1、厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,第八章 二次型Quadratic Form,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,二次型与相伴对称矩阵_1,定义 数域K上的n元二次齐次多项式称为K上的n元二次型,简称二次型.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,8.1 目的与要求,掌握二次型与相伴矩阵的一一对应关系二次型的非退化线性替换与对称矩阵的合同关系二次型与对称矩阵的标准型,厦门大学数
2、学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,二次型与相伴对称矩阵_2,定义这里A=AKnn,XKn1.A称为f 的相伴矩阵,f 称为对称阵A的相伴二次型.数域K上n元二次型 数域K上n阶对称矩阵.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,例子,例1 判断下列多元多项式是否为二次型:例2 求下列二次型的相伴矩阵:例3 求下列矩阵的相伴二次型:,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,是否任何二次型都可”变成”只含平方项?(标准型) 是否任何对称阵都可”变成”对角阵?,非退化线性替换,合
3、同,问题,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,二次型的非退化线性替换与矩阵的合同,设 f (x1,xn) = XAX是K上n元二次型, 做非退化线性替换X=CY, 其中C是K上的n阶可逆阵, 则 f ( x1,xn ) = YCACY = g( y1,yn ).定义: A , BKnn , B与 A称为合同的,如果存在n阶可逆阵C, 使B = CAC.注 1: K上n阶方阵的合同关系是等价关系.注 2: 若A与B合同且A= A, 则B=B.注 3: 若A与B合同且A= -A, 则B= - B.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http
4、:/59.77.1.116,例子,例4 讨论以下运算的含义PijAPijPi(c)A Pi(c)Tij(c)A Tij(c)注 PijAPij不能调换对角线和非对角线元素, 即对角线元素只能调换到对角线上，非对角线元素只能调换到非对角线上。只有Tij(c)A Tij(c)才可能将0对角元变成非0。,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,二次型的标准型,引理:设0A=AKnn,则必存在可逆阵C,使CAC的第(1,1)元素不等于0.定理:设A=AKnn,则存在可逆阵CKnn,使CAC为对角阵.定理:设 f (x1xn) 是K上n元二次型, 则存在非退化线
5、性替换X=CY,使 注 以上定理可直接从线性替换证明(选做),厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,例子,例5: 复数域上任一n阶对称方阵A, 必存在n阶方阵矩阵T, 使得A=TT且r (T) = r (A).例6:设A是反对称阵, 即A= -ACnn, 则A必合同于且若r(A)=2r, 则有r个S.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,例子,例7: 若A是实反对称阵, 则A的行列式总是非负实数. 例8: 元素全是整数的反对称矩阵的行列式一定是某个整数的平方.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP:
6、 http:/59.77.1.116,以上定理可直接从线性替换证明(选做)如何化二次型为标准型?标准型唯一吗?标准型的分类(与数域的关系)?,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,作业,作业: p272 1, 3, 4思考: p272 2选做: 补充1: 如果A是n阶对称阵, 且对任意一个n维向量X, 都有XAX=0, 证明A=0.补充2: 证明A是n阶反对称阵的充要条件是对任意一个n维向量X, 都有XAX=0.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,8.2 目的与要求,掌握二次型的化简方法配方法初等变换法
7、求相应的非退化线性替换掌握对称矩阵合同于对角阵的计算, 并求出相应的可逆矩阵C,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,二次型的化简,二次型的化简方法: - 配方法 - 初等变换法- 相应非退化线性替换,对A同时施行相同的列变换,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,例子,例1:化下列二次型为标准型,并写出所用的可逆变换矩阵. 1) 2) 3),厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,例子,注 令得该结论是错误的! 因(*)是退化的线性替换.,厦门大学数学科学学院网址
8、:http:/IP: http:/59.77.1.116,8.3 目的与要求,掌握二次型与对称矩阵在C和R上的规范标准型熟练掌握不同数域上两矩阵合同的充要条件及全系不变量掌握不同数域上二次型的规范标准型及相应的非退化线性替换的计算,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,C上二次型的规范型_1,定理: A=ACnn且r(A)=r, 则存在可逆阵CCnn, 使得右端矩阵称为A的规范标准型.定理: f (x1,xn) 是C上n元二次型, 则必存在非退化线性替换X = CY, 使,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.11
9、6,C上二次型的规范型_2,注1 C上对称矩阵A合同Br(A)=r(B). 即秩是复数域上对称矩阵合同的全系不变量.注2 设A为C上对称阵, 则 当|A|0时, A*, A1均与A合同; 当|A|0时, 则A*未必与A合同.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,R上二次型的规范型_1,定理: f (x1xn) 是R上n元二次型, 则必存在非退化线性替换使定理: A=ARnn,则存在可逆阵CRnn,使得其中p + q = r( A ).,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,惯性定理_1,惯性定理:设f (
10、x1xn) 是R上n元二次型,在非退化线性替换X = CY, X = DZ下, 其中 则必有p = k.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,惯性定理_2,定义: f (x1xn) 是R上n元二次型,若能经过非退化线性替换化为 则称r是f (x1xn)的秩, p为f (x1xn)的正惯性指数, q = rp称为f (x1xn)的负惯性指数,s = pq称为f (x1xn)的符号差.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,惯性定理_3,定义:设A=ARnn,存在可逆阵C Rnn,使则称 p 为A的正惯性指数
