1、數列主題 1：數列的意義1.數列：將一系列的數依照順序列出，就成為一個數列，數列中的每一個數稱為它的項，第一個數稱為第一項或首項，第 個數稱為第 項。通常以 來代表一個數列的第 項，而以kknan表示第 項為 的數列。nana2.一個數列的項數若為有限，則稱為有限數列，項數無窮多項者稱為無窮數列。重要範例1.寫出下列數列的前四項：(1) 3n2 。 (2) 23 n1 。 (3) 。(2)1n【詳解】(1) an3n2，n1，2，3，4 代入 前四項為 1，4，7，10(2) an23 n1 ，n1，2，3，4 代入 前四項為 2，6，18，54(3) an ，n1，2，3，4 代入 前四項為
2、 ， ，()2345 87 169隨堂練習.寫出下列數列的前四項：(1) ( 1n ) ( 2n ) 。 (2) 。321n【詳解】(1) an( 1n ) ( 2n )，n1，2，3，4 代入 前四項為 0， ， ， 8(2) an ，n1，2，3，4 代入 前四項為 1， ， ， 38527642. 試求下列數列一個可能的一般項，使得它的前四項分別是下列各數：(1) 2，9，16 ，23，。 (2) 24，37，4 10，513，。【詳解】(1) a1715，a 27 25，a 37 35，a 4745 an7n5，nN(2) a1 ( 11 ) ( 311 )，a 2( 21 ) ( 3
3、21 )，a3( 31 ) ( 331 )，a 4( 41 ) ( 341 ) an( n1 ) ( 3n1 )，nN隨堂練習.試求下列數列一個可能的一般項，使得它的前四項分別是下列各數：(1) 3，6，12 ，24，。 (2) ， ， ， ，。253841【詳解】(1) ， ， ，13a23a42 ，1nnN(2) ， ， ，12131431a ，()3nan主題 2：等差數列1 等差數列：一數列若後項減前項的差為固定數，則稱此數列為等差數列，此固定數稱為其公差。 為等差（算術）數列【 】naPA.2.設數列 成等差，公差為 則：d(1) 。1221adnn (2) 。kaakn )()(1
4、(3) cbPAcb.,為(4)在 間插入 個數使其成為等差數列則： 1nabd重要範例1.設自然數 m n，若一等差數列的第 m 項為 a，第 n 項為 b，則第 m n 項為 。【解答】 ba【詳解】由題意知： dna)1(因為 m n，故由 則得公差 d ，因此再由等差數列公式得mbam n am (m n) m d a n nba)()(nm隨堂練習.有一等差數列 a n ，已知 am n2，a n m2，m n，則 am n 。【解答】 mn【詳解】設 a n 之公差為 d a m an (m n)d n2 m2 m n 0 d (m n) a m n am nd n2 n (m n
5、) mn主題 3：等比數列1 等比數列：一數列若後項除以前項的比為固定數，則稱此數列為等比數列，此固定數稱為其公比。 為等比（幾何）數列【 】naPG.2.設數列 成等比，公比為 ：r(1) 。1221aarn(2) 。knnr1(3) 。cbPGcb2.,為(5)在 間插入 個數使其成為等比差數列則：a abrn1(6) ， 【等號成立則 】0,ba2調和數列：若 數列各項倒導數成等差數列則 為調和數列【 】：na naPH.1. 成等差數列n1,212. dan)(3. cabPHcb.,為重要範例1.等比數列 x，3x 3，4x 4，求第 4 項為 （不可以 x 表示） 。 【解答】15
6、64【詳解】 (3x 3) 2 x(4x 4)x3 9x 2 18x 9 4x2 4x 5x 2 14x 9 0 (5 x 9)(x 1) 0 x 或 x 1當 x 時，公比 r ，a 4 ( )( )3 ( )( ) 59593)( 5959276415當 x 1 時，公比 r 0（不合）1)(由 ， 知 a4 562.設三正數成等比數列，其和為 39。若此三數依次減去 1、2、12 後，則成等差數列，求此三數。 【解答】4，10，25【解 1】由題意知各數減去 1，2，12 後成等差數列，因此令三數為 a d 1，a 2，a d 12由已知可得 )12()()( 392daad 由 得 3
7、a 15 39 a 8 代入則得(8 2)2 (8 d 1)(8 d 12) d 2 11d 80 0解之，得 d 5 或 d 161若 d 5，則此三數為 4，10，252若 d 16，則此三數為 25，10，4 綜合 1與 2討論知，此三數為 4，10，25【解 2】設三數為 a，ar，ar 2，r 0則 )()1()392ra9)(32ra 由 可得 ，將之整理2310r2 29r 10 0 (2r 5)(5 r 2) 0 r 或 r 25 a 4 或 a 25，故三數為 4，10，25隨堂練習.設三正整數成一等比數列，其和為 52，倒數和為 ，則這三正數中最大者為 361。 【解答】3
8、6【詳解】 361152ar36152)(2ar 得 52 3r 2 10r 3 02)(r (3 r 1)(r 3) 0 r 3 或 ，代入 得 a 4 或 61 三數為 4，12，36 或 6，2， （不合） ，故最大者是 364.設 a，b，c N，1 a b c 9，且 0. ，0.0 ，0.00 ，成等比數列，則abc(1) (a，b，c) 。(2)該數列之第四項為 。 （寫成循環小數）【解答】(1) (2，4，8) (2) 0.00 71【詳解】(1) 0. ，0.0 ，0.00 成等比，即 ， ， 成等比c90則 ( )2 b 2 ac，又 1 a b c 9；則(a，b，c)
9、(2，4，8)9a0c(2)數列為 ， ， ，首項 a1 ，公比 r 9408292051故第四項 a4 a1r3 0.00259675.三角形三邊長成 G.P.，公比 r，試證： r 。215【證明】設三邊長為 a，ar，ar 2，r 0，a 0，則 ar220122r由 (r )(r ) 0 r 251251由 r2 r 1 (r )2 0 恆成立 r R 43由 (r )(r ) 0 r 或 r 55251251由 r 0 及 得 r 21主題 4：遞迴數列1 遞迴定義式：我們可利用 的方式來定義一數列 ，此種定義方式稱Nnafn),(1 na為遞迴定義式。2.遞迴關係的內容包含兩部分：
10、(1)初始條件： (2)遞迴關係式：3.遞迴關係式： 的一般項求法na1rd設 a, r, d 均為常數數列a n滿足12n為 整 數， ，若 r 1 時 na1rd即數列a n為以 a 為首項d 為公差的等差數列故其一般項 an a (n 1) d若 d 0 時， 1nr即數列a n為以 a 為首項，r 為公比的等比數列 故其一般項 an ar n 1若 r 1，d 0 時， ，依此遞迴關係可以推得n1dn1ra2nrd2322nra12nrd加並消項之後可以得到 an r n 1a1 d (1 r r2 r n 2)4. (n 1)2 及 的一般項 求法n1 n已知數列a n滿足： 12(1)na為 整 數， ，利用遞迴關係 (n 1)2 可以推得n1221a324aM21()n經加並消項之後得=221(1)nan (1)26n5.遞迴關係 的一般項求法：1na已知數列a n滿足： 12nan為 整 數， ，利用遞迴關係 可以推得1na21a34經積並消項之後得=1(23)nana !
