1、数学教学设计新世纪小学数学 10册尝试与猜想中国人民大学附属小学赵 俊 强2013年 4月1尝试与猜想教学设计执教：赵俊强 单位：北京市海淀区中国人民大学附属小学教学内容：本内容是新世纪小学数学五年级上册第 80页尝试与猜测 （北师大版） 。一、教材分析：1教材中向学生提供了生动、有趣的主题图，借助我国古代趣题“鸡兔同笼”问题，使学生展开讨论。教材中呈现的解决问题的方法是 3种，通过假设举例与列表的方法，寻找问题的结果。其中第一张表格是常规的逐一举例法，根据鸡与兔共 20只的条件，假设鸡只有 1只，那么兔就有19只，腿共有 78条在这样的逐一举例中，寻找到所求的答案；第二张表格是先估计鸡与兔只
2、数的可能范围，以减少举例的次数；第三张表格是采用取中间列举的方法，由于鸡与兔共 20只，所以各取 10只，接着在举例中根据实际的数据确定举例的方向，这样可以大大缩小举例的范围。教参：本专题的综合实践活动目的是通过对日常生活中现象的观察与思考，发现一些特殊的规律。在鸡兔同笼的活动中，通过列表举例或作图分析等方法，解决鸡与兔的只数问题。2数学猜想，实际是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律和本质时的一种策略，是建立在事实和已有经验基础上的一种假定，是一种合理推想。数学方法理论的倡导者波亚利曾说：“在数学的领域中，猜想是合理的、值得尊重的、是负责任的态度。 ”他还认为，在有些情况下，教猜想比教证明
3、更为重要。学生在猜想过程中，新旧知识的碰撞会激发智慧的火花，思维会有很大的跳跃性，提高数感，发展推理能力，锻炼数学思维。所以在数学教学中，要鼓励学生大胆提出猜想，大胆进行尝试，创新探索地学习数学。二、设计理念：（一）设计意图：本教材向学生提供了现实、有趣、富有挑战的学习素材，借助我国古代趣题“鸡兔同笼”问题为载体，使学生展开讨论，应用假设的数学思想，从多角度思考，运用多种方法解题，让学生根据自己的经验，逐步探索不同的方法，经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略列表。在合作交流学习的过程中，积累解决问题的经验，掌握解决问题的方法。（二）设计思路：遵照新课程标准的精神，在课程
4、设置中强调学生是学习的主人，在学习过程中尽可能多的为学生提供探索和交流的空间，鼓励学生自主探索与合作交流。通过教师创设的现实情景，让学生投入解决问题的实践活动中去，自己去研究、探索、经历数学学习的全过程，从而体会到假设数学思想的应用与解决数学实际问题的联系，感悟到“有序”对解决数学问题的作用。通过学习使学生认识到数形结合的重要性，提高学生分析问题和解决问题的能力。 在教学过程中应注意鼓励每个学生参与学习过程，注重学生之间交流，关注对学生的建设性评价。使学生共同学习，共同进步，共同提高，把所学的数学知识应用到生活中去，用数学的眼光看待身边的事物，体会数学的价值。（三）我的思考：义务教育阶段国家数
5、学课程标准己经公布,开宗明义地提出数学教育要实现:“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。 ”。这种发展,其内涵是丰富的,不仅体现在以“四基”为主的认知上,也应体现在情感、态度、价值观和一般能力上。“关注人的发展”已经成为数学课程标准中的根本指导思想。由此出发,教学活动的各方面都要围绕学生的发展来安排、开展。我想，当我们不在以传授知识为最终目的，当我们不在为学生暂时获取的高分而欢呼，当我们不在为学生的暂时摔倒而担忧，当我们不在将目光仅仅局限于眼前，这已经为学生的真正发展作好了必要的准备！何为学生真正发展？我想应包括以下几个方面：2首先是知识发展。这里的知识并不是僵化的知识
6、、呆板的知识、狭隘的知识、空泛的知识，而是使知识发展成智慧。怀特海认为， “教育的全部目的就是使人具有活跃的思维。 ”这是一个比传授知识更加伟大、因而也更有重要意义的目的。知识是智慧的基础，但知识不等于智慧。不掌握某些知识就不可能有智慧，但人们也可能很容易地获得知识却仍没有智慧。何谓智慧？在怀特海看来，智慧就是对知识的掌握或掌握知识的方式。其次是能力发展。能力教育至关重要。能力包括多方面的内容，有思维能力、学习能力、交往能力、动手能力，等等。就教育而言，教学生学会学习，应该是教育的重中之重。在知识爆炸的今天，无论人们多么努力地学习，哪怕是穷尽毕生的精力，也不能一网打尽知识的海洋。如果你到GOO
