1、机器人正反解方法概述引言机器人运动学是机器人学的基础，是描述机器人运动过程中，各个关节及末端执行器的变化情况。它涉及到两个方面的内容:即机器人正运动学和逆运动学。机器人正运动学是已知机器人的连杆参数和各个关节变量，求解机器人末端执行器的位置和姿态;而机器人逆运动学恰好相反，是已知其末端执行器的位置和姿态，求解机器人的各个关节变量。因此,求解机器人位置正反解的方法成为机器人设计中重要的内容。机器人逆运动学比正运动学问题复杂得多，并且随着机器人自由度的增加，对于逆运动学问题的求解会越来越复杂。由于机器人逆解的准确性以及求解速度的快慢会直接影响机器人的实时控制，因此国内外研究机器人逆解的求解算法比较
2、多。自有机器人以来,国内外的专家学者对此也进行了孜孜不倦的探索,目前已经有大量专门的或者通用的位置正反解求解方法问世, 如求解正解问题的广泛应用的 D-H(Denavit 和 Harenberg)分析方法.求解反解的方法大致分为解析法和数值法.具体除了 Paul 等人提出的反变换法，Lee 和 Ziegler 提出的几何法和 Pieper 解法等，还有旋量理论法,神经网络方法和 CAD /CAE 集成软件仿真图形分析法等.本文的宗旨就是对这些方法进行概述,简要介绍各种方法的基本原理及内容以及他们适用的范围和优缺点.一 位置正解求解方法机器人是由多个关节组成的, 各关节之间的相对平移和旋转齐次变
3、换可以用矩阵 A 表如果用 A1 表示第 1 个连杆在基系的位置和姿态矩阵, A2 表示第 2 个连杆相对第 1 个连杆的位置和姿态矩阵, 根据坐标系位姿相对变换规则, 第 2 个连杆相对基系的位置和姿 1:T2= A1A2依此类推, 则可以得出第 n 个连杆相对基系的位置和姿态矩阵:Tn= A1A2A3A4A5A6An以著名的斯坦福机器人为例 3, 该机器人手臂有 6 个关节和 6 个杆件, 首先建立各关节坐标系之间的齐次变换矩阵 An, 根据运动学方程式计算规则得T6= A1A2A3A4A5A6= 0 0 0 1其中:nx= c1 c2( c4c5c6- s4s6) - s2s5c6 -
4、s1( s4c5c6+ c4s6)ny= s1 c2( c4c5c6- s4s6) - s2s5c6 - c1( s4c5c6+ c4s6)nz= - s2( c4c5c6- s4s6) - c2s5c6此种方法适应范围广泛，也得到了实践的验证，正确率高，因此得到了较高的应用，是通用的正解求解方法。然而此种方法中各个元素表达式也比较复杂。显然, 如果机器人关节更多, 其中各元素将更加复杂和难以解算。而许多科学研究用的机器人为了达到一定的灵活性通常都有 8 个以上的关节。这种情况下, 要求出精密的数值解并绘制轨迹特性曲线图是极其困难的。二位置反解求解方法1.Paul的反变换法这是我们所知的最常见
5、的求解反解方法，也是教科书中经常用来进行求解位置反解举例所用的方法当已知机器人末端执行器相对于参考坐标系的期望位值和姿态, 求其相对应的各关节的转角变化量。还是以斯坦福机器人为例, 设矩阵及各杆参数已知,求关节变量 1-6, 用 左乘其运动学方程式 T6= A1A2A3A4A5A6 的两边得11T6= A1A2A3A4A5A611将该式左右展开得到一个由 4 阶矩阵构成的代数方程式, 求解的过程是将未知数 n由方程式中的右边移向左边, 与其他未知数分开, 解出这个未知数, 再把下一个未知数移到左边, 如此重复进行, 直到解出所有未知数。很显然, 比较正解法 , 机器人的逆解问题更加复杂和难解。
6、一般情况下其解不是惟一的。有时会存在一些不能实现的位置和方向; 有时又会出现求不出数值解的情况。2. Lee和 Ziegler的几何法几何法是在分析机器人几何构型的基础上，将机器人在三维空间内的几何问题分解成若干个容易求解的平面几何问题，然后在为二维平面内，分析其各个连杆之间的几何关系，而不用建立机器人的运动学方程。因为其不用建立机器人的运动学方程，因此省却了复杂的矩阵计算，避免了反复的回代求解，并且直观上更容易理解。但是随着机器人自由度的增加，机器人的机构也变得复杂，用这种方法求解会比较复杂，而且涉及多解和奇异性问题，容易出错。因此它一般适合于结构简单、自由度较少，机构有明显几何关系的机器人
