1、1济南大学 20072008 学年第二学期 量子力学试卷(B)参考答案与评分标准一、填空（每空 2 分，共 20 分）1. 厄米, 实 2. ， 02),(drrd022sin),(dr3. ， /21ipxe/1ipxe4. ， 或 （考虑电子的自旋）)(N2n5. ， .或mcegs1或cegl二、计算题(每题 5 分, 共 20 分)1 解：由归一化条件知： （3 分）sin02dxaA解得： （2 分）aA22 解：（5 分）mkezezij ikikiikz)(23 解： 的本征值为： （2 分）2s2本征态为： ； ； （各 1 分）)(1)(1)()(4 解：一维谐振子势为： 2
2、xmV由位力定理可知： （2 分）nT而 （2 分）)21(Tn（1 分）n三 证明题（每小题 5 分, 共 20 分）21. 证明： （5 分）yipxyxpyxpl yxz ,2. 证明： （2 分）zyi2分别左乘和右乘上式，并利用 得12y； （2 分）xyyzzi yxzzi上两式相加可得： （1 分）0xy3. 证明： （1 分）BA,（2 分）)(2121)(21 BAB（2 分）iii 和 均为厄米算符.)(21A)(21Bi4. 证明： 设. （1）nn（2） （2 分）mA对(2)取复共轭 mA上式右乘 并积分 （3）n),(),(nmn利用 得 （4）A ,mA（4）代入
3、（3）可得 （2 分）0),(nmnA如果 ，则必有 （1 分）nm),四、 （15 分）解：薛定谔方程为： （3 分）2/2axEdx/0在 区域内的通解是： ， （2 分）2/ax xBAcossin/12mE利用边界条件 得 02/2/axax3（2 分）0)2/cos()2/sin(aBaA则 ， ， （n 为奇数） （2 分）0)/s(， ， （n 为偶数） （2 分）B02inaa体系的能级为： （2 分）),321(2mEn归一化后的波函数为： （2 分）)2/(0)(sinaxan五、 （10 分）解：能量本征方程为： （5 分）EI2能量本征函数可取为： （5 分）,2101)( meim能量本征值为： （5 分）IE2六、(15 分)解：(1) 无微扰哈密顿的本征方程为： （3 分）32103210 cVV久期方程为： 2031解得： （3 分）,132本征值和本征矢为， ； ， ； ， （6 分）010VE10203VE120302VE134（2） HVVH 0000 23123)1( 则（1 分）0031202101 EHEE（1 分）0203201202 V（1 分）0202301303 EHEE
