1、1,第二章 随机信号分析,2.1 信号的类型2.1.1 确知信号和随机信号什么是确知信号什么是随机信号2.1.2 能量信号和功率信号信号的功率: 设 R = 1, 则 P = V2/R = I2R = V2 = I2信号的能量：设S代表V或I，若S随时间变化，则写为s(t), 于是，信号的能量 E = s2(t)dt能量信号：满足 平均功率：，故能量信号的P = 0。 功率信号：P 0 的信号，即持续时间无穷的信号。能量信号的能量有限，但平均功率为0。功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大。,2,2.2 确知信号的性质,2.2.1频域性质频谱特性(1)能量谱（能量谱密度）：时间信号的能量随频率
2、分布的关系 (2)功率谱（功率谱密度）：时间信号的功率随频率分布的关系,3,2.2 确知信号的性质,2.2.1频域性质信号的表示 (1)周期信号f(t) 可展开为傅立叶级数：,4,2.2 确知信号的性质,信号的表示 (2)非周期信号f(t) 的表示：在T的情况下，每个频率分量的幅度变为无穷小，而频率分量又无穷多个，离散频谱变成了连续频谱。f(t)不再是n0的离散函数，而是的连续函数：,5,2.2 确知信号的性质,信号的傅立叶变换上式是傅立叶积分的形式，可将其分解为两个式子：傅里叶正变换：把一个时间域内t的函数变换为频率域内的函数。傅里叶逆变换（反变换）：把一个频率域内的函数变换为时间域内t的函
3、数。,6,2.2 确知信号的性质,怕什瓦尔定理 若f(t)为能量信号，且其傅里叶变换为F()，则有如下关系：（上式说明时域内能量信号的总能量等于频域内各个频率分量能量的连续和）,7,2.2 确知信号的性质,能量谱密度函数与功率谱密度函数 (1)能量谱（能量谱密度）：时间信号的能量随频率分布的关系 (2)功率谱（功率谱密度）：时间信号的功率随频率分布的关系设能量以E表示，功率以P表示，如果在频域内有则称E()为能量谱密度函数（单位为J/Hz），P()为功率谱密度函数（单位为W/Hz）。式中 = 2f。,8,能量谱密度设一个能量信号s(t)的能量为E，则其能量由下式决定：若此信号的频谱密度，为S(
4、f)，则由巴塞伐尔定理得知：上式中|S(f)|2称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的信号能量。上式可以改写为：式中，G(f)|S(f)|2 （J / Hz） 为能量谱密度。G(f)的性质：因s(t)是实函数，故|S(f)|2 是偶函数，,9,功率谱密度令s(t)的截短信号为sT(t)，-T/2 t T/2，则有定义功率谱密度为：得到信号功率：,10,2.2 确知信号的性质,功率（周期）信号的频谱：设s(t)为周期性功率信号，T0为周期，则有式中，0 = 2 / T0 = 2f0 C(jn0)是复数， C(jn0) = |Cn|ejn式中，|Cn| 频率为nf0的分量的振幅； n 频率为nf
5、0的分量的相位。信号s(t)的傅里叶级数表示法：,11,【例2.1】 试求周期性方波的频谱特性。 解：设一周期性方波的周期为T，宽度为，幅度为V 求频谱特性：,12,频谱图,13,【例2.2】试求全波整流后的正弦波的频谱。解：设此信号的表示式为求频谱：信号的傅里叶级数表示式：,14,能量（非周期）信号的频谱密度设一能量信号为s(t)，则其频谱密度为：S()的逆变换为原信号：【例2.3】试求一个矩形脉冲的频谱密度。 解：设此矩形脉冲的表示式为则它的频谱密度就是它的傅里叶变换：,15,【例2.4】试求抽样函数的波形和频谱密度。解：抽样函数的定义是而Sa(t)的频谱密度为：和上例比较可知，Sa(t)
6、的波形和上例中的G()曲线相同，而Sa(t)的频谱密度Sa()的曲线和上例中的g(t)波形相同。【例2.5】单位冲激函数及其频谱密度。 解：单位冲激函数常简称为函数，其定义是： (t)的频谱密度：,16,及其频谱密度的曲线：函数的物理意义： 高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为1的脉冲。用抽样函数Sa(t)表示函数：Sa(t)有如下性质当 k 时，振幅 ， 波形的零点间隔 0，故有,t,17,【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度。 解：设一个余弦波的表示式为f (t) = cos0t，则其频谱密度F()按式(2.2-10)计算，可以写为参照式(2.2-7)，上式可以改写为引入(t)，就能将频谱
