1、 函数模型的应用题教学研究常州市新桥中学 潘采方函数是高中数学的基本脉络，也是历年高考所占比例最大的一部分内容，在近几年高考试卷的直接分值为 30-40 分左右，在填空题中主要考查了函数的三个要素，四个性质，函数图像的变换(高一知识点)以及导数的几何意义(高二知识点)等方面，在解答题中，有关函数模型的应用题在 2009 年,2011 年和 2012 年都有所涉及，在压轴题中 2008 年，2009 年考查了函数的基本性质，在 2010-2013 年考查了利用导数研究函数的性质，并在这些问题考查中突出函数与方程思想、数形结合、等价划归等思想。函数还可以其他几乎所有知识点进行综合出题，函数的难点在
2、于函数广泛的适用性以及函数知识的复杂体系，考生往往很难切中题意并规范解答。结合近几年江苏考试大纲及高考趋势，对函数知识点中函数与方程，函数模型及应用进行全面的剖析及发散，使学生更系统有效的掌握高中数学函数的性质和主要题型，同时在讲题和解题中渗透数学思想方法，立足基础，展望高考。教学时要加强对学生的数学思想方法以及数学能力的培养，提升学生分析和解决问题的能力，力争让每位学生知道高考“考什么，怎么考” 。 函数模型的分类函数模型类型 特点 常见函数类型 应用直线模型单调直线增减一次函数 (0)yaxb=+成正比例关系的有关问题指数函数模型 自变量变大，函数值增大的速度越来越快指数函数模型 (,)x
3、c增长率问题，银行利率问题对数函数模型 自变量增大，函数值增大的速度越来越慢对数函数模型 log(0,1)ayx=且 一般会给出对数模型幂函数模型偶函数：关于 y轴对称二次函数模型 2()xbc+面积问题利润问题产量问题幂函数模型 奇函数： 三次函数模型 32yad=体积问题分段函数模型 几个不同的关系式构成常见的一些函数模型 票价与路程税与收入三种增长型函数模型的图象与性质函数 ya x(a1) ylog ax(a1) yx n(n0)在(0，)上的增减性 增函数 增函数 增函数增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳图象的变化 随 x 增大逐渐表现为与 y 轴平行 随 x 增大逐渐表现为与
4、x 轴平行 随 n 值变化而不同函数模型的建立数学模型是联系数学与实际问题的桥梁，如何将函数与实际问题相结合是考查学生运用能力的重点内容。关于函数模型这个桥梁的恰当建立是解决问题的重要环节，求解函数模型一般有以下几个步骤：（1）缜密审题，深入挖掘通过认真读题，探索题中隐藏的一定数量关系与数学意义，深入挖掘，捕捉期中的数学模型与数量关系。（2）引进数学符号，建立数学模型根据题意选取参数，设定变量，找出它们的内在联系，选取恰当的代数式表示其关系，建立相应的函数模型，一般自变量设为 x，函数设为 y，注意变量的实际意义和解析式的意义。（3）解模用数学方法及相关的函数知识点进行合理设计，确定最佳解题方
5、案，进行数学上的计算求解，求解过程中不能忽略实际问题对变量参数的限制条件。（4）解答把计算获得的结果返回到实际问题中去解释问题，即对实际问题进行总结解答。以上过程用框图表示如下：解函数应用题常见的错误(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面；(2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件一、利用函数模型解抽象函数问题抽象函数是指没有给出函数具体解析式，只给出一些相关关系式。其性质常常是隐而不漏，但一般以学过的常见函数为模型，通过代数关系给出函数性质。这就需要提升考生的观察、分析、类比和转化，找出具体函数模型，再由具体函数相关知识来指导解决抽象函数问题。下面就以常见的几类函数做教学
6、说明。几种常见的抽象函数1、一次函数型抽象函数： 。()(),()()fxyffyxfy+=-=-对应函数模型： ()0fk2、二次函数型抽象函数： ()()faxf-对应函数模型： 2()(0)fxkamk=-+3、指数函数型抽象函数： ()(,(fxfyfxyfy-=对应函数模型： ()01)xfa=且对数函数型抽象函数： (,()()xfyffyfy+=-对应函数模型： ()log01afx=且幂函数型抽象函数： ()(),xffyfyfy=对应函数模型： （ 为常数）()afx=1、直线型抽象函数例 1、已知函数 对任意实数 ，均有 ，且当 时，()fx,xy()()fxyffy+=0