7、GLE上输入一个条目，十几秒钟就会出现千百万条与这一条目相关的信息，就算读一遍也不可能。一个科学家一天 24小时不吃不睡都在学习，一年下来，他掌握的知识也已经落后了 3年。更何况，知识每天都在成倍增长，我们掌握的知识有许多可能是错误的和无用的。因此，学会学习，学会有选择地学习，学习那些对人类来说有用的知识，特别是学会创造、运用，是一种能力教育，是教育成功与否的关键。如果一个学生不会创造性地学习的话，知识的多少，分数的高低，不但不是教育成功的标志，反而是教育失败的标志。 第三是情感、态度、价值观的发展。大数学家克莱因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情
8、怀，绘画能使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得知识智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。 ”一名数学教师，除了要传授知识，培养学生的能力之外，还需要使学生成长为具有健全人格的人。例如：数学美是一种科学美，数学中随处都存在着美的形式、美的理论、美的结果、美的思想方法，数学课可以利用这些有利条件，对学生进行美的熏陶。 三、学生分析：五年级学生已经初步尝试了应用逐一列表法解决问题，还有一些学生在奥数的学习中已经学过，学生的程度参差不齐。学生的思维活跃，敢想，敢说，有一定的小组合作经验。为了能准确掌握学生已有的知识水平，为了使教学过程达到优质高效，我对五年级两个班学生进行了前测。前测
9、目的：1、了解学生对鸡兔同笼问题的了解及解答程度。2、了解学生解答数学问题的方法及策略。 前测对象：人大附小五 9班 15名学生（2 个组随机）前测方式：答卷前测题目： （1）学校买桌椅花了 4000元，每张桌子 54元每把椅子 26元，学校共买了多少套桌椅？（2）今有鸡兔同笼，上有 8头，下有 26足，问鸡兔各几只？前测结果： 第（1）题第（2）题答案一 （84-26）2=3（只） 鸡 7人 46.7%答案二 26（2+4）=42 4-1=3 鸡 1人 0.07%答案三 画图（假设法） 2人 13.3%答案四 列举法（文字叙述） 2人 13.3%正确答案 人数 错误答案 人数列式：4000（
10、54+26）=50（套）14 400052+400026 193.3% 6.7%3答案五 没做出来 3人 20%问题分析及对策：从前测的结果来看，学生从第一题（已学知识）到第二题，情境和条件发生改变时，仅有 20%的学生不能想办法进行解答。学生解答问题的方法能够多样化。对于鸡兔同笼问题，有近一半的学生在校外曾接触到会用假设法列式计算。学生不会主动想到列表？对策：将学生的文字列举思路整理清晰，整理成表格。怎样让学生经历调整的过程？对策：学生互动，互相提问题，学生解答对于大多数学生会用假设法列式计算鸡兔同笼问题这一现状，思考如何让学生尝试和体验列表的过程？对策：计算与列表相结合找准方法间的联系，进
11、行沟通。四、教学目标：1.知识与技能：在解决“鸡兔同笼”的活动中，通过枚举的方法解决鸡兔的数量问题，并从中发现规律，优化列表。2.过程与方法：应用假设的数学思想，在解题中数形结合，积累解决问题的经验，经历列表，尝试和不断调整的过程； 3.情感态度与价值观：培养学生的探索意识，在现实情景中，使学生感受到数学思想的运用与解决实际问题的联系，提高学生解决问题的能力和自信心，进而让学体会数学的价值。教学重点：经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略列表。教学难点：以鸡兔同笼问题为载体，以列表举例为依托，培养学生多角度、有序思考数学问题的思维方式。五、教学设计：课前游戏：猜数字游戏出
12、示小礼物，师：看谁能最先猜对它的价格，生 1：那送给我们吗？师：可以，来个现场拍卖。生 2：应该叫“猜卖” ，生 3：我觉得叫“猜送”比较合适，猜对了就送给我们，师：还是你说的有道理，开始吧。生 4：4 元生 5：20 元生 6：老师您得告诉我们是便宜了还是贵了，师：可以，贵了生：15 10 8 9 8.5师：恭喜你答对了，送给你小结：猜中也有学问，要善于观察，要善于利用规则。我们不能盲目的尝试，应讲求策略和方法，即有序的尝试，怎样体现有序呢？可以先从中间尝试或先选定一个范围尝试。(一)感知活动情境，展现学生风采。导入：在我国古代就有许多非常有趣的数学名题，你们了解吗？“鸡兔同笼” ，能给大家
