1、1物理学 2 章习题解答2-1 处于一斜面上的物体，在沿斜面方向的力 f 作用下，向上滑动。已知斜面长为5.6 m，顶端的高度为 3.2 m，f 的大小为 100 n，物体的质量为 12 kg，物体沿斜面向上滑动的距离为 4.0 m，物体与斜面之间的摩擦系数为 0.24。求物体在滑动过程中，力f、摩擦力、重力和斜面对物体支撑力各作了多少功？这些力的合力作了多少功？将这些力所作功的代数和与这些力的合力所作的功进行比较，可以得到什么结论？解 物体受力情形如图 2-3 所示。力 f 所 作 的 功；摩 擦 力 ,摩 擦 力 所 作 的 功；重 力 所 作 的 功;支 撑 力 n 与 物 体 的 位
2、移 相 垂 直 ， 不 作 功 ， 即；这 些 功 的 代 数 和 为.物 体 所 受 合 力 为,合 力 的 功 为.这 表 明 ， 物 体 所 受 诸 力 的 合 力 所 作 的 功 必 定 等 于 各 分 力 所 作 功 的 代 数 和 。2-3 物 体 在 一 机 械 手 的 推 动 下 沿 水 平 地 面 作 匀 加 速 运 动 ， 加 速 度 为 0.49 ms2 。若动力机械的功率有 50%用于克服摩擦力，有 50%用于增加速度，求物体与地面的摩擦系数。解 设机械手的推力为 f 沿水平方向，地面对物体的摩擦力为 f，在这些力的作用下物体的加速度为 a，根据牛顿第二定律，在水平方向
3、上可以列出下面的方程式,图 2-32在上式两边同乘以 v，得,上式左边第一项是推力的功率( )。按题意，推力的功率 p 是摩擦力功率 fv的二倍，于是有.由上式得,又有,故可解得.2-4 有一斜面长 5.0 m、顶端高 3.0 m，今有一机械手将一个质量为 1000 kg 的物体以匀速从斜面底部推到顶部，如果机械手推动物体的方向与斜面成 30，斜面与物体的摩擦系数为 0.20，求机械手的推力和它对物体所作的功。解 物体受力情况如图 2-4 所示。取 x 轴沿斜面向上， y 轴垂直于斜面向上。可以列出下面的方程,(1),(2). (3)根据已知条件, .由式(2)得.将上式代入式(3)，得.将上
4、式代入式(1)得,由此解得图 2-43.推力 f 所作的功为.2-5 有心力是力的方向指向某固定点(称为力心)、力的大小只决定于受力物体到力心的距离的一种力，万有引力就是一种有心力。现有一物体受到有心力 的作用(其中 m 和 都是大于零的常量)，从 rp 到达 rq，求此有心力所作的功，其中 rp 和 rq 是以力心为坐标原点时物体的位置矢量。解 根据题意，画出物体在有心力场中运动的示意图，即图 2-5，物体在运动过程中的任意点 c 处，在有心力 f 的作用下作位移元 dl，力所作的元功为, 所以，在物体从点 p (位置矢量为 rp)到达点 q (位置矢量为 rq)的过程中，f 所作的总功为.
