1、数 理 统 计 习 题 课1设总体 服从正态分布 ，其中 是已知的，而 未知的，X),(2N2是从总体中抽取的一个简单随机样本。),(32（1） 求 的密度函数；),(321（2） 指出 ， ， ， ，X2),min(321X12ii之中，哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？13X解（1） 312)()2()3,(ixexf （2） ， ， ， 都是统计量，21X),min(321X13因为它们均不包含任何未知参数；而 中包含未知参数 ，所1ii2以它不是一个统计量。2（1）设 为总体 的样本， ， ，且),(21nX 0iani,21，试证 是 的无偏估计。niaiiaE（2）试证在 所有
2、形如 ， （ ， ，1iniXii,）的无偏估计中，以 最为有效。1nia解：（1） 因 ，故 是 的无偏估计。EXaXEniinii 11)( inia1EX（2） 由 ，所以iiii12212)(niaDXnXini112)(iia从而在 的所有形如 的无偏估计中，以 最为有效。EXiniXa1 X3设母体 X 服从均匀分布 ，它的密度函数为,0U.,;1);(otherwisxxf（1）求未知参数 的矩法估计量； （3） 当子样观察值为 0.3，0.8，0.27，0.35，0.62，0.55 时，求的矩法估计值。解（1） 因为 021);()(xdxfXE)(XE由 )(（2） 由所给子
3、样观察值算得 9634.02x4设总体 的分布密度为Xotherwisxxx010)1(),(其中 是未知参数。 是总体 的样本，试求参数1),21nX的矩估计。解 21)(),(1 dxxdxEX由矩估计的定义，令： niiX12即 的矩估计为：5设总体 服从对数正态分布，其分布密度为X2)(ln12),;( xxe其中 ， 是未知参数， 是一样本，0),(21nXX试求 和 的最大似然估计。2解: 似然函数为 ni xiniieL1 2)(l122 2)(),( ni niiixx11222 )(ll)ln(),(ln 令 0),(ln),(l22L可得， 的最大似然估计为： niiX1l
4、的最大似然估计为：2nii122)(l6某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取 9 个，测得直径（毫米）如下：14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8如果滚珠直径服从正态分布，且知标准差为 0.15 毫米，求直径平均值对应于置信概率 0.95 的置信区间。解: 已知时, 的置信度为 的置信区间为1我们有 91.491iixx由 ，所以滚珠直径平均值 的置信区间为 。6.2z )09.15,83.4(。),( 2/2/ znXznX7设某批铝材料的比重服从正态分布 ，现测得它的比重),(2mN16 次，算得 ，试在置信概率 0.95 下求 的置
5、029.,75.2sx 2信区间。解的 置信区间为21对 ，查 分布表（自由度为 15） ，得05.226.)15(,.7)1(29.0. 所以在置信概率 0.95 下 的置信区间为 。)0215.,49.( ( /2/ )(,)nsns(p19) 3 解： ： ， ：0H13.01H0检验统计量为 ， 的拒绝域为nsXt0)1(|2ntW计算得 ， ，46.0x15. 37.105.460nsxt对 自由度 -1= 9，查 t- 分布表，得 因为05.a .2at所以拒绝 H0，即可以认为该日生产的云母片厚度的,2673t数学期望与往日有显著差别。19.5. 解： .12:,12:020 检验统计量为： ， 的拒绝域为: 0)(Sn0)( 212nW计算 的样本观察值 8.24162给定 ，查 分布表，得临界点05.a2 629.5)1()(,9.6)14()( 297.02105.2 nn因 ，因此接受 H0，即认为这次考试的标准差符969.合要求。19.6. 第 类错误的概率即 .1|WP当 来自 .此时nX，时 ， 1，N),.(NX.11121212121 222221 unun nuXnunPuP
