1、白淑敏 崔红卫概率论与数理统计习 题 1.11试判断下列试验是否为随机试验：（1）在恒力的作用下一质点作匀加速运动；（2）在 5 个同样的球（标号 1,2,3,4,5,）中，任意取一个，观察所取球的标号；（3）在分析天平上称量一小包白糖，并记录称量结果解（1）不是随机试验，因为这样的试验只有唯一的结果（2）是随机试验，因为取球可在相同条件下进行，每次取球有 5 个可能的结果：1,2,3,4,5，且取球之前不能确定取出几号球（3）是随机试验，因为称量可在相同条件下进行，每次称量的结果用 x 表示，则有，其中 m 为小包白糖的重量， 为称量结果的误差限易见每次称量会(,)xm有无穷多个可能结果，在
2、称量之前不能确定哪个结果会发生2写出下列试验的样本空间（1）将一枚硬币连掷三次；（2）观察在时间0 ，t 内进入某一商店的顾客人数；（3）将一颗骰子掷若干次，直至掷出的点数之和超过 2 为止；（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标解（1） =（正正正） ， （正正反） ， （正反正） ， （反正正） ， （正反反） ， （反正反） ， （反反正） ， （反反反）；（2） =0，1，2，3，；（3） =（3,4）,（5,6）,(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,1,1),(1,1,2),(1,1
3、,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6).（4）在单位圆内任取一点，这一点的坐标设为（x，y）,则 x，y 应满足条件故此试验的样本空间为21.2(,)|1.xy3将一颗骰子连掷两次，观察其掷出的点数令 =“两次掷出的点数相同” ， AB=“点数之和为 10”， =“最小点数为 4”试分别指出事件 、 、 以及 CCA、 、 、 、 各自含有的样本点ABAB解 =(1,1) ，(2,2) ，(3,3) ， (4,4) ，(5,5) ，(6,6) ;=(4,6) ，(5,5) ，(6,4); =(4,4) ，(4,5) ，(4,6) ，(5,4) ，(6,4);C;(1,)2,(3
4、)4,(5),6(4,)AB=(1,1)，(2,2)，(3,3) ，(5,5)，(6,6);=(4,5)，(4,6)，(5,4) ， (6,4);(5,).BC4在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是 0 次，1 次，2 次， 记事件 kA（k = 1 ，2 ，）表示“接到的呼唤次数小于 k”，试用 间的运算表示下列事件：kA（1） 呼唤次数大于 2 ；（2） 呼唤次数在 5 到 10 次范围内；（3） 呼唤次数与 8 的偏差大于 2 解 (1) ；(2) ；(3) .3A1561A5试用事件 、 、 及其运算关系式表示下列事件：BC（1） 发生而 不发生；（2） 不发生但 、 至少有
5、一个发生；（3） 、 、 中只有一个发生；A（4） 、 、 中至多有一个发生；BC（5） 、 、 中至少有两个发生；（6） 、 、 不同时发生解 (1) ；(2) ；(3) ； (4) ；AB()CABC ABC(5) ； (6) 6在某大学金融学院的学生中任选一名学生若事件 表示被选学生是女生，事件表示该生是大学二年级学生，事件 表示该生是运动员B（）叙述 的意义ABC（2）在什么条件下 成立？（3）在什么条件下 成立？ 解（1）该生是二年级女生，但非运动员（2）全学院运动员都是二年级女生（3）全系男生都在二年级7化简下列各事件：（1） ； ()AB（2） ；（3） ；()（4） AB（5）
6、 .()()()A解(1) ；(2) ；AB(3) ；(4) ； (5) .ABABAB习题 1.21已知事件 、 、 的概率分别为 0.4，0.3，0.6求 ()P解 由公式 及题设条件得()()()PABPAB0.43.601又 ()()().401.32设 ， ， ，求（1） 4PABCPAB()()6CPBA、 、 中至少有一个发生的概率；（2） 、 、 都不发生的概率。BC解（1）由已知 ，且有 ，所以由概率的单调性知()0()0C再由概率的加法公式，得 、 、 中至少有一个发生的概率为AB()()() 32=0.6541PABCPABCPAB（2）因为“ 、 、 都不发生”的对立事
