1、第一章 分数的简便计算在分数计算咩，经常会出现类似下面的题目：111234569108996023如果不去观察、尝试，找出其中的奥秘，将很难解决这样的问题。同学们，你们能想出好的办法吗？本章将就这样的问题，从约分法和分数的拆分角度加以解决。只要在平时的学习中多研究、多尝试、多思考，你还会想出更好、更奇妙的方法，试试吧！第一节 巧用运算定律和性质探究目标1能够根据四则运算的定律及性质使一些计算变得简便。2能利用和、差、积、商的变化规律进行简便运算。3进一步提高分析、抽象、综合、概括等能力。探究过程 参与一下“做数学”的过程，探究过程 参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦！例 用简便方法计算
2、14 0.65 14 0.65 的结果。378127513建议：1先观察题目中数字的特点，找出能够简便的方法。2要能够合理应用运算定律。讨论：1.14 与 14 能够运用乘法分配率壹行简便计算。220.65 与 0.65 能够运用乘法分配率过行简便计算。8135证明：题中第一组和第三组的两个乘式可以利用乘法分配律简便计算，第二组和第四组的两个乘式可以利用乘法分配咎简便计算。所以，原式( )14( )0.6571320.652.65例 1 计算：55 。56完全解题 通过观察发现 与 1 接近，可以把 看成 1 这样就可以运用5656乘法的分配律达到简算目的。55 5655(1 )155155
3、565554通过观察，还可以发现 55 加上 1 正好等于 56，所以也可以这样简算：55 (561)565656 155 554 6技法点睛 本题关键是先要观察题目的特点，可以将第一个因数变化，也可以将第二个因数进行变化。例 2 计算： (4.85 3.66.153 )。14585完全解题 题中的 4.85 就是 4.85 ，即 4.853 。18(4.85 3.66.153 )1 (4.853 3 6.153 )455 (4.8516.15)3 369技法点睛 本题中关键是将 4.85 改写成 4.85 ，再运用乘法分配率进行简518185便计算。例 3 计算：12.5(367 )3.6。
4、15完全解题 根据运算性质可以把(367 )3.6 改写成 363.67 3.6。51512.5(367 )3.612.5(363.67.23.6)12.58100技法点睛 本题的关键是将算式中的某个整体看作一个数，再运用有关定律进行简便计算。例 4 计算：(1 0.230.34)(0.230.340.65)(10.230.240.65)(0.230.34).完全解题 仔细观察，这组算式中的数就是 1，0.23，0.34，0.65，它们按某种规律排列，像这样的题目可以将它的某一部分看作一个整体，用字母代替，这样可简化计算的过程。设 A0.230.34,B0.230.340.65。原式(1A)B
5、(1B)ABABAAB(AB 与 BA 一样的结果，且可相互抵消)BA0.230.340.65(0.230.34)0.65技法点睛 本题从题目本身看是不能简便计算的，所以要善于运用拆数的方法。例 5 (2003浙江省小学数学活动课夏令营)计算：(49 ) (46 )1818 (43 ) (1 ) 。181818完全解题 利用乘法的分配律，可以将每组中的两个分数分别与 相乘，然后再利用乘法分配律将其重新整理。49、46、43、1 是一组等差数列，一共(491)3117 个数，所以一共有 17 组这样的和相加。原式49 46 43 1 81811818(4946431) 1753 176452 5
6、技法点睛 本题在利用乘法分配律之前，要运用等差数列求和的方法求出这些数的和一共有多少个。例 6 (2002天津市数学学科竞赛)计算：39 148 48 。148967419完全解题 对于 148 ，可以变式为 148 8686 ；对于 48861498可以变式为 242 24 。这样三组分数乘整数中的三个分数就变得相同74197了，利用乘法分配律将其简便计算。原式39 148 8624214897419(398624)149 14148技法点睛 在整数与分数相乘中，对于 a ，可以变式为 ab 或者 b 等bc1ca形式，这样的变式有利于找出相同的因数，从而可以利用乘法分配律进行简便计算。例
7、7 (2002四川省小学生数学夏令营)计算：29 39 49 5912345 。156完全解题 题目中每组两个因数中的第一个因数接近一个整十数，并且这个整十数正好是第二个因数分母的倍数。利用约分的方法进行简便计算。原式(30 ) (40 ) (50 ) (60 )123234455630 40 50 60 3 420304050( )531402 10137 9技法点睛 当一个数接近整十、整百时，可以先将其看作整十、整百数，然后再利用乘法分配律进行简便计算。例 8 (2002我爱数学少年夏令营)计算： 11()2341()234511(23451()234。完全解题 A， B，然后利用乘法的分
8、配律进行简便计算。5原式A(B )(A )B15AB AAB B (AB)1 51()2341()234 16技法点睛 在运用乘法分配律进行计算时，可以将若干个数的和看作一个整体，为使计算过程简便，可以将相同的一组数用字母代替。创新训练 检测一下自己的能耐吧，你一定很棒！一、选择题。(每题 5 分，共 20 分)1.(2003小学数学奥林匹克预赛)3.514935.15.14951 的结果是( )。A285 B2850 C285002.(2003天津市数学学科竞赛)1.11.911.991 的结果是( )。109.个A. B. C. 102.个 102.个 102.个3.(2003浙江省小学数
9、学活动课夏令营)994398429741 的结果是( )。A. 1235 B.12350 C.1235004.(2003小学数学奥林匹克预赛)0.71 2 150.7 15的结果是( )。493594A. 46.4 B. 464 C. 4.64二、填空题。(每题 5 分，共 20 分)1.(2003 广东省小学六年级数学竞赛)10 9 8 2 。1717172.(2003天津市数学学科竞赛)1.13.35.57.79.911.1113.1315.1517.1719.19 。3.(2004小学数学奥林匹克预赛)(2 9 7 9.625)96 。20358023144.(第一届“陈省身”杯数学邀请