13、介绍一下吗？（出示题目） “今有鸡兔同笼，上有 7头，下有 20足，问鸡兔各几只？”4师：“你打算用什么方法解决这个问题？请同学们思考一下。 ”学生独立思考，并把自己的想法写下来。然后请学生介绍自己的方法。大致方法如下：1、 假设法：假设都是鸡或都是兔。2、 方程的方法：设鸡有只，兔有（7-）只。根据腿的只数关系列方程。3、 画图的方法：4、 列举的方法： 1 只鸡+6 只兔是 26条腿师：我们一起来整理一下，（边说边记录数据）这样是不是很清晰？（在学生汇报时，尽可能让学生说充分了，把学生汇报的方法完全展示给大家。 ）小结本环节:“看来同学们真的是很聪明，能想出这么多好办法来解决同一个问题。列
14、表格的方法是一种最容易想而且是比较有效的一种解题的方法。 ”师：下面我们试着把笼子里的鸡和兔的只数适当增加一些，看看你们能不能做出来。(二)渗透尝试猜测，体会总结方法。师出示例题：有鸡和兔若干只放在一个笼子里，共有 20个头和 54条腿，你能试着求一求这个笼子里的鸡和兔各有多少只吗？学生活动：1、学生先自己试做2、反馈交流师：请同学们把你列表的过程和想法和大家交流一下。 师：我看出来了。有一部分同学特别不喜欢这种列表的方法，虽然知道这样列下去一定能找到最后的结果，觉得这样列表太麻烦了，有没有更好的列表方法呢?咱们请那些有好的列表方法的同学们给大家介绍一下，他们是怎么快就列出表格找到正确答案的。
15、不懂得地方可以向他们请教。看谁能提出有价值的问题。学生互动：问题一：取中后为什么鸡的只数变多？你是怎么想的？问题二：腿多说明什么？怎么调？生：你的意思是说:腿多说明兔子多，所以兔子要变少。生：我发现少一只兔就减少 2条腿，总腿数是递减的(1)逐步列表（略）(2)跳跃列表总头数/个 鸡/只 兔/只 总腿数/条 207 1 6 267 2 5 247 3 4 227 4 3 205(3)取中列表(4)其它方法总只数 鸡/只 兔/只 总腿数20 10 10 6020 13 7 54总只数 鸡/只 兔/只 总腿数20 1 19 7820 13 7 54总只数 鸡/只 兔/只 总腿数20 0 20 80
16、20 13 7 54师：小组内讨论你喜欢那种方法？为什么？师：你从刚才同学们的交流中得到了什么启发？小结本环节：看来列表也不是随随便便的猜，同学们将列表与计算结合起来，真是太巧妙了。(三)巩固提高练习，感悟列表本质。 师：过渡：今天我们研究的问题其实是很早就有的数学问题，我们称之为“鸡兔同笼”问题，记载在我国的古代数学名著孙子算经上，（简介孙子算经。 孙子算经作者是谁？至今也无法判定。全书共分上、中、下三卷。其中上卷选了一些人们日常的一些应用题，解题方法浅显易懂。中下卷选取了一些比较难理解的数学问题，目的在于提高读者的学习兴趣。 孙子算经下卷第 31题-鸡兔同笼） 原题是这样的：“今有鸡兔同笼
17、，上有 7头，下有 20足，问鸡兔各有多少只？ ”师：对于这道古题你有什么好办法能把它做出来吗？请说说你的思路。（学生说自己的思路）师：那你们知道古人是怎么做这样“鸡兔同笼”的问题吗？我们来看看。（师出示课件演示，并把算式列在黑板上）师：同学们，你们觉得古人想出的办法怎么样？（感叹古人的聪明才智） 师：“鸡兔同笼”的问题从中国传到日本，就变成了“龟鹤问题” ，看来这类问题我们不能仅仅局限在“鸡兔”问题上，题目要是变化一下有信心解答吗？出示练习：.有龟和鹤共 40只，龟的腿和鹤的腿共 104条，龟、鹤各有几只？.自行车和三轮车共有 26辆，总共有 60个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？学生先独立
18、思考，再小组交流，全班交流(四)总结反思，引发思考学习效果评价设计教学后测：练习一：笑笑家有鸡和兔若干只，数数头共有 16个，数数脚共有 44只，问笑笑家的鸡和兔各有多少只？80-54=26262=13鸡78-54=24242=1212+1=13鸡（19-12=7兔）60-54=662=310+3=13鸡（10-3=7兔）6练习二：操场上停放 39辆车，包括三轮车和自行车，两种车的轮子共有 96个，你能试着求求三轮车和自行车各有多少辆？六、课后反思：尝试与猜想是一节相对较独立的内容。本活动的目的是通过学生对一些日常生活中现象的观察与思考，从中发现一些特殊的规律，其目的是加强数学知识与现实生活中
