1、平面与空间直线的方程以及它们的位置关系高天仪 20101105055数学科学学院 数学与应用数学专业 10 级汉二班指导教师 李树霞摘要 解析几何中，在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具，通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的.平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些几何对象的方程的代数问题了.在这里，我们通过向量来讨论一下平面和空间直线的方程以及它们之间的位置关系.关键词 法向量 方向向量 参数方程;1 空间平面的方程1.1 空间平面的一般方程一个平面 是由垂直它的非零向量 和平面上的一个点,CBAn唯一决定的，称 为
2、 的法向量.),(00zyxM由于 为平面 的法向量， 为 上一点，则对于空间中任意一点n0M， 在 上当且仅当),(zyx或 （1.11）0 nO0用坐标来表示，化为)()()( 000 zCyBxA令 ，则得到平面的方程(0CzyD（1.12）Dx这样，任何一张平面都可以用一个三元一次方程来表示.反之，对于任何一个三元一次方程不全为 00CzByAxCBA,不妨设 ，则该方程又可写成0A0)(CzByADx作过点 ，垂直于方向 的平面，则这个平面的方程就是所给出),(,的方程，即一个三元一次方程表示一个平面.由（1.12）表示的方程称为平面的一般方程.1.2 空间平面的法式方程把（1.11
3、）式两边同时与 相乘，符号的选取使得 .n1 0)(nOM这样n0为从原点指向平面 的单位向量0)(OMpo为原点 与平面 的距离.此时可以得到 的另一种方程表示O， ，n010p称为平面的法式方程，选取的 称为法化因子.它的几何意义是：平面 是由所有的满足 在垂直于 的直线上投影向量为 的点 构成的.若以给平面M0nM的方程为DCzByAx则 的法式方程可以表示成0)(z其中法化因子 ， 正负号的选取要使得 .法式方程常221CBA0D用来处理和点与平面的距离有关的问题.1.3 空间平面的参数方程图 1从图 1 中可以看出，平面 是由 上一点 与两个不共线的与 平行的0M向量 （或者说是 上
4、两个不共线的向量）所决定的.设 ，ba, 0),(0zyx， ， ， 与 平行且 .则空间中任意一点)(321),(321baba在 上，当且仅当 , , 三向量共面 .从而有实数 ， ，使得 ,zyxM0bkm或者 mk0 OM0使用分量来表示，则可得到（1.31）3021bkazyx我们称（1.31）为平面的参数方程，其中参数为 和 .从（1.31）中消去km参数 ， ，可以得到关于 , , 的三元一次方程kmxyz=0321000bbaa1.4 空间平面的截距式方程对于由方程 所表示的平面 .假设 过原点 O，即0DCzByAx在 上当且仅当 .若 ，则平面 可用方程)0,(（1.41）
5、1czba表示，其中 ， ， 分别为 与三个坐标轴的交点坐标.则我们),()0,(),(称（1.41）为平面的截距式方程.2 空间直线的方程2.1 直线的对称式（点向式）方程空间给定了一点 与一个非零向量 ,那么通过点 且与向量 平行的0Mv0Mv直线 就被唯一确定,向量 叫直线 的方向向量. l vl任何一个与直线 平行的非零向量都可以作为直线 的方向向量.l l图 2 如图 2，直线 过点 ,方向向量 .设 为 上任l),(00zyxMZYXv,),(zyxMl意一点, , ,由于 与 (非零向量)共线,则 0rOrvt0即 （2.1-1） r叫做直线 的向量式参数方程， （其中 为参数）
6、.l t如果设 ， ,又设 ，那么由（2.1-,00zyxrzyxr,ZYXv1）式得（2.1-2） ZtzYyXt0叫做直线 的坐标式参数方程.l消参数 即得 t(2.1-3)ZzYyXx000叫做直线 的对称式方程或称直线 标准方程. l l例 1 求通过空间两点 ， 的直线方程.),(11zyxM),(22zyx(图 3)解 取 作为直线 的方向向量，设 为直线 上的任意点21Mvl ),(zyxMl（如图 3） ，那么 ,1221212xrOr 所以直线 的向量式参数方程为l（2.1-4）);(121rtr坐标式参数方程为 （2.1-5）)(121ztzyyxx对称式方程为 （2.1-
7、6）121212yx方程（2.4-4） （2.4-5） （2.4-6）都叫做直线 的两点式方程.l若取直线 的方向向量为 ,则直线的方程为lcos,cs0v(参数方程)0tr或 （2.1-7）cos0tzytx标准方程 （2.1-8）00zx由此可见参数 的几何意义 : 为直线 上点 与点 之间的距离. ttlM0定义 1 设直线的方向向量的分量为 ，则直线的方向余弦nml,为cos,cs22csnl22oml22csnl2.2 空间直线的一般方程空间直线可以看作两个平面的交线.如果两个相交平面的方程分别为和 （ ） ，则011DzCyBxA 022DzCyBxA 221:CBA它们的交线是空