7、的运动学分析。3.Pieper方法在应用 D-H 法建立运动学方程的基础上，进行一定的解析计算后发现，位置反解往往有很多个，不能得到有效地封闭解。Pieper 方法就是在此基础上进行研究发现，如果机器人满足两个充分条件中的一个，就会得到封闭解，这两个条件是：（1 ） 三个相邻关节轴相交于一点；（2 ） 三个相邻关节轴相互平行。现在的大多数商品化机器人都满足封闭解的两个充分条件之一。如 PUMA 和STANFORD 机器人满足第一条件，而 ASEA 和 MINIMOVER 机器人满足第二条件。以PUMA560 机器人为例，它的最后 3 个关节轴相交于一点。我们运用 Pieper 方法解出它的封闭
8、解，从求解的过程中我们也可以发现，这种求解方法也适用于带有移动关节的机器人。当最后三个关节轴相交时，机器人的运动学方程可表示为=060336式中， 规定三轴交点的位置；而 则规定手腕的方位。因此，运动学反解分为两03 36个步骤进行；首先由腕部位置求解 123，然后，再由手腕的方位解出 456.这种方法除了能够在设计中通过保证 Pieper 原则，从而保证机构具有封闭解外，还能够简化计算，使计算更有条理，更容易理解。但是这种方法毕竟是建立在 D-H 方法建立的运动学方程和反变换解析法的基础上的，当机构自由度较多时，建立运动学方程依然是个麻烦事，并且每一部分的位置反解求解时还是要进行反复回代。4
9、.旋量理论法分析空间机构的众多数学方法中，旋量是十分有效的工具。一个旋量可以表示空间的一组对偶矢量，从而可以用来同时表示矢量的方向和位置，表示运动学中的角速度和线速度，以及刚体力学中的力和力矩。这样一个含有 6 个标量的旋量概念，就易于应用于机构的运动学和动力学分析。同时它也易于与其他的方法如矢量法、矩阵法和运动系数法之间的相互转化；它具有几何概念清楚、物理意义明确、表达形式简单、代数运算方便等优点，因此得到了广泛的应用，在机器人这种典型的机构运动学和动力学分析上都做出了贡献。用旋量，运动螺旋和力螺旋来描述刚体运动学问题有两大优点：第一，其最具吸引力的特点就是它只需要用两个坐标系，基础坐标系和
10、工具坐标系，从整体上来描述刚体的运动，这样避免了 D-H 参数方法采用局部坐标系描述时所造成的奇异性；第二，旋量方法将刚体运动的几何意义描述得很清楚，这避开了数学符号抽象的弊端，从而大大简化对机构的分析。旋量理论的核心是指数积公式，它将开链机构的运动方程表示成运动旋量的指数积，它适用于商业上常用的以转动副、移动副或螺旋副作为关节的机器人。由此提供了机器人运动方程的完整几何表示方法，从而大大地简化了机构的分析，并提供开链机器人的机构参数化表示方法。对于一个运动旋量来说，指数变换反映的是刚体的相对运动，运动旋量的指数可理解为是描述刚体由起始到最终位形的变换；指数变换用于描述刚体运动，因此有必要说明
11、的是每一个刚体变换都可写为某个运动旋量的指数。基于旋量的指数积方法的 n 关节机器人的运动学方程的建立：(1) 建立基坐标系和末端执行机构固接的坐标系；(2) 对于每个关节 i ，构造一个运动旋量 i，i 对应于除第 i 个关节外，其它关节 j 均固定于 j =0 位置时的旋量运动。(3) 将 n 个关节的运动组合可得到运动学正解映射指数积公式的最具有吸引力的特点之一就是它只有两个坐标系，基础坐标系和工具坐标系。该特点和运动螺旋 i 的几何特性相结合，使得指数积公式成为 DenavitHartenberg 参数的最佳替代。5.神经网络方法人工神经网络具有信息分布存储、并行处理以及自学能力等优点
12、,在信息处理、模式识别、智能控制及系统建模等领域得到越来越广泛的应用。尤其是基于误差反向传播算法的多层前馈网络 (简称 B P 网络 ),可以以任意精度逼近任意连续函数,所以广泛应用于非线性建模、函数逼近、模式识别和分类等方面。它的这一特性，自上世纪 70 年代开始得到一些机器人领域学者的关注，并尝试应用在位置反解的求解中，现在已经得到一定的结果。B P 网络通用的学习规则是 Delta 规则, 输入节点与隐层节点权值和阀值算法为式中, 为学习率 ; f ( x)为传递函数 ; tl 为输出节点的期望输出 ; ol 为网络计算输出; xi 为节点输入值;wli 为输入节点与隐节点间的网络权值;
