1、一年内有多少天下雨,马尔柯夫过程模型,马尔柯夫过程介绍一个典型的问题马尔柯夫过程的理论马尔柯夫理论的应用结束,马尔柯夫过程介绍,事物的发展、变化有必然的，也有偶然的。例如：天上的云由水蒸发而形成，这是必然的；而地上哪一天下雨，这有偶然性。偶然性事件在数学中称为随机事件。偶然事件可能性的大小在数学中称为概率。我们若仔细观察就会发现：许多事物未来的发展或演变，往往受该事物现在的状况所支配，历史只是通过现在的状况来影响未来。如轴承的磨损情况、各竞争企业的市场占有率等等，一个未来完全由现在的状态所确定的过程称为无后效的。,马尔柯夫过程介绍,在本世纪初（1907年）俄国数学家马尔柯夫经过多次研究实验后发
2、现：在某些事物的概率变化过程中，第n次试验的结果，常常由第n-1次试验的结果所决定。这是一种无后效的随机过程。由于马尔柯夫首先对此种过程作有系统的研究，所以，以后在学术研究上把这种无后效的随机过程即称为马尔柯夫过程。下面是马尔柯夫过程的一个典型例子。,一个典型的问题,问题 某个沿海城市的天气变化有如下规律：如果今天下雨明天一定是晴天；如果今天是晴天则明天有50%的可能下雨。问该城市一年之中平均有多少天下雨？分析 按照问题的提法，可以认为该城市的天气分为晴天和下雨两大类。晴天和下雨都是随机出现的事件，后一天的天气情况完全由前一天决定。要求的是一年中平均下雨的天数，也就是一天中下雨的概率（可能性）
3、。,一个典型的问题,数学描述 数学模型必须建立在对问题的数学描述的基础上。 为了方便和明确起见，我们设作为开始的某一天晴天和下雨的概率(可能性)分别为q0和y0 ，后一天下雨和晴天的概率分别为q1和y1 。以此类推，后 n 天下雨和晴天的可能性分别为qn和yn 。 按前面的分析，我们需要求出 y lim nyn,一个典型的问题,模型的建立 由于后一天的天气完全取决于前一天，因此可以得到如下的关系： q k+1 = f (qk, yk); (1a) y k+1 = g (qk, yk). (1b)其中函数 f 和 g 的具体形式待定。 由于天气不是晴天就是下雨，两者的可能性之和为 1 ，因此有限
4、制条件： qk+ yk= 1， f (qk, yk) + g (qk, yk) = 1 (2),一个典型的问题,按照今天下雨明天一定是晴天；如果今天是晴天则明天有50%的可能下雨的规律，由上面的限制条件不难得到： 1 = f (0, 1)， 0.5 = f (1, 0) ； (3a) 0 = g (0, 1)， 0.5 = g (1, 0) 。 (3b)关系式(1)、(2)和(3)给出了这个问题的一般模型 。然而，满足上述条件的函数 f 和 g 很多，我们要进行计算，就必须确定它们的具体形式。怎样才能把得到的一般模型具体化呢？,一个典型的问题,模型的具体化 在满足了问题的所有条件之后，如果得到
5、的模型还不能具体确定，通常取最简单的可能方案。如果成功，问题就简单地解决了；如果失败，也可以在此基础上分析原因，进行修正。 在本题的情况下，最简单的是假定 f 和 g 都是自变量的线性函数，即 f = a q + b y , g = c q + d y (4),一个典型的问题,利用条件（3），我们容易求出系数 a = 0.5, b = 0, c = 0.5 d = 1.于是，（4）式成为 f = 0.5 q + y , g = 0.5 q 也就是 q k+1 = 0.5 qk+ yk ; (5a) y k+1 = 0.5 qk . (5b)上式给出了天气问题的一个简化的具体模型。,一个典型的问
6、题,求解 建立了具体的模型，下一步工作就是进行求解。 为了简化求解过程的表述，我们把公式（5）改写成矩阵形式，见右边：,一个典型的问题,右边的矩阵把前一天的概率转变为后一天的概率，称为概率转移矩阵，简称概率矩阵，记为 P。利用概率矩阵 P，我们可以递推出第n天下雨和晴天的概率。怎么求出 n 时的情况呢？,一个典型的问题,马克思告诉我们：事物是客观的，客观事物是有规律的。现在让我们通过实践来探寻这个规律吧？从出发点开始，我们先由（5）式递推出前三天的概率。,一个典型的问题,你看出其中的规律来了吗？注意比较后 k 天与出发点的概率关系，联结两者的矩阵称为 k 次概率矩阵。如果看不出，别着急，我们再
7、算三天。现在，你看出其中的规律来了吧！不难发现，随着天数 k 的增加，k 次概率矩阵中各列之间的差距越来越小。我们猜想当幂次趋于无穷大时，各列将会变得相同。即第一行变成2/3，第二行变成1/3。,一个典型的问题,根据上面猜想的规律，我们容易算出当天数 k 趋于无穷大时，得到的天气情况概率为q = 2/3，y =1/3 这个结果与出发点的天气情况无关！想一想，它说明什么？,一个典型的问题,结果的解释 上式表明无论最初的天气如何，足够长时间以后，下雨或者晴天的概率将会变成确定的数值 。按照得出的结果：y = 1/3说明该城市一年之中平均有三分之一的时间在下雨，大约122天。,马尔柯夫的理论,马尔柯
8、夫对这类过程进行了严格地研究，得到如下的理论结果：定义1. 概率向量任意一个向量，如果它内部的各个元素为非负数，且总和等于1，则此向量称为概率向量。如 u = (0.28, 0.72 ) 即为概率向量。定义2. 概率矩阵一个方矩阵中，如果其各列都是概率向量，则此方阵称为概率矩阵。,马尔柯夫的理论,定理1. 如果 A 和 B 都是概率矩阵，则 A B 乘积亦为概率矩阵，同理 An 亦为概率矩阵。定理2.设有概率矩阵 A，则当 n 趋于无穷大时，An 趋于一个固定概率矩阵 P，即矩阵中每一个列向量都相等的概率矩阵。并且P 中的列向量在 A 作用下保持不变。定理3.设 T 为任一概率向量 ，P 为任
9、一固定概率矩阵。则 P T 为固定概率矩阵中的任一列向量。,马尔柯夫理论的应用,下面，我们应用马尔柯夫的理论来处理一个实际问题。问题 若某汽车出租公司在甲（旅店）、乙（机场）、丙（旅店）三个地点附近设有停车场。顾客可由甲、乙、丙三处租车，汽车送走旅客后，也可以回到甲、乙、丙三处候客。根据过去的统计资料，汽车在三处的往返关系的概率如下：,马尔柯夫理论的应用,左边的表格给出了汽车由行中位置出发，回到列中位置的概率。若该公司想选择一处附设汽车保养场，设于何处较好？,马尔柯夫理论的应用,分析 从上面的概率矩阵中可以知道：从甲处开出的汽车有80%回到甲处，有20%回到乙处，没有回到丙处的。其他概率值的含义也是这样。现在要决定汽车保养场应设于何处较好，就是要知道该公司在经过长期经营以后，集结在何处的汽车较多？这是一个求固定概率向量，也即求固定概率矩阵的问题。请你用前面的知识和方法来解决。试一试吧，别放过每一个锻炼自己的机会！,一个典型的问题,一年内有多少天下雨,谢谢大家,
