1、12015 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题) 两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合 ， ，则210A， ， ， ， |(1)20BxAB（A）-1，0 （B
2、）0，1 （C ）-1，0，1 （D ）0，1，2（2）若 a 为实数，且 (2+ai)(a-2i)=-4i，则 a=（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2（3）根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（A）逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B） 2007 年我国治理二氧化硫排放量显现成效（C） 2006 年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势（D）2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关（4）已知等比数列 满足 ， ，则na131231a357a（A）21 （B）42 （C）63 （D）84（5）设函
3、数 则21log(),1(),xxf2()log1)ff（A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6）一个正方体被一个平面截去一部分之后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A） （B ） （C） （D） 187165（7）过三点 A（1，3） ，B（4，2） ，C（1，-7）的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|=（A） （B）8 （C） （D）102646（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算法中德“ 更相减损术 ”，执行该程序框图，若输入的 a， b，分别为 14，18，则输出的 a=（A）0（B） 2 （C） 4（D）14（9）已知 A，B
4、 是 O 的球面上两点， ，C 为该球面上的动点，若三棱锥90AOBO-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为（A） （B ） （C） （D）366414256（10）如图，长方形 ABCD 的边 AB=2，BC=1， O 是 AB 的中点，点 P 沿着边BC，CD 与 DA 运动，记 。将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数Pxf(x)，则 y=f(x)的图像大致为2（11）已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上， 为等腰三角形，且AB顶角为 ，则 E 的离心率为120（A） （B ）2 （C） （D）532（12）设函数 f(x)是奇函数
5、f(x) 的导函数，f(-1)=0，当 x0 时，xf(x)-f(x)0 成立的 x 的取值范围是（A） （B） (1)(0， ， (-10)， ，（C） （D）-， ， ， ，第卷本卷包括必考题和旋考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、 填空题：本大题共 4 小题。每小题 5 分（13）设向量 a，b 不平行，向量 a+b与 a+2b 平行，则实数 =_.（14）若 x，y 满足约束条件 则 z=x+y 的最大值为_.10,2,xy（15） 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a=_.4(
6、)1a（16）设 的数列 的前 n 项和，且 ，则 =_.nSn1+1nnaSn三、解答题：解答应写出文字部分解题过程和演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）中，D 是 BC 上的点， AD 平分 ， 面积是 面积的 2 倍，ABCBACDAC（）求 ； （）若 AD=1，DC= ，求 BD 和 AC 的长。sin2（18） （本小题满分 12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B
7、 地区： 73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平绝值机分散成都（不要求计算出具体值，给出结论即可） ；（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级;满意度评分 低于 70 分 70 分至 89 分 不低于 90 分满意度等级 不满意 满意 非常满意记事件 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给的数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概
8、率。A 地区 B 地区4567893（19） （本小题满分 12 分）如图，长方体 ABCD- 中，AB=16 ，BC=10，AA 1=8，点 E，F 分别在 ，1ABCD1AB上， =4，过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方1DC1E体。（）在途中画出这个正方形（不必说明画法和理由） ；（）求直线 AF 与平面 所成角的正弦值。20 （本小题满分 12 分）已知椭圆 C： ，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个229(0)xym交点 A，B ，线段 AB 的中点为 M。（1）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；（2）若 l 过点