10、赛)85.427903.29286.5790.32979032.94.323 。三、解答题1.(1 )( )(1 )( )134131451342.76( )23( )53( )25762763(4 )( )4( )( )( )197898989179第二节 约 分 法探究目标1.能够利用约分的方法直接将分子、分母中公有因式进行月份从而达到简便计算的目的。2.能够灵活地根据四则运算的性质将分子、分母转化、改写、变形等，找出其公有的因式，达到用约分法简便计算的目的。3.进一步提高分析、抽象、概括的能力。探究过程 参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦！例 有 2000 个桃子，猴王分给一批猴子
11、吃，第一天吃了总数的 ，第二天吃了余下12的 ，第三天吃了第二天余下的 ，以后每天都吃前一天余下的 、13145、 、 。最后还剩下多少个桃子？67120建议：1.先找出每天吃的相当于总数的几分之几。2通过列式探索其中的规律。讨论：1每天吃的都是前一天余下的几分之几，所以，可以依次进行乘法计算剩余的数量。2前一天分数的分母与后一个分数的分子正好能约掉。证明：第一天吃了以后还余下 2000(1 )，第二天吃了以后还余下 2000(1 )1212(1 )，依此类推，一直到吃去前一天的 后还余下 2000(1 )(1 )130123(1 )。202000(1 )(1 )(1 )13122000 14
12、5902000 201(个)所以最后还剩下 1 个桃子。例 1 计算： 。.3.45.672完全解题 题中的分子部分每一个加数都是分母中每一个相应加数缩小 10 倍的结果，可将分母部分处理成(1.22.33.44.55.66.7)10，而分子部分可写成(1.22.33.44.55.66.7)1 这样就可将公有的(1.22.33.44.55.66.7)约去。1.23.45.67 .10 10技法点睛 本题中的分子与分母只是小数位数的不同，可以利用乘法分配率将其整理。例 2 计算：(9 7 )( )。295完全解题 利用 9 7 65( )69179 5( )1这样分子分母中就有相同的因式( )。
13、(9 7 )( )295( )( )615)7(913技法点睛 本题中的被除数与除数中分数部分的分母是相同的，可以利用乘法分配率将其写成若干个分数单位和的形式。例 3 计算： 12345678654321完全解题 12345678765432188这样可与分母部分的 888888888888 约分。8 8 1 23456技法点睛 本题中的分子具有一定的规律，正好是 8 个 8 的和，所以分子与分母可以进行约分。例 4 计算： 1921943完全解题 分子分母中没有公有的因式可以直接约。但通过观察分子分母中数的特征，可以转化为两种：一是将分子变化，199319921994199411992199
14、4199419931;二是将分母变化，199319941(19921)19941199219941993.93294 4 11931或 294 931() 193219431技法点睛 本题中的分子与分母要进行变式，可以将分子变的与分母一样，也可以将分母变的与分子一样。例 5 计算： 。5719246820完全解题 1357199(1199)100224t68200(2200)1002这样分子和分母中都有 1002。可用约分法进行简算。719620 1920 技法点睛 本题中的分子与分母都是等差数列，可以利用数列求和的方法进行约分。例 6 计算： 5678912345完全解题 将 56789 看
15、作 A，12345 看作 B，则原式变为 ，AB可变形为 1 。ABB5678923451 2 6技法点睛 本题中的分子有一部分与分母相同，为了解题方便，可以将每个乘式看作一个整体。 例 7 计算： 。21345678913457890123456789完全解题 1234567891 2123456789112345678911234567891(12345678901)123456789112345678901234567891123456789012345678921234567890(12345678911)123456789012345678911234567890这样分母部分的差为
16、1。23456789134567890123456789 123456789123456789(0)0(1234567891) 1123456789技法点睛 本题的关键是利用乘法分配率将分母进行变式。例 8 计算： 。24368912完全解题 1211(12) 2422(12)3633(12) 4844(12)即 1224364812(11223344)2311(23) 4622(23)6933(23) 81244(23)即 23466981223(11223344)124368912 (4) 13技法点睛 本题的关键是将分子与分母进行变式，将相同的因数进行分类整理，再根据乘法分配率进行约分。
17、创新训练 检测一下自己的能耐吧，你一定很棒！一、选择题。(每题 5 分，共 20 分)1(2004我爱数学少年夏令营) 等于( )。23040129A1 B2001 C2(第一届“陈省身”杯数学邀请赛) 等于( )27(130.5)6A B C4094924923(吉林省第十届小学数学邀请赛) 等于( )。30051A.1 B C144(2004四川省小学数学邀请赛)等于( ).2040240240245555A1 B C1二、填空题。(每题 5 分，共 20 分)1(2004四川省小学生数学夏令营) 。23467892346789001552(2004我爱数学少年夏令营) 。79423081
18、73(第一届“陈省身”杯数学邀请赛) 。020143215144(吉林省第九届小学数学邀请赛) 。136022483三、解答题。(每题 20 分，共 60 分)1 。59361087742 91461951975953 16023第三节 拆 项 法探究目标1.能灵活运用分数拆分的方法使一些复杂的分数数列求和的计算简便。 2进一步提高分析、综合、抽象、概括等能力。探究过程 参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦！例 (2001我爱数学少年夏令营)计算：。111324239建议：1.仔细观察题目的特点，找出解题的方法。2.想办法将分数变化形式。讨论：1分数的分母依次是等差数列的和，可以用求和的公式进行整理。2将分数的分母变成等差数列求和的形式，然后根据 1 除以一个数的特点改写成倒数的形式，最后将分数的分母变换成两个连续自然数相乘的形式，这样就可以利用分数拆分