7、件为“ 、 、 中至少有一个发C生” ，所以得 P（ 、 、 都不发生）=1-0.625=0.375。ABC3设 ， ， ，求 ) ， ， ()p()q()PABr(PAB() (B解 . 由PABPAB得 pqr则 PABPABqprp114设 、 、 是三个随机事件，且有 ， ， ABCCAB、()0.9P= 0.8 ，求 ()P()P解 因 1P则 10.82PBC又由 知 ，于是,AA.9.7PBC5某城市共有 、 、 三种报纸发行. 已知该市某一年龄段的市民中，有 45%的B人喜欢阅读 报，34%的人喜欢阅读 报，20% 的人喜欢阅读 报，10%的人同时喜欢阅A读 报和 报， 6%的
8、同时人喜欢阅读报 和 报，4% 的人同时喜欢阅读 报和 报，1%ABACCB的人 、 、 三种报纸都喜欢读. 从该市这一年龄段的市民中任选一人，求下列事件C的概率：（1）至少喜欢读一种报纸；（2）不喜欢读任何一种报纸；（3）只喜欢读 报；A（4）只喜欢读一种报纸.解 设 、 、 分别表示从该市这一年龄段的市民中任选一人喜欢读 报 、AB报、 报BC由题设知()0.45,().34,()0.2PPC16().ABAC（1）该市这一年龄段的市民中任选一人至少喜欢读一种报纸的概率 ()()() =0.45+3.201.6.04.1.8PPBCPBAA（2）该市这一年龄段的市民中任选一人不喜欢读任何一
9、种报纸的概率()()() 10.8=2PBCPBC(3) 该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读 报的概率A()()() ()=0.45.106.1=3AAPBPCB(4) 同理可以求得：该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读 报的概率()()() ()=0.34.10.1=2ABCAPBPCAB该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读 报的概率()()() ()=0.2.60.4.1=ABCAPCPBAC故该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读一种报纸的概率()()()() =0.3+21.=062PABCPABCPABC6设 ， 则下列说法哪些是正确的？ ()0（1） 和 不相容；（2） 和
10、 相容；（3） 是不可能事件；（ 4） 不 一 定是不可能事件（5） 或 ；（6） 。()0PA()B()(PAB解 因为概率为零的事件不一定是不可能事件，所以（4）正确；又因为 ，所以（6）正确 .()()(习题 1.31将 10 本书任意放到书架上，求其中仅有的 3 本外文书恰排在一起的概率解 设 “3 本外文书排在一起” 。10 本书总的排法有 10！种；3 本书排成一列共有A3！种，将这 3 本书排列后作为一个元素与另外 7 本书在一起有 8！种排法，所以，事件含有的样本点数为 ，故!83!10.65PA2假设十把钥匙中有三把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率解 设 “能打开门”
11、。样本空间的样本点总数是 ，事件 含有的样本点数A21045CA为 ，则2137C213702() 0.534CPA3某人欲给朋友打电话，但只记得朋友的电话由五个不同数字组成，其首位是 5 ，末位是 3 ，中间号不是 0 ，只好试拨求其试拨一次即拨对的概率解 设 “试拨一次即拨对” 。由题意，样本空间的样本点总数为 个，而正确的号A 37A码只有一个。因此 371()0.4865PA4从装有 5 只红球 4 只黄球 3 只白球的袋中任意取出 3 只球，求下列事件的概率：（1）取到同色球；（2）取到的球的颜色各不相同解（1）设 “取到 3 只同色球” 。任取 3 只球的样本点总数是 ，取到 3A
12、 3120C只红球的样本点数是 ，取到 3 只黄球的样本点数是 ，取到 3 只白球的样本510C34点数是 ，则3 335412015() 0.682CPA（2）设 “取到的球颜色各不相同” 。任取 3 只球的样本点总数是 ，取到B 3120C的球颜色各不相同，即取到一只红球一只黄球一只白球，其样本点数是 ，5436则 1543260().27CPB5将上题中的抽取方式改为“放回抽样” ，即每次取出 1 球，记下颜色后放回，再作抽取，连取三次，求上述两个事件的概率解（1）设 “取到 3 只同色球” 。 样本空间的样本点总数是 ，取到 3 只A 3278红球的样本点数是 ，取到 3 只黄球的样本
