定理，即 （ ） ， ， （ 。由式（） ，当 时，有： ） （ ） （ ） （ ） （ ）（ ）（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 同理（）在 上满足拉格朗日中值定理，即 （ ） ， ， ， （ 。由式（） ，当 时，有：（ ） （ ） （ ） （ ） ）（ ）（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）（ ） 。由式（）得 （ ） （ ） （ ） （ ） x （ ） （ ） ，由式（）得 ，所以 （ ） x （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） x （ ） （ ） 2.2 凹
13、函数的多种定义及等价证明凹函数的13种常见定义。定义2.2.1 1： f在I 内连续（ ） ,则称f为凹函数。 （ ） （ ）定义2.2.2 1：若 则称f为凹函数3221123 ()()fxfxfx ， ， ，定义2.2.3 1：的行列式 0，则称f为凹函数123123xx （ ）， ， ， ， （ ） （ ） 定义2.2.4 12x ， ， （ ， ） ， （ （ ） ） （ ） （ ） （ ）则称f为凹函数定义2.2.5 1 : ，则称f 为凹函数111nnn ， ， 有 （ ） （ ）定义2.2.6 1：12x （ 。 ） ， （ ） ， （ ） 且 （ ） （ ） （ 。 ） ， ，
14、 （ ） （ ）则称f为凹函数定义2.2.7 1：若在内存在单减函数 , I, x I,有（）（ ） ，则称f为凹函数。d （ ） 定义2.2.8 1：设f在I上连续，则称f12 121212+x()fxfxx d ， ， 且 有 ， （ ） （ ） 为凹函数定义2.2.9 1：若 ， ，（ ） x （ ），则称f为凹函数。 （ ） （ ） （ ）定义2.2.10 1：若在内可导， ， ，有（） （）（）（），则称f为凹函数。定义2.2.11 1：若在可导，且 （）单调递减，则称f为凹函数。定义2.2.12 1：在内二次可导， （） ，则称f为凹函数。 定义2.2.13 1：在区间上凹函数的充
15、要条件是：函数。为0,1上的凹函数。 （ ） （ （ ） ）几种定义间的推到证明即可类比与凸函数的情况2.3 关于凸凹函数性质的总结上一段为凸（或凹）函数的十三种定义及部分定义间的相互证明，这一段在此基础上就凸（或凹）函数的性质方面作进一步思考。根据上文所提到的定义，可知性质2.3.1 2：当在上一阶可导时，由在单增（或减）， （ ） （ 或 ） （ ） （ ） （ ）证明：必要性：计算 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ （ ） （ ） ） （ ）（ 介于 和 之间） 由于在单增（或减），可知上面两个因子同号，故有或 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）充分
16、性：设 ，有 或 。当x ， f（ x） （ ） f（ x） （ ） f（ x）而 时就有 或 （或 x， ， （ ） （ ） （ ） 及 （ ） ） f（ ） （ 或 ） f（ ） （ ） f（ ）两式相加即有 或 由 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 可见 即f在I上I上单减（或单增） f（ x） （ 或 ） f（ x） ，性质2.3.2 2 设在上可导，在下凸（或上凹）或 由于 ， ， （ ） （ ） f（ ） f（ x） （ ） ，是过 的曲线的切线，由于上f（ x） f（ ） f （ x） （ ） ， （ ， （ ） ）面不等式的几何意义是：下凸（上凹）曲线总在曲线上的
17、任一点的切线之上（下）。性质2.3.3 2：当在上二阶可导时，则可得 当在上二阶可导时，在下凸（或上凹） xI， f（ ） （ 或 ） 0证明：必要性：在上二阶可导，且下凸（或上凹） 在I上单增（或单减） （ ）或） （ ） （ ） 0， I充分性： ， ，有 或 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ！ ！据上面的证明中徳充分性，可知已做；额下面 ） （ ） （ ） （ ） ，证明链的证明： 或f在I上单增或单减） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）性质2.3.4 2：若在上可导，则下述两个断语等价：（） f（ x） （ 或 ） f（ x） （ ） f（ x）（） 22 f
18、（ ） f（ ）f（ ） （ 或 ）证明：（） （） 令 则 ， ， ， 22 ， 于是 或 （ ） （222 ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）两式相加，即得 或 （ ） （ ） （过点 ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）与 的弦为 亦即 （ ， （ ） ） （ ， （ ） ） （ ） （ ） （或2 （ ） （ ） ）当令上式中的 （ （ ） ） （ ） （ ） （ ） 是两点 横坐标的差）2 （ （ ， （ ） ） ， （ ， （ ） ）令 当此时两点的横坐标缩小一半时） ，上式仍然成立 或2 （ ） （ ） （ ，用数学归纳法易证 （ （ ） ） （ ） （ ） （ ）