7、x， ，求 在 的值域。()0fx12-=()f2,1-联想：由 ，推测它对应的模型为)fyfxy+()fxk分析：由题意可知，要求 在 上的值域，先要判断函数 的单调性和奇偶性。(),-解： 设对任意的实数 ，有 ，则 。因为当 时， ，12,x12x0x()0fx所以 。因为 ，所以21()0fx-211()()()ffff=+=-+，即 。可知 为增函数。令 ，21(fx=-12xfxyx=-将其代入 ，得 ，再令 ，则)()fyfy+(0)()f-0，即 。所以， 为奇函数， 。又(0)(f(0ffx1()2f=-，所以 在 上的值域为21)4f-=-()2,1-4,-2、幂函数型抽象
8、函数例2、定义在 R 上的函数 满足：对任意实数 ， ，总有 ，()fxmn()()fnfmn+=且当 时， 0x1设 (),2)1,BxyfaaR=-+=，试确定 的取值范围Ba(4) 试举出一个满足条件的函数 ()fx分析：（1）在恒等式中，令 ， ，代入即可得到 的值；1m=0n(0)f(2) 任取 ， ，且 ，利用恒等式将 变形，再利用当 时，1x2R2x，确定 的符号，利用函数单调性的定义，即可证明函数的单0()f21xy+=转化为 ，从而将 问题转化为直线()10faxy-+=0ax-AB与圆面没有公共点问题，利用直线到圆心的距离大于半径，列出不等关系，求解即可求得的取值范围；(4
9、)根据题设的条件从所学的基本初等函数中，判断选择一个函数即可联想：当 且 时， ，猜测它的模型函数为()()fmnfn+=0x()1fx。则当 时， ， 。而 ，故0)1x()1f- 0f xR0fx设 ，则 。所以12x-即有 。又 ，根据函数的单调性，有 。21x+这两个问题都成为解题的关键性步骤，完成这些又要在抽象函数式中进行，由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。3、对数函数模型例 3、定义在 上的函数 满足： ;对任意实数 ， 。R+()fx(10)f=b()(bfxf=(1) 求 及使 的 值；1(),24f 3lgk-k(2) 求证：对任意正实数 ；,()
10、()xyffxfy+(3) 求证： 是 上的增函数。()fR+联想：因为 ，且 ，再注意到 ，所以猜测它的模型函数loglbaax=xR+(10)f=为 ()f分析：由模型函数为 ，可以借助对数函数的特有性质启动解题思路。()lgfx解：(1) ； ；0(1)(1)ff= 1lg21(0)(0)lg2fff=2()()()2lg.4fff因为 ；l(103)103l(103)(lg103)lgkfkf fk-=-=-所以 ，解得 26(2) 设 ，当 时，,xyxlog()(l)(xyxfxyf yf+=；当 时， 也适合，log()log() (xxfff+=+=1=0故当 时，0,y()x
11、yfy(3) 因为当 时， ，设 ，则1lg10(0)lgxf fx12x，即 ，由(2)知 ，所以21x21()0xf 2221111() ()fffff=+是 上的增函数。()fR+小结：解这类问题可以通过化抽象为具体的方法，即通过联想、分析，然后进行类比推测，经过带有非逻辑思维成分的推理，即可得出它的函数模型，根据这些函数模型的性质、法则来探索此类问题。4、幂函数模型例 4、已知函数 对任意实数 都有 且()fx,xy()()ffxy=当 时， 。(1),279.f-=0101(1) 判断 的奇偶性；fx(2) 判断 在 上的单调性，并证明；(),+(3) 若 ，且 ，求 的取值范围。0
12、a319fa联想：因为 ，故猜测它的模型函数为 ，由 推测函()nnxy= ()nfx=(27)9.f=数为23()f分析：由题设可知 是幂函数 的抽象函数，从而可猜想 是偶函数，且()fx23()fx=()fx在 上是增函数。)0,+解： (1) 令 ，则 。因为 ，所以1y-()(1)fxf-(1)f-=，即 为偶函数。()(fxf-=()fx(2) 若 ，则02()()()0fxffxf=设 ，则 ，所以12x12111222()ffffx因为当 时， ，且当 时， 。所以 ，00()fx0x()0fx12()f所以 ，故函数 在 是增函数。12()fxff,+(3) 因为 ，又 ，所(
13、7)9= 3(3)(9)(3)()ffff=以 ，所以 。又 ，所以 ，因为 ，39)f=f 31a1a+0a且 ，函数在 上是增函数。所以 ，又 ，(1,0a+)0,+故 2小结：对于抽象函数问题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可以借助特殊模型理解题意，从中寻找问题的突破口。5、正切函数模型例 5、若对常数 和任意实数 ，都有等式 成立，mx1()()fxfxm+=-求证： 是周期函数()fx联想： ，因而得出它的模型函数为 ，由 的1tantan4xp+=- tanyxtanyx=周期是 ，恰为 的 4 倍，因而可推测 是以 为周期的函数。()f4m分析：要证明 为 的一个周期的函数，则只