5、 2-6 马拉着质量为 100 kg 的雪撬以 2.0 ms1 的匀速率上山，山的坡度为 0.05(即 每100 m 升 高 5 m)， 雪 撬 与 雪 地 之 间 的 摩 擦 系 数 为 0.10。 求 马 拉 雪 撬 的 功 率。解 设山坡的倾角为 ，则.可列出下面的方程式,.式中 m、f、f 和 n 分别是雪橇的质量、马的拉力、地面对雪橇的摩擦力和地面对雪橇的支撑力。从以上方程式可解得,图 2-54.于是可以求得马拉雪橇的功率为.2-7 机车的功率为 2.0106 w，在满功率运行的情况下，在 100 s 内将列车由静止加速到 20 ms1 。若忽略摩擦力，试求：(1)列车的质量；(2)
6、列车的速率与时间的关系；(3)机车的拉力与时间的关系；(4)列车所经过的路程。解 (1)将牛顿第二定律写为下面的形式, (1)用速度 v 点乘上式两边，得.式中 fv = p，是机车的功率，为一定值。对上式积分,即可得,将已知数据代入上式，可求得列车的质量，为.(2)利用上面所得到的方程式,就可以求得速度与时间的关系，为. (2)(3)由式(2)得,将上式代入式(1)，得5,由上式可以得到机车的拉力与时间的关系.(4)列车在这 100 秒内作复杂运动，因为加速度也在随时间变化。列车所经过的路程可以用第一章的位移公式(1-11)来求解。对于直线运动，上式可化为标量式，故有.2-8 质量为 m 的
7、固体球在空气中运动将受到空气对它的黏性阻力 f 的作用，黏性阻力的大小与球相对于空气的运动速率成正比，黏性阻力的方向与球的运动方向相反，即可表示为 f = v， 其中 是常量。已知球被约束在水平方向上，在空气的黏性阻力作用下作减速运动，初始时刻 t0 ，球的速度为 v0 ，试求：(1) t 时刻球的运动速度 v；(2)在从 t0 到 t 的时间内，黏性阻力所作的功 a。解 (1)根据已知条件，可以作下面的运算,式中.于是可以得到下面的关系,对上式积分可得. (1)当 t = t0 时， v = v0，代入上式可得.将上式代入式(1)，得. (2)(2)在从 t0 到 t 的时间内，黏性阻力所作
8、的功可以由下面的运算中得出6.2-9 一个质量为 30 g 的子弹以 500 ms1 的速率沿水平方向射入沙袋内，并到达深度为 20 cm 处，求沙袋对子弹的平均阻力。解 根据动能定理，平均阻力所作的功应等于子弹动能的增量，即,所以.2-10 以 200 N 的水平推力推一个原来静止的小车，使它沿水平路面行驶了 5.0 m。若小车的质量为 100 kg，小车运动时的摩擦系数为 0.10，试用牛顿运动定律和动能定理两种方法求小车的末速。解 设水平推力为 f，摩擦力为 f，行驶距离为 s，小车的末速为 v。(1)用牛顿运动定律求小车的末速 v：列出下面的方程式,.两式联立求解，解得,将已知数值代入
9、上式，得到小车的末速为.(2)用动能定理求小车的末速 v：根据动能定理可以列出下面的方程式,其中摩擦力可以表示为.由以上两式可解得,将已知数值代入上式，得小车的末速为7.2-11 质量 m = 100 g 的小球被系在长度 l = 50.0 cm 绳子的一端，绳子的另一端固定在点 o，如图 2-6 所示。若将小球拉到 p 处，绳子正好呈水平状，然后将小球释放。求小球运动到绳子与水平方向成 = 60 的 点 q 时 ， 小 球 的 速 率 v、 绳 子 的 张 力 t 和小球从 p 到 q 的过程中重力所作的功 a。解 取 q 点的势能为零，则有,即,于是求得小球到达 q 点 时 的 速 率 为
10、.设小球到达 q 点 时 绳 子 的 张 力 为 t，则沿轨道法向可以列出下面的方程式,由此可解的.在小球从 p 到 q 的过程中的任意一点上，沿轨道切向作位移元 ds，重力所作元功可表示为,式中 是沿轨道切向所作位移元 ds 与竖直方向的夹角。小球从 p 到 q 的过程中重力所作的总功可以由对上式的积分求得.2-12 一辆重量为 19.6103 n 的汽车，由静止开始向山上行驶，山的坡度为 0.20，汽车开出 100 m 后的速率达到 36 kmh1 ，如果摩擦系数为 0.10，求汽车牵引力所作的功。解 设汽车的牵引力为 f，沿山坡向上，摩擦力为 f，山坡的倾角为 。将汽车自身看为一个系统，