13、点数是 ，取到 3 只白球的样本512346点数是 ，则373354()12671 0.258PA设 “取到的球颜色各不相同” 。 任取 3 只球的样本点总数是 ，取到的B 31728球颜色各不相同，即取到一只红球一只黄球一只白球，其样本点数是，则 135460CA135460() .283217CAPB6一部四卷的文集,按任意次序放到书架上,问各卷自左向右,或自右向左的卷号的顺序恰好为 1,2,3,4 的概率是多少?解 设 =文集排列为 1,2,3,4 或 4,3,2,1 的次序，而一切可能的排列总数为A有利于所讨论的事件的排序项序总数为 k=2,即按 1,2,3,4 及 4,3,2,1 两
14、种次序排列。4!,n则所求概率为=0.083321()4!kPAn7从 5 双不同的的鞋中任取 4 只,求这 4 只鞋中至少有两只配成一双的概率.解（1）设 =“4 只鞋中至少有两只配成一双 ，因为有利于事件 A 的取法总数为（即先从 5 双中任取一双，再在其余 8 只中任取 2 只的取法共有 种。258C 1258C是所取四只恰为两双的取法数是重复的数目，应用 中扣掉） ，所以有158C125840.69.PA8两封信随机地投入四个邮筒，求前两个邮筒内没有信的概率解 设 =“前两个邮筒内没有信 ”。因为每封信有 4 种投法，所以两封信共有A种投法，而 所包含的样本点数为 ，从而24162()
15、0.516PA9一间宿舍内住有 6 位同学，求他们中有 4 个人的生日在同一个月份的概率解 设 =“6 位同学中有 4 个人的生日在同一个月份” 。每位同学的生日可能是 12 个A月份中的一个月份，6 位同学的生日可能有 种不同分布方式，而事件 的样本点数为62A，于是，所求概率为412C4126()0.73CPA10某货运码头仅能容一船卸货,而甲已两船在码头卸货时间分别为 1 小时和 2 小时设甲、乙两船在 24 小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率。解 设 x,y 分别表示两船到达某地的时刻,用 A 表示两船中的任何一船都不需等待码头空出。依题设，样本空间(,)|0
16、24,xyy事件 ,| 1Ax或显然这是一个几何概型，故2213+()=0.87934mAP的 面 积的 面 积习题 1.4设 ， 问 (1) 什么条件下 可以取最大值，其值是()0.5A()0.6B()PAB多少？（）什么条件下 可以取最小值，其值是多少？P解（）因为.|0.5|ABAPB要使 最大，则需 最大，当 时， 可以取最大值，()P|P(|)1()A此时；()=0.5AB(2) 因为+.6()PABPPAB所以 时， 取最小值，此时()1()()=1.-0AB2设箱中有 5 个零件，其中 2 个为不合格品，现从中一个个不放回取零件，求在第三次才取到合格品的概率解 设 表示第 i 次
17、取到合格品，则所求概率为(1,23)iA123121312()(|)(|) 540PAPAA3由长期统计资料得知，某一地区在 4 月份下雨（记为事件 ）的概率为 ,刮风415（记为事件 ）的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 求B71510(|),(|)().PAPA及解 由题设知 ， ， ，则44(15B()1PAb()1/03(|)754PAB()/(|)8()()4719 503PABPAB4某工厂生产的产品中 36 为一等品，54 为二等品，10 为三等品从中任意取出 1 件产品，已知它不是三等品，求其是一等品的概率解 设 “取出的产品为一等品” ， “取出的产品为二等品” ， “取出的产
18、ABC品为三等品” ，则 36%,54,10%.PPC故所求概率为 36.41AC5 一批电子元件中，甲类的占 80 ，乙类的占 12 ，丙类的占 8 三类元件的使用寿命能达到指定要求的概率依次为 0.9 、0.8 和 0.7 今任取一个元件，求其使用寿命能达到指定要求的概率解 设 “任取一个元件为甲类” ， “任取一个元件为乙类” ， “任取一个ABC元件为丙类” ， “达到指定要求” ，则有D80%,12,8%PPC.90.0.7ADB故由全概率公式，有 BPDC0.89.1208.70.826某商店收进甲厂生产的产品 30 箱，乙厂生产的同种产品 20 箱甲厂每箱装 100个，废品率为 0.06 ，乙厂每箱装 120 个，废品率是 0.05 ，求：（1）任取一箱，从中任取 1 个为废品的概率；（2）若将所有产品开箱混放，则任取 1 个为废品的概率为多少？解 （1）设 “任取一箱为甲厂的产品 ”， “任取一箱为乙厂的产品” ， 1A2A