7、密度概念推广到功率信号上。,18,2.2.2 时域性质自相关函数能量信号的自相关函数定义：功率信号的自相关函数定义：性质：R()只和 有关，和 t 无关当 = 0时，能量信号的R()等于信号的能量； 功率信号的R()等于信号的平均功率。,19,互相关函数能量信号的互相关函数定义：功率信号的互相关函数定义：性质：R12()只和 有关，和 t 无关； 证：令x = t + ，则,20,2.3 随机信号的性质,2.3.1 随机变量的概率分布随机变量的概念：若某种试验A的随机结果用X表示，则称此X为一个随机变量，并设它的取值为x。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。随机变量的分布
8、函数：定义：FX(x) = P(X x) 性质： P(a X b) + P(X a) = P(X b),P(a X b) = P(X b) P(X a)， P(a X b) = FX(b) FX(a),21,离散随机变量的分布函数：设X的取值为：x1 x2 xi xn，其取值的概率分别为p1, p2, , pi, , pn，则有P (X x1) = 0,P(X xn) = 1 P(X xi) = P(X = x1) + P(X = x2) + + P(X = xi), 性质： FX(- ) = 0 FX(+) = 1 若x1 x2，则有: FX(x1) FX(x2) ，为单调增函数。,22,连
9、续随机变量的分布函数： 当x连续时，由定义分布函数定义 FX(x) = P(X x) 可知， FX(x) 为一连续单调递增函数：,23,2.3.2 随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度pX (x)pX (x)的定义：pX (x)的意义：pX (x)是FX (x)的导数，是FX (x)曲线的斜率能够从pX (x)求出P(a 0, a = 常数概率密度曲线：,26,均匀分布随机变量定义：概率密度式中，a，b为常数概率密度曲线：,27,瑞利(Rayleigh)分布随机变量 定义：概率密度为式中，a 0，为常数。概率密度曲线：,28,2.5 随机变量的数字特征,2.5.1 数学期望定义：对于连续随
10、机变量性质： 若X和Y互相独立，且E(X)和E(Y)存在。,29,2.5.2 方差定义：式中，方差的改写：证：对于离散随机变量，对于连续随机变量，性质：D( C ) = 0 D(X+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X) D(X+Y)=D(X)+D(Y)D(X1 + X2 + + Xn)=D(X1) + D(X2) + + D(Xn),30,2.5.3 矩定义：随机变量X的k阶矩为k阶原点矩：a = 0时的矩：k阶中心矩： 时的矩：性质： 一阶原点矩为数学期望： 二阶中心矩为方差：,31,2.6 随机过程,2.6.1 随机过程的基本概念X(A, t) 事件A的全部可能“实现”的总体；X(Ai
11、, t) 事件A的一个实现，为确定的时间函数；X(A, tk) 在给定时刻tk上的函数值。简记： X(A, t) X(t) X(Ai, t) Xi (t)例：接收机噪声随机过程的数字特征：统计平均值：方差：自相关函数：,32,2.6 随机过程,2.6.1 随机过程的基本概念随机过程的概率分布 ：一维分布函数和一维概率密度函数 ：一维分布函数：F1(x1，t1) = P(t1)x1 一维概率密度函数：f1(x1，t1) =d F1(x1，t1)/dx1 一般情况下用一维分布函数描述随机过程的完整统计特性是极不充分。 n维分布函数和n维概率密度函数 ：定义见P14，公式2.22。n越大，n维分布函