11、根据功能原理可以列出下面的方程式, (1),图 2-68.根据已知条件，可以得出 ， ，汽车的质量 以及 。从方程(1)可以解得.汽车牵引力所作的功为,将数值代入，得.2-13 质量为 1000 kg 的汽车以 36 kmh1 的速率匀速行驶，摩擦系数为 0.10。求在下面三种情况下发动机的功率：(1)在水平路面上行驶；(2)沿坡度为 0.20 的路面向上行驶；(3)沿坡度为 0.20 的路面向下行驶。解 (1)设发动机的牵引力为 f1 ，路面的摩擦力为 f。因为汽车在水平路面上行驶，故可列出下面的方程式,.解得.所以发动机的功率为.(2)设汽车沿斜面向上行驶时发动机的牵引力为 f2，可列出下
12、面的方程式,.9解得.发动机的功率为.(3)汽车沿斜面向下行驶时发动机的牵引力为 f3，其方向与汽车行驶的方向相反。所列的运动方程为,所以,这时发动机的功率为.2-14 一个物体先沿着与水平方向成 15角的斜面由静止下滑，然后继续在水平面上滑动。如果物体在水平面上滑行的距离与在斜面上滑行的距离相等，试求物体与路面之间的摩擦系数。解 设物体在水平面上滑行的距离和在斜面上滑行的距离都是 l，斜面的倾角 = 15，物体与地球组成的系统是我们研究的对象。物体所受重力是保守内力，支撑力 n不作功，物体所受摩擦力是非保守内力，作负功。以平面为零势能面，根据功能原理可以列出下面的方程式,其中 , , 将它们
13、代入上式，可得,所以.2-15 有一个劲度系数为 1200 nm1 的弹簧被外力压缩了 5.6 cm，当外力撤除时将一个质量为0.42 kg 的物体弹出，使物体沿光滑的曲面上滑，如图 2-7 所示。求物体所能到达的最大高度 h。解 将物体、弹簧和地球划归一个系统，并作为我们的研究对象。这个系统没有外力的作用，同时由于曲面光滑，物体运动也没有摩擦力，即没有非保守内力的作用，故系统的机械能守恒。弹簧被压缩状态的弹力势能应等于物体达到最大高度 h 时的重力势能，即图 2-710,.2-16 如图 2-8 所示，一个质量为 m = 1.0 kg 的木块，在水平桌面上以 v = 3.0 ms1 的速率与
14、一个轻弹簧相碰，并将弹簧从平衡位置压缩了 x = 50 cm。如果木块与桌面之间的摩擦系数为 = 0.25，求弹簧的劲度系数 k。解 以木块和弹簧作为研究对象，在木块压缩弹簧的过程中，系统所受外力中有重力和摩擦力，重力不作功，只有摩擦力作功。根据功能原理，可列出下面的方程,其中 , 代入上式，并解出弹簧的劲度系数，得.2-17 一个劲度系数为 k 的轻弹簧一端固定，另一端悬挂一个质量为 m 的小球，这时平衡位置在点 a，如图 2-1 所示。现用手把小球沿竖直方向拉伸x 并达到点 b 的位置，由静止释放后小球向上运动，试求小球第一次经过点 a 时的速率。解 此题的解答和相应的图 2-1，见前面例
15、题分析中的例题 2-1。若把小球、弹簧、地球看作一个系统，则小球所受弹性力和重力都是保守力。系统不受任何外力作用，也不存在非保守内力，所以在小球的运动过程中机械能守恒。另外，可以把小球处于点 B 时的位置取作系统重力势能零点，而系统的弹性势能零点应取在弹簧未发生形变时的状态，即图中所画的点 O。设由于小球受重力的作用，弹簧伸长了x0，而到达了点 A。则根据状态 B 和状态 A 的机械能守恒，应有： 22020 1)()(1)x(21 mvxgkk式中 v 是小球到达点 A 时的速率。因为小球处于点 A 时所受的重力 mg 和弹性力k(x 0)相平衡，故有mg= k(x 0) (2)图 2-8图 2-1OABx 0x