9、，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？(,)3若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由。（21） （本小题满分 12 分）设函数 2()mxfe（）证明：f(x)在 单调递减，在 单调递增；(0)， (0)+，（）若对于任意 ，都有 ，求 m 的取值范围。12x， ， 121fxe-DD1 C1A1 EFA BCB14请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。（22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点， 与 的底边 BC 交与点 M，N 两点，与
10、OABC底边上的高 AD 交与点 G，且与 AB，AC 分别相切于点 E，F 两点。（）证明：EF/BC；（）若 AG 等于 的半径，且 ，求四边形 EBCF 的面积。OA23EMN（23） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 x0y 中，曲线 C1： （t 为参数， ） ，其中 .在意cosinxy， 0tO 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，设曲线 ，2:sinC。3:2cosC（）求 C1 与 C2 交点的直角坐标；（）若 C1 与 C2 相交于点 A，C 1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值。（24） （本小题满分 10 分）选修 4-5
11、：不等式选讲设 a，b，c，d 均为正数，且 a+b=c+d，证明：（）若 abcd，则 ；abcd（） 是|a-b|c-d|的充要条件。cdGAE FONDB CM5A1A B1BD1D C1CFEHGM参考答案一、选择题 15ABDBC,6-10DCBCB,11D,12A二、填空题 13： 14： 15：3 16：2321n三、解答题17. ()因为 ，所以 在 和 中，由余弦定理得:ABDCS2BDABDC， 22cosA2cosCA由( )知 ，所以 2236 118.（）两地区用户满意度评分的茎叶图如下A 地区 B 地区4567896 81 3 6 432 4 5 5 6 4 23
12、3 4 6 96 8 8 6 4 33 2 19 2 8 6 5 11 37 5 5 2表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意 ”2C则 与 独立， 与 独立， 与 互斥， 1A2ACB1B2C12BAC1()BP()()AAP12()()BAPPC由所给数据得 ， ， ， 发生的概率分别为 ， ， ， 故 ，A21B262048016=0， ， ，故 2()=APC401()=B02()BPC8=1()=+.42P19. （）交线围成的正方形 如图：EHGF（）作 ，垂足为 ，则 ， ，因为 为正方形，EM14AME18AEHGF所以 于是 ，所以 以 为坐标原点，10HFBC260D6的
13、方向为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ，DAx Dxyz(10,)A， ， ， ，(10,)H(10,48)E(,)F(10,)E设 是平面6nxyzHG的法向量，则 即,0E,680所以可取 又 ，(,43)n(1,4)AF故 5cos,所以直线 与平面 所成角的正弦值为 AF41520. ()设直线 ， ， ， :lykxb(0,)1(,)Axy2(,)B(,)Mxy将 代入 得 ，故 ，ykxb229m290kkbm129kb于是直线 的斜率 ，即 所以直线2MOM9MOyxk9OMk的斜率与 的斜率的乘积为定值Ol（）四边形 能为平行四边形APB因为直线 过点 ，所以
14、 不过原点且与 有两个交点的充要条件是 ， l(,)3mlC0k3由()得 的方程为 设点 的横坐标为 由 得 ，OM9yxkPPx229,yxm2981Pk即 将点 的坐标代入直线 的方程得 ，因239Pkmx(,)3l(3)kb此 四边形 为平行四边形当且仅当线段 与线段 互相平分，即2()MkOAPBABOP于是2PMx239km解得 ， 因为 ， ， ，所以当 的斜率2()9k147247k0,3iik12l为 或 时，四边形 为平行四边形47OAPB22. （）由于 是等腰三角形， ，所以 是 的平分线又因为 分CDCABOA别与 、 相切于 、 两点，所以 ，故 从而 ABEFEF
15、E/FC（）由（）知， , ，故 是 的垂直平分线，又 是 的弦，所以 在 上连接 ， ，则 由 等于 的半径得 ，所以ODOMGOA2E所以 和 都是等边三角形因为 ，所以 ，03AEABCEF23E4A2因为 ， ，所以 于是 ， 所以四边132N1D5103B形 的面积 EBCF20363()()21.723. （）曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为2C20xy3C联立 解得 或 所以 与 交点的直230xyx20,3xyx,y,2,21角坐标为 和 （）曲线 的极坐标方程为 ，其(0,),)21C(,0)R中 因此 得到极坐标为 ， 的极坐标为 所以A(2sin,)B23cos,，当 时， 取得最大值，最大值为 2sin3cosAB4i356A4