12、数或n维概率密度函数描述随机过程就越充分。,33,2.6.2 平稳随机过程平稳随机过程的定义：统计特性与时间起点无关的随机过程。（又称严格平稳随机过程）广义平稳随机过程的定义：平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。广义平稳随机过程的性质： 严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是，广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。,34,2.6.3 各态历经性“各态历经”的含义： 平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态。各态历经过程的特点：可用时间平均值代替统计平均值，例各态历经过程的统计平均值mX：各态历经过程的自相关函数RX():一个随机过程若具有各态历经性，则它必定
13、是严格平稳随机过程。但是，严格平稳随机过程就不一定具有各态历经性。,35,稳态通信系统的各态历经性： 假设信号和噪声都是各态历经的。一阶原点矩mX = EX(t) 是信号的直流分量；一阶原点矩的平方mX 2 是信号直流分量的归一化功率；二阶原点矩E X 2( t ) 是信号归一化平均功率；二阶原点矩的平方根E X 2(t)1/2 是信号电流或电压的均方根值（有效值）；二阶中心矩X2 是信号交流分量的归一化平均功率;若mX = mX 2 = 0，则X2 = E X 2( t ) ；标准偏离X 是信号交流分量的均方根值； 若mX = 0，则X就是信号的均方根值 。,36,2.6.4 平稳随机过程的
14、自相关函数和功率谱密度自相关函数的性质 功率频谱密度的性质 复习：确知信号的功率谱密度：类似地，平稳随机过程的功率谱密度为：平均功率：,37,自相关函数和功率谱密度的关系对于能量信号f(t)：对于功率信号f(t)：,38,自相关函数和功率谱密度的关系对于功率型的平稳随机过程而言，它的每一实现都是功率信号，其功率谱为：但是，某一实现的功率谱不能作为过程的功率谱，过程的功率谱应看作每一可能实现的功率谱的统计平均。设X(t)的功率谱密度为PX(f)，某一实现的截短函数为XT(t)，且XT(t) FT(f)，于是有可以证明，X(t)的自相关函数与其功率谱密度之间为傅里叶变换关系，即：PX(f) R()
15、。,39,PX(f )的性质：PX(f ) 0, 并且PX(f )是实函数。 PX(f ) PX(-f )，即PX(f )是偶函数。 【例2.7】设有一个二进制数字信号x(t)，如图所示，其振幅为+a或-a；在时间 T 内其符号改变的次数k服从泊松分布 式中，是单位时间内振幅的符号改变的平均次数。试求其相关函数R()和功率谱密度P(f)。,40,解：由图可以看出，乘积x(t)x(t-)只有两种可能取值：a2, 或 -a2。因此，式 可以化简为： R() = a2 a2出现的概率 + (-a2) (-a2)出现的概率式中，“出现的概率”可以按上述泊松分布 P(k)计算。若在 秒内x(t)的符号有
16、偶数次变化，则出现 + a2;若在 秒内x(t)的符号有奇数次变化，则出现 - a2。因此，用 代替泊松分布式中的T，得到,41,由于在泊松分布中 是时间间隔，所以它应该是非负数。所以，在上式中当取负值时，上式应当改写成 将上两式合并，最后得到：其功率谱密度P( f )可以由其自相关函数R()的傅里叶变换求出： P( f )和R()的曲线：,42,2.7 高斯过程（正态随机过程）,定义：一维高斯过程的概率密度：式中，a = EX(t) 为均值 2 = EX(t) - a2 为方差 为标准偏差高斯过程是平稳过程，故其概率密度pX (x, t1)与t1无关，即， pX (x, t1) pX (x)
17、pX (x)的曲线：,43,高斯过程的严格定义：任意n维联合概率密度满足：式中，ak为xk的数学期望（统计平均值）； k为xk的标准偏差； |B|为归一化协方差矩阵的行列式，即|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子； bjk为归一化协方差函数，即,44,n维高斯过程的性质pX (x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)仅由各个随机变量的数学期望ai、标准偏差i和归一化协方差bjk决定，因此它是一个广义平稳随机过程 。若x1, x2, , xn等两两之间互不相关 ，则有当 j k 时，bjk = 0。这时，即，此n维联合概率密度等于各个一维概率密度的乘积。若两个随机变量的