8、间直线.该直线上任何一点的坐标应同时满足这两个平面方程，而不在该直线上的点的坐标不能同时满足这两个方程.所以方程组（2.2-1）02211DzCyBxA就是这两个平面交线的方程.方程（2.2-1）称为空间直线的一般方程.2.3 直线的射影式方程由于直线的表示法不唯一,也可以用简单的两平面来表示.如 将一般方程(特殊的一般方程)化为 (2.3-1）dbzycax则此方程是直线的射影式方程.3 空间中直线与平面的位置关系 3.1 空间直线与平面的位置关系 定理 1 已知直线 和平面 的方程为l.0: ,0DCzByAxZYX则直线 与平面 相交的充要条件是lY直线 与平面 平行的充要条件是 00z
9、yx直线 在平面 上的充要条件是l00DCBAZYX例 2 试求 ， ，使得直线 在 坐标平面上.AB23zyxxOy解 在直线的方程中，令 解得 ， ，得01A123z是直线上的点.由于直线的方向向量为 ，)123,01( 6,Bv坐标平面的方程是 ，它的法向量是 ，依题设得直线上的点在xOy0z ,n坐标平面上，且直线的方向向量与平面的法向量垂直，即01236AB解得 ， .32A6B3.2 空间直线与平面的交角设直线 和平面 的交角为 .当 时， ；当 时， ；其l/l0l2他情况下， 等于 与它在 上的射影直线 所交的锐角 .设 是 的方向向量 与 的法向量 之间的夹角，则有lvn或2
10、或si)cos( .sin)2cos(因此在这两种情况下，都有 .nvcosin定理 2 已知直线 和平面 的方程为l0:0DCzByAxZYX设 和 的交角为 ，则l222sinCBAZYXv例 3 证明直线 和平面 相交，并求它们1:zyxl09:zyx的交点与交角.解 将直线 的方程化为参数方程ltzytx12)1(将 代入平面 的方程整理得)1(063t解得 ，将此值代入 得2t)1(.2,5zyx因此直线 与平面 相交，且交点为 .l)3(0P由于直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，应用公式1,v1,2n得 2sinv由此得直线 与平面 的交角 .l6参考文献1吕林根,许子道.解析
11、几何第四版.高等教育出版社.2006.05 2同济大学应用数学系.高等代数与解析几何.高等教育出版社.2005.053谢敬然,柯媛元.空间解析几何.高等教育出版社.2013.054高红铸,王敬庚,傅若男.北京师范大学数学科学学院组编.空间解析几何第三版.北京师范大学出版社.2007.07.03Plane and space linear equation and the position relationship between themGao Tianyi 20101105055College of Mathematics Science Mathematics and Applied Ma
12、thematics class two grade 2010Adviser Li ShuxiaAbstract in analytic geometry, in plane and space linear equation and discuss their properties, use the vector of this tool, through the benefits of vector to deal with this kind of problem is has nothing to do with the selection of coordinates is. The
13、establishment of the linear equation of plane and space, makes the plane and space geometric problem into a linear equation of the objects of these geometric algebra problem. Here, we discuss by vector space plane and straight line equation and the location of the relationship between them.Key words equation method ;vector direction; vector parameter 目录摘要 11 空间平面的方程 11.1 空间平面的一般方程 11.2 空间平面的法式方程 21.3 空间平面的参数方程 21.4 空间平面的截距式方程 32 空间直线的方程 32.1 直线的对称式（点向式）方程 32.2 空间直线的一般方程 63 空间中直线与平面的位置关系 63.1 空间直线与平面的位置关系 73.2 空间直线与平面的交角 7参考文献 9英文摘要 9
