1、1第 16 次理论课教学安排课程名称 高等数学 课程类型 必修课 选修课 授课专业授课内容 2.4 导数的应用（三） 授课学时 2授课类型 理论课 上机课 讨论 习题课 其它 教学目的与要求1、理解曲线凹凸性的概念2、掌握曲线凹凸性的判别方法3、掌握拐点的求法教学重点、难点重点：曲线的凹凸性与拐点难点：曲线的凹凸性与拐点教学方法 以讲授为主，讲练结合 教学过程一、问题引入二、讲授新课三、总结及作业布置参考资料（ 1） 高 等 数 学 夏 国 斌 主 编 省 规 划 教 材 、 安 徽 大 学 出 版 社（ 2） 高 等 数 学 程 伟 主 编 、 孙 祖 康 主 审 中 国 科 技 大 学 出
2、 版 社（ 3） 高 等 数 学 ， 夏 国 斌 主 编 ， 电 子 科 技 大 学 出 版 社（ 4） 高 等 数 学 学 习 指 导 ， 吴 方 庭 主 编 ， 电 子 科 技 大 学 出 版 社2图 12.4 导数的应用-曲线的凹凸与拐点课题： 曲线的凹凸与拐点 目的要求：理解曲线凹凸性的概念、掌握判断函数图形的凹凸性、求函数图形的拐点等方法。重、难点：判断函数图形的凹凸性、求函数图形的拐点教学方法：讲练结合教学时数：1 课时教学进程：函数的单调性可用函数的一阶到函数来判定，对于同样的递增函数有着不同的增法，如向上凸的增或凹的增，那么对于这 两种不同的增法我们如何刻画那？一、曲线的凹凸与
3、拐点 xyo()fxABxyo()yfxAB1曲线的凹凸定义和判定法从图 1 可以看出曲线弧 ABC 在区间 内是向下凹入的，此时曲线弧 ABCca,位于该弧上任一点切线的上方；曲线弧 CDE 在区间 内是向上凸起的，此时曲b,线弧 CDE 位于该弧上任一点切线的下方关于曲线的弯曲方向，我们给出下面的定义：定义 1 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的例如，图 1 中曲线弧 ABC 在区间 内是凹ca,的，曲线弧 CDE 在区间 内是凸的bc,由图 1 还可以看出，对于凹的
4、曲线弧，切线的斜率随 的增大而增大；对于x3凸的曲线弧，切线的斜率随 的增大而减小由于切线的斜率就是函数x的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是xfy单调减少的由此可见，曲线 的凹凸性可以用导数 的单调性来判fyxf定而 的单调性又可以用它的导数，即 的二阶导数 的符号来f fy判定，故曲线 的凹凸性与 的符号有关由此提出了函数曲线的凹凸xfyxf性判定定理：定理 1 设函数 在 内具有二阶导数fba,（1）如果在 内， 0，那么曲线在 内是凹的；ba, ba,（2）如果在 内， 0，那么曲线在 内是凸的x例 判定曲线 的凹凸性3y2拐点的定义和求法定义 2 连续曲线上
5、凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点定理 2(拐点存在的必要条件) 若函数 在 处的二阶导数存在,且点xf0为曲线 的拐点,则0,xfxfy.0f我们知道由 的符号可以判定曲线的凹凸如果 连续，那么当 f的符号由正变负或由负变正时，必定有一点 使 0这样，点就是曲线的一个拐点因此，如果 在区间 内具有二阶导0,f xyba,数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线 的拐点:f(1) 确定函数 的定义域；xfy(2) 求 ；令 0，解出这个方程在区间 内的实根； ,(3) 对解出的每一个实根 ，考察 在 的左右两侧邻近的符号如果xf0在 的左右两侧邻近的符号相反，那么点 就是一个拐点，如果x
6、f0 ,f在 的左右两侧邻近的符号相同，那么点 就不是拐点例 求曲线 的凹凸区间和拐点23xy解 （1）函数的定义域为 ；,（2） ；令 ，得 ；16,62 xx 0y1x（3）列表考察 的符号（表中“ ”表示曲线是凹的， “ ” 表示曲线是凸的）： ,1 ,y- 0 +4图 2曲线 y拐点2,1由上表可知，曲线在 内是凸的，在 内是凹的；曲线的拐点1,为 2,1例 已知点 为曲线 的拐点，求 的值。(,3)32yaxb,ab要注意的是，如果 在点 处的二阶导数不存在，那么点 也可f0 0,xf能是曲线的拐点例如，函数 在点 处的二阶导数不存在，但是点3,是该函数的拐点(图 2)0,小结本讲内容：函数图形凹凸性的判断、函数图形的拐点求法。描绘简单的常用函数的图形（包括水平渐近线和铅直渐近线） 。作业： 作业册 第二章 单元练习四