18、互相关函数等于零，则称为两者互不相关；若两个随机变量的二维联合概率密度等于其一维概率密度之积，则称为两者互相独立。互不相关的两个随机变量不一定互相独立。互相独立的两个随机变量则一定互不相关。高斯过程的随机变量之间既互不相关，又互相独立。,45,正态概率密度的性质p(x)对称于直线 x = a，即有：p(x)在区间(-, a)内单调上升，在区间(a, )内单调下降，并且在点a处达到其极大值 当x - 或 x + 时，p(x) 0。 若a = 0, = 1，则称这种分布为标准化正态分布：,46,正态分布函数将正态概率密度函数的积分定义为正态分布函数 ：式中，(x)称为概率积分函数 ：此积分不易计算
19、，通常用查表方法计算。,47,用误差函数表示正态分布误差函数定义：补误差函数定义： 正态分布表示法：,48,频率近似为fc,2.8 窄带随机过程,2.8.1 窄带随机过程的基本概念何谓窄带？ 设随机过程的频带宽度为f，中心频率为fc。若f fc，则称此随机过程为窄带随机过程。 窄带随机过程的波形和表示式波形和频谱：,49,表示式式中，aX(t) 窄带随机过程的随机包络；X(t) 窄带随机过程的随机相位； 0 正弦波的角频率。 上式可以改写为：式中， X (t)的同相分量 X (t)的正交分量,50,2.8.2 窄带随机过程的性质Xc(t)和Xs(t)的统计特性：数学期望EX(t) = EXc(
20、t) cosct Xs(t) sinct =EXc(t) cosct EXs(t) sinct如果X(t)是平稳的，且EX(t) = 0EXc(t) = 0，EXs(t) = 0,51,2.8.2 窄带随机过程的性质Xc(t)和Xs(t)的统计特性：自相关函数 RX(t，t +) = EX(t)X(t +) = EXc(t) cosct Xs(t) sinct Xc(t +) cosc(t +)Xs(t +) sinc(t +) = Rc(t，t +)cosct cosc(t +) Rcs(t，t +) cosct sinc(t +) Rsc(t，t +) sinctcosc(t +) + R
21、s(t，t +)sinctsinc(t +)X(t)是平稳的，则上式的右边与时间t无关，令t = 0，则RX() = Rc() coscRcs() sinc同理，令t = /2c，得RX() = Rs() cosc+ Rsc() sinc可以得到，如果X(t)是平稳的，则Xc(t) Xs(t)也是宽平稳的，且Rc() = Rs()Rcs() = Rsc(),52,2.8.2 窄带随机过程的性质Xc(t)和Xs(t)的统计特性：自相关函数 根据互相关函数的性质，有Rcs() = Rsc()Rsc() = Rsc()，即Rsc()为奇函数，Rsc(0) = 0同理可证明：Rcs() = 0即：RX
22、(0) = Rc(0) = Rs(0)，继而可推出：X2 =c2=s2又 t = t1 = 0时，X(t) =Xc(t1) t = t2 = /2c，X(t) =Xs(t2) Xc(t1)，Xs(t2)是高斯随机变量，可以证明Xc(t)，Xs(t)也是高斯过程,53,2.8.2 窄带随机过程的性质Xc(t)和Xs(t)的统计特性：Xc(t)，Xs(t)的概率密度函数,54,2.8.2 窄带随机过程的性质Xc(t)和Xs(t)的统计特性：设X(t)是一个均值为0的平稳窄带高斯过程，则 Xc(t)和Xs(t)也是高斯过程； Xc(t)和Xs(t) 的方差相同，且等于X(t)的方差；在同一时刻上得到
23、的Xc和Xs是不相关的和统计独立的。,55,2.8.2 窄带随机过程的性质aX(t)和X(t)的统计特性：aX(t)和X(t)的概率密度函数aX(t),X(t),Xc(t),Xs(t)在某一时刻的随机变量用aX,X,Xc,Xs来表示，根据概率论随机变量变换:f(aX，X) = f(Xc，Xs) |J| （f(aX，X)为aX和X的联合概率密度函数，|J|为雅可比变换行列式） Xc = aXcosX；Xs = aXsinX,56,2.8.2 窄带随机过程的性质aX(t)和X(t)的统计特性：f(aX，X) = aXf(Xc，Xs)根据概率论中的边际分布知识，可求得f(aX) 和f(X) 窄带平稳