19、问题的结合，以提高学生综合应用的能力。在教学中力争做到激活学生的创新思维，让思维插上自由的翅膀。正是本着这样的理念，在这一教学活动的设计中：首先在教师的引导下，学生通过动手实践、自主探索、合作交流，发现了列表中的一些规律，进而运用规律解决问题。以下几点体会和老师们交流。1.创设兴趣情境，以趣引思。心理学研究表明，人在情绪低落时的思维水平，只有情绪高涨时的二分之一。因此，在教学中教师要想方设法激发学生的学习兴趣，使学生进入欢乐愉快的最佳心理状态。首先借助“鸡兔同笼”引出课题，激发学生的兴趣。由于它是奥数中一道非常经典的例题，学生会不会受到干扰？为此我们作了前测，发现有 60%以上的同学都学过此内
20、容，并可以用假设法解答，因此我们在备课中牢牢抓住“两条线” ，一是抓住尝试猜想这条主线；二是抓住思维发展层次这条辅线。从课前的猜价格游戏即让学生回顾感悟学过的一种解决问题的有效策略逐步逼近，为后面列表时逼近“腿的数量”打好伏笔，学生在积极思考、踊跃猜测的过程中，渗透了区间的思想。另外，重视学生学习过程，在师生互动交往中，情感体验充分，通过比较、判断及时调整，以此发展学生思维质量。2.创设操作情境，以动启思。“儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。 ”可见人的手脑之间有着千丝万缕的联系。本课利用鸡与兔的只数增加了，为学生搭建探索问题的平台，鼓励学生探索和交流。在教学
21、中，学生明确任务后，探索鸡与兔的只数时，我为学生提供了探索的素材，我们可以看到，列表中的规律，是由学生通过观察、动手操作、自己归纳、总结出来的。为此，在实际教学中，我不遗余力地为学生搭建探索问题的平台，并鼓励学生能够积极探索和交流。3.创设讨论情境，以说促思。由于学生的生活背景、数学知识、能力和思考问题的角度不同，在探索数学问题时，必然会出现多种不同的思考方法。如在二次列表时，不同的学生有着不同的思维，有的按照前面的方法逐一列表（大多数是这样的） ，而那些思维活跃的却努力寻找着使列表简单的方法，事实表明：只要空间足够宽阔，他们是有潜力可挖掘的，像跳跃式列表法、取中列表法、列表计算结合的方法都是
22、他们自己发现的。抓住他们善于表现的欲望，让他们互相交流。而正是这种多角度的思考方法，才能使解决问题的策略多样化。我鼓励学生从多角度思考问题、解决问题方法的多样化，并以此作为一种长期渗透的教学策略。在教学中充分肯定不同学生的探索成果，体现尊重学生个性发展的教学理念。4.创设发散情境，以做强思。在教学过程中，怎样使全体学生普遍得到提高也是我的思考之一。通过这节课，优秀学生列表的步骤越来越少，到最后只有两步，多数孩子能省略中间的某些步骤，只有及个别的学生还停留在逐一列表阶段。在讨论中互相交流启发，每位学生都获得了不同程度的成功。还启用学生自己提问，自己解答的方法，使课堂异常活跃。教学中，我还注意及时
23、捕捉学生的闪光点，使课堂教学更鲜活、精彩！七、点评：鸡兔同笼是大家非常熟悉的数学问题，但编入教材主要不是为了解决“鸡兔同笼”问题本身，而是要借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决7问题的一般策略列表，赵老师通过钻研教材理解了编者的意图。细细品位此课，主要表现在以下三个方面：1、自然的导入环节。良好的开端是成功的一半。看得出赵老师在课堂导入环节别具一格，自然轻松。一上来就与学生在聊天中进入课堂，这样的导入，关注了学生已有的知识经验，关注了数学知识内在的魅力，也关注了学生学习数学的后劲。2、灵活的探究过程。 课程标准指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义
24、的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。在引导学生解题过程中，首先从简单入手，逐步加深难度，使学生感觉到这样做“麻烦” ，从而自己寻找简单的方法，实际就是优化列表的过程。之后的练习，更是有学生能把列表与计算巧妙的结合在一起，有利于学生进一步领悟学习方法。3、精巧的练习设计。巩固练习是帮助学生掌握新知、形成技能、发展智力、培养能力的重要手段。在新课程的小学数学课堂教学中，必要的训练是不可少的。本节课，赵老师设计的练习有重点、有层次、有针对性、有深度和广度。最后的练习经过变式，使学生真的看到了列表的优势，并能联系实际加以运用，对于巩固本节课的知识，发展学生的思维具有非常重要的意义。因此，对课堂教学进行预设时，应“着眼于整体，立足于个体，致力于主体” ，能跳出教材看学生，定位“高”一点。
