1、知识专题设计展示第二讲 递推数列与数列综合问题一、考点梳理：1、数列通项公式的求法公式法、叠加法、叠乘法、构造新数列（待定系数法） 、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法2、数列求和分解转化 倒序相加 错位相减 裂项相消3、数列与不等式、归纳法；数列与函数、导数；数列与解析几何等知识的交汇二、经典例题：例 1、在数列 中， .na111,()2nna（1）设 ，求数列 的通项公式；bb（2）求数列 的前 项和为 .nnS方法总结：叠加法、叠乘法是求数列通项公式的重要方法，是高考考查的热点。变式延伸：设计思路：与叠加法、叠乘法一样，高考中对根据递推关系来构造新的（等差或
2、等比）数列获得问题突破和解决的考查更是将能力考查提高到一个新高度，以增强试题的区分度。其中，对 及 求通项的情形需要我们认真1(0,1)nnaqpq1()nnaqf对待。1、已知数列 满足 ， ，则 ；n123nn21n2、已知数列 满足 ， ，则 ；aaa3、已知数列 满足 ，则 ；n1156nnn， n4、已知数列 中， .2,4（）设数列 满足 ，求证数列 是等比数列；nb3log()nnanb（）求数列 的通项公式；a（）设数列 满足 ，求数列 的前 项和为 。nc124nnncnT例 2、已知数列 中， ，且当 时， na128,39a2,nN1134nna（）求数列 的通项公式；（
3、）记 .123()ni naaN（1）求极限 ；121lim()in（2）对一切正整数 ，不等式 恒成立，求 的最小值1()niaN方法总结：对二阶线形递推数列，一般采用构造新数列、迭代或利用特征根的方法来求得数列通项。本题集构造新数列（或迭代） 、新定义（新情景） 、数列极限、不等式恒成立、数学归纳法等于一体，对数学思维素养要求颇高。变式延伸：设计思路：完善 型（尤其是 ）等递推关系中通项的求法1nnqapmr0p1、已知数列 满足 ，则 ；na113,22nna na2、已知数列 满足 ，则 ；n11,3nnn3、 （2009 年江西卷 22 题）各项均为正数的数列 ， ，且对满足na12
4、,ab的正整数 都有mnpq,mnpq.()()1pqmn（1）当 时，求通项 ；4,25abna例 3、已知数列 ， ， （ ）.记数列 前na10,221nnaaNna项和为 ， .nS11212()()()nT （1）求证： ； （2） ； （3） .nanSnT方法总结：数列型不等式的证明通常数学归纳法、比较法、综合分析法、放缩法等方法，其中，对放缩法的要求往往很高，需要有很高的理性思维能力。变式延伸：设计思路：常见的放缩方法值得我们去总结、归纳，进而逐步形成优秀学生对不等式放缩的一些解题经验。1、数列 前 项和为 ， （常数 ） ，对任意 ，nanS120,ap0nN.1()2nS（
5、1）求 的值；a（2）试确定数列 是否为等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由；n（3）令 ，证明： 21nnSp123nnpp2、设数列 的前 项和为 ，对任意的正整数 ，都有 成立，记nanS51naS。*4()1nnbN（I）求数列 的通项公式；（II）记 ，设数列 的前 项和为 ，求证：对任意正整数*21()nncbncnT都有 ；3T（III ）设数列 的前 项和为 。已知正实数 满足：对任意正整数 恒成nnR,nR立，求 的最小值。3、 已知数列 ，若点 在过 且以 为方向向量的直线上，na1(,)na(,)(1,2)m， 12limxaN（）求数列 的通项公式；n（）求证： （其中 为自然对数的底数） ；123ena（）记 （其中 ） ，数列 的前 项和为 ，求证：()(1)nnpb1pnbnS 221() nnS4、已知函数 ，数列 的第一项 ，以后各项如下方式取定：32(fx=+(0)nx1x=曲线 在点 处的切线与经过(0，0)和 两点的直线平行()yfx=1,()nfx+ (,)nxf（如图） ，求证：当 时，*N（I） ；22113nnn+（II） .1()()x-反思与小结