24、随机过程包络aX(t)的概率密度等于：称该函数的分布为瑞利分布。 窄带平稳随机过程相位X(t)的概率密度等于：,57,2.8.3 非窄带随机过程的性质理想的宽带过程白噪声 功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，称之为白噪声。即：PX() = n0/2(n0为常数，W/Hz)；自相关函数为：R() = (n0/2)()特点：自相关函数仅在= 0时不为0，此时才相关，在任意两个时刻的随机变量都是不相关的。,58,2.8.3 非窄带随机过程的性质带限白噪声 白噪声被限制在(-f0，f0)之内，在该频率区上有PX() = n0/2，在该区间外PX() = 0，称为带限白噪声。带限白噪声的功率谱密度
25、：设白噪声的频带限制在(-fH, fH)之间，则有 Pn(f) = n0 / 2,-fH f fH= 0,其他处其自相关函数为：曲线：,59,2.9 正弦波加窄带高斯过程,通信系统中的正弦波加窄带高斯过程：正弦波加噪声的表示式：式中， A 正弦波的确知振幅； 0 正弦波的角频率； 正弦波的随机相位； n(t) 窄带高斯噪声 表示为n(t) =x(t) cosct y(t) sinct。,60,2.9 正弦波加窄带高斯过程,r(t)的包络函数为 令zc(t) = Acos+ x(t)，zs(t) = Asin+ y(t)，如果已给定，可以得到：zc ，zs都是相互独立的高斯随机变量；Ezc= A
26、cos，Ezs= Asin；（注意：En(t)= 0）Dzc= Dzs=2n(t)的方差zc ，zs的联合概率密度函数为,61,2.9 正弦波加窄带高斯过程,r(t)改写成r(t) = zcos(ct + )的形式，其包络随机变量为z = (zc+ zs)1/2z0其相位随机变量为= arctan zs / zc于是：zc = zcos，zs = zsinz和的联合密度函数为：r (t )的包络的概率密度 ：式中， 2 n(t)的方差； I0() 零阶修正贝塞尔函数。pr(x) 称为广义瑞利分布，或称莱斯(Rice)分布。当A = 0时， pr(x) 变成瑞利概率密度。,62,r (t )的相
27、位的条件概率密度 ：式中， r( t )的相位，包括正弦波的相位 和噪声的相位 pr( / ) 给定 的条件下， r( t )的相位的条件概率密度r (t )的相位的概率密度:当 = 0时，式中，,63,莱斯分布的曲线当A/ = 0时，包络瑞利分布相位均匀分布当A/很大时，包络正态分布相位冲激函数,64,2.10 信号通过线性系统,2.10.1 线性系统的基本概念线性系统的特性有一对输入端和一对输出端无源无记忆非时变有因果关系：先有输入、后有输出有线性关系：满足叠加原理若当输入为xi(t)时，输出为yi(t)，则当输入为 时，输出为：式中，a1和a2均为任意常数。,65,线性系统的示意图2.1
28、0.2 确知信号通过线性系统时域分析法设h(t) 系统的冲激响应 x(t) 输入信号波形 y(t) 输出信号波形则有：,对于物理可实现系统：,66,频域分析法设：输入为能量信号，令 x( t ) 输入能量信号H( f ) h( t )的傅里叶变换 X( f ) x( t )的傅里叶变换 y( t ) 输出信号 则此系统的输出信号y( t )的频谱密度Y( f )为：由Y( f )的逆傅里叶变换可以求出y( t )：,67,2.10.3 随机信号通过线性系统物理可实现线性系统，若输入为确知信号，则有 若输入为平稳随机信号X(t)，则输出Y(t)为输出Y(t)的数学期望EY(t)由于已假设输入是平
29、稳随机过程，故输出的数学期望：,EX(t-) = EX(t) = k，k = 常数。,68,输出Y(t)的自相关函数由自相关函数定义，有由X(t)的平稳性知，上式中的数学期望与t1无关，故有由于Y(t)的数学期望和自相关函数都和t1无关，故Y(t)是广义平稳随机过程。,69,输出Y(t)的功率谱密度PY( f ) ：由于功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，故有令 = +u - v代入上式，得到输出信号的功率谱密度等于输入信号的功率谱密度 乘以 |H( f )|2。,70,【例2.11】已知一个白噪声的双边功率谱密度为n0/2。试求它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声功率。 解：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成： 所以有 输出信号的功率谱密度为 输出信号的自相关函数 输出噪声功率： PY RY(0) = k2 n0 fH,