14、需证明 ，由已知m()fx(4)(fxfx+条件 可求 ，进一步验证()fx+2()fx=证明：将已知式中的 换成 得：xm+1()1()1()() ()()fxfxfxmf ff+-+=-将上式中 换成 ，24xm+可得 ，1(4)()2()(2fxf fxfxm=-=+故 是以 为周期的函数f小结：根据推测的模型函数，进行适当的赋值和变量代换，是探求抽象函数问题的关键，用替换思想将条件等式化成定义形式，得到周期。二、函数模型应用题型考点 1、一次函数与二次函数模型1在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升( 自变量的系数大于 0)或直线下降(自变量的系
15、数小于 0)，对一次函数模型，主要是利用一次函数的图象与单调性求解2有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等对二次函数模型，一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决3在解决一次函数、二次函数的应用问题时，一定要注意定义域例 1、为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元) 与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y x2200x 80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 1
16、0012元该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：设该单位每月获利为 S，则 S100xy100x (12x2 200x 80 000) x2300x80 00012 (x300) 235 000，12因为 400 x600，所以当 x400 时， S 有最大值40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元，才能不亏损例 2、 （2012 江苏高考）如图，建立平面直角坐标系 xOy，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中 k 与发
17、射方向有关炮的射程是指炮2()(0)0ykxxk弹落地点的横坐标（1） 求炮的最大射程；（2） 设在第一象限有一飞行物（忽略其大小） ，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由解：（1）炮位于坐标原点，炮弹发射后的轨迹方程为 ，炮21()(0)0ykxxk的射程是指炮弹落地点的横坐标令 ，则炮的射程可表示为0y210kx炮的最大射程即 的最大值x由题意得 ，0k ，当且仅当 时，等号成立21012xkm2k炮的最大射程是 。0kx（千米）y（千米）O （第 17 题）（2）飞行物在第一象限内，其飞行高度为 3.2 千米，横坐标为 a飞行物的坐标为
18、 32a,.炮弹可以击中它，即飞行物的坐标满足炮弹的轨迹方程将飞行物坐标带入炮弹的轨迹方程得： 213.2()(0)0kaka关于 的方程在 上有解 有正根2264 0a只需 220a 6即 只需要不超过 即可。akm例 3、一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为 40 cm 与 60 cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角问怎样剪，才能使剩下的残料最少？解：如图，剪出的矩形为 CDEF，设 CD x， CF y，则 AF40 y. AFE ACB， ，AFAC FEBC即 .40 y40 x60 y40 x.剩下的残料面积为23S 6040 xy x240 x1 20012 23 (x30) 2600.230 x60，当 x30 时， S 取得最小值为 600，这时 y20.在边长 60 cm 的直角边 CB 上截 CD30 cm，在边长为 40 cm 的直角边 AC 上截CF20 cm 时，能使所剩残料最少