13、 Tli 为隐节点与输出节点间的网络权值; si 为神经元输入。B P 神经网络最常用的传递函数有线性函数上述 B P 学习算法为标准 B P 算法,标准总体误差计算式为BP 网络的求解步骤机器人运动学逆问题即给定了机器人的末端位姿, 要求出其位姿所对应的各个关节角 = (1, 2, ,n) 的大小,利用 BP 网络可以进行求解。其求解的具体步骤如下:1)取若干组关节变量 = (1,2, ,n) 即若干组 值,应用公式 (1 ) 计算得到相应姿nx,ny, pz12 个未知数全部求出;2)对 nx, ny, pz 和 值进行规范化处理,分别作为求解用的神经网络的输入和期望输出值,对网络进行训练
14、;3)待网络训练成功后,再将给定的位姿矩阵中的 12 个值 nx, ny, pz 输入网络,经映射后得到关节角 = (1, 2, n) 值;4)再将关节角 值代入公式( 1 )计算得到相应的位姿矩阵,其中的 12 个未知数 nx, ny, pz 可以求出。5)将 n x, ny, pz 与给定值 nx, ny, pz 进行比较, 若误差在给定范围内 ,则 值为的解,否则 ,需要重新训练网络,直到满足要求为止;6)或者将给出的 = (1,2, ,n) 与 =(1,2, n) 进行比较看误差是否在规定范围内。利用 BP 网络对机器人运动学反解算法的建模设计是一种行之有效的方法。这不仅为机器人运动学
15、算法提供了新的思路,对机器人动力学问题、轨迹规划、运动控制也有一定的启发作用。6. CAD /CAE集成软件仿真图形分析法以往对机器人运动学的求解方法不外乎先建立各关节坐标系之间的齐次变换矩阵。这个过程因极其繁琐而容易出错, 对于不同类型的机器人, 其终端相对基系的位置和姿态矩阵形式差别极大, 随着运动关节的增加, 其矩阵方程表达式的复杂程度也成几何级数增加。运用 CAD /CAE 集成软件仿真图形分析法对机器人进行运动仿真模拟分析, 摒弃了复杂的数学和的一般操作要求。整个程序由 W hile Loop 循环加多层嵌套的 CaseS tru ctu re 结构组成 , 程序结构简洁 , 逻辑清
16、晰。其研究步骤和方法如下:( 1 ) 运用 P ro /E 完成机械臂各关节零部件的三维造型 , 并进行机械臂的虚拟装配设计和各关节的运动设计, 各关节连接属性均设置为“销钉” 。设扫描探头底部与代表病患部位的虚拟平面对齐, 平面的高度可根据待分析项目的特性要求在设计范围内确定,一般情况下, 设置扫描探头运动为贴平面分别沿 X、Y 方向做扫描运动。( 2 ) 运用内嵌于 Pro /E 的 Pro /M ech an ism 运动分析模块进行运动学与动力学的仿真分析。从“应用程序”窗口选择“机构”进入运动分析环境。首先对机器人结构件进行运动干涉检查。用鼠标“拖拽” 的办法引导机械臂前端在设计的工
17、作空间内做各种扫描动作, 当机械动作不能连续进行时, 就表明有干涉现象发生。观察图形和自动记录的数据就很容易发现问题所在。( 3 ) 在进行定量运动分析时先设定好扫描探头的初始位置。通常设置在机械臂工作平面的中心点, 然后指令扫描探头分别向 X、Y 方向做扫描移动。这时, 可以观察并记录扫描臂臂各关节转动角度函数置的变化范围、扫描探头到达的空间位置和姿态。通过模拟机械臂的运行过程, 就可以全面获得相应机构的运动学精确数据, 并自动描绘机械臂工作特性曲线参考文献:1 熊有伦. 机器人学M. 北京:机械工业出版社，1993:24 一 189.2 (美)约翰 J.克雷格著，苏仲飞，郭子正译.机器人学导论M.西安:西北工业大学出版社，1987:123 一 139.3 刘湘晨, 蔡晓君, 蒋力培, 方徐应.机器人运动学分析与求解方法的探讨.北京: MACH INE TOOL & HYDRAULICS.A ug 2009 V ol 37 N o 8.4 卢宏琴. 基于旋量理论的机器人运动学和动力学研究及其应用. 南京:南京航空航天大学, 2007.35 余光群. 基于 BP 神经网络的机器人运动学逆解新算法.长沙: 湖南信息职业技术学院,410200.6 张雯. 五自由度机器人运动学算法研究.西安:西安工业大学,2010.5.