11、, q 为A的负惯性指数, s = pq 为A的符号差.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,作业,作业: p278 1(3), 2(3) p281 1, 3p288 6 (提示先将二次型表示成矩阵形式)补充: 求下列二次型为标准型选做: p289 11, 3,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,R上二次型的规范型_2,定理: A=A, B=BRnn ，则: A合同于B A与B有相同的秩与符号差 A与B有相同的正惯性指数和负惯性指数 A与B有相同的正惯性指数和秩 A与B有相同的符号差和秩,厦门大学数学科
12、学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,例子,例1:设A是对角阵, 试分别在复数和实数域上讨论A合同于单位矩阵的充要条件.例2:设 f 是实二次型, 其相伴矩阵为A, 若|A| 0, 则称 f (x1 , xn)是正定二次型.(2) f (a1 , an)0,则称 f (x1 , xn)是半正定二次型.(3) f (a1 , an) 0, 且存在(b1,bn)0, 使f (b1,bn)0.注3: n阶对角阵A正定 A的对角元全为正数. 注4: 块对角阵A正定 A的每个对角块正定.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,正定
13、二次型与正定矩阵_5,定义: A是 n 阶矩阵, 称是 A的 k 阶子式; 若 , 则称其为A的k阶主子式; 若 , 则称其为A的k阶顺序主子式.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,正定二次型与正定矩阵_6,注: 2阶方阵A有2个顺序主子式和3个主子式;其中2个1阶主子式, 1个2阶主子式. 3阶方阵A有3个顺序主子式和7个主子式; 其中3个1阶主子式, 3个2阶主子式, 1个3阶主子式.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,正定二次型与正定矩阵_7,引理: 若A正定, 则| A| 0.定理: n 阶
14、实对称矩阵 A正定A的所有顺序主子式全大于0.注: 此定理不能推广到半正定矩阵. 反例引理: 设A, B是实矩阵, 若A, B合同, 则|A|与|B|同号.引理: 设实矩阵A, B合同, 又若A正定, 则B必正定.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,正定二次型与正定矩阵_8,定理: A =ARnn, 则下列条件等价: (1) A是正定阵. (2) 对任意0XRn1 , 有XAX 0. (3) 存在可逆阵PRnn, 使得PAP = In. (4) 存在可逆阵PRnn, 使得A = PP. (5) A的正惯性指数p = n. (6) A的所有主子式
15、0. (7) A的所有顺序主子式 0. (8) A的所有特征值 0. (下章证明),厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,作业,作业: p285 1(1), 2(2), 3, 5, 9选做: p289 10.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,例子,例2: 求a的取值范围, 使二次型为正定二次型.例3: 试分别在R上和C上判断下列矩阵是否合同? 相似?,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,例子,例4: 设n2, A是n阶实对称正定矩阵, 问在C上A和A是否合
16、同? 在R上呢? 例5: 证明对任意mn阶实矩阵A, 必存在 a 使得为正定阵.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,正定二次型与正定矩阵_9,定理: A=ARnn,则下列条件等价: (1) A是正定阵. (2) A是可逆的半正定阵. (3) A的所有顺序主子式的余子式全 0. (4) 存在主对角元素为1的上三角阵P,使 得A=PDP,其中D是正定对角阵. (5) 存在主对角元素为正的上三角阵B,使 得A=BB.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,正定二次型与正定矩阵_10,命题: (1) 设A,B是
17、正定阵,则A+B为正定阵. (2) 设A是正定阵,k0, 则kA是正定阵. (3) 设A,B是正定阵,且AB = BA,则AB为正定阵(下章证). (4) 设A是正定阵,则A1,A*为正定阵. (5) 设A是正定阵,则A中绝对值最大的元素必在主对角线上.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,例子,例6:请直接判断下列矩阵是否正定:,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,半正定二次型,引理: 若A半正定，则|A|0.定理: 设A=ARnn,则下列条件等价 (1) A为半正定二次型. (2) A的正惯性指数
18、= A的秩. (3) 对 有 是正定. (4) A=BB,其中BRnn,且r(B) = r. (5) A的所有主子式 0 . (6) A的所有特征值0.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,例子,例7: 设A是n阶实对称矩阵, 则必存在正实数t, 使得tI+A为正定阵.例8: 设A, B是实对称阵, 且B正定, BA的特征值全大于0, 证明: A必正定.例9: 设n阶矩阵A正定, 证明 是负定的. 其中y是n维列向量. 例10: 设A=(aij)nn, B=(bij) nn正定, 证明矩阵C=(aij bij) nn是正定的.,厦门大学数学科学学院
19、网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,Hermite型矩阵_1,定义:复数域C上的n元二次齐次函数其中 ,称为C上n元Hermite型.注: Hermite型是二次型的推广.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,Hermite型矩阵_2,n元Hermite型这里 . A称为 f 的相伴矩阵, f 称为Hermite矩阵A的相伴二次型.C上n元Hermite型 C上n阶Hermite阵,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,Hermite型矩阵_3,设 是C上n元Hermite型,
20、做非退化线性替换X=CY, 其中C是C上的n阶可逆阵, 则 注: 矩阵 仍是Hermite阵.定义: A, B是两个Hermite阵, A与B称为复相合的, 如果存在n阶可逆复矩阵C, 使 .注: C上n阶方阵的复相合关系是等价关系.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,Hermite型矩阵_4,定理:设A是一个Hermite阵, 则必存在一个可逆阵CCnn, 使 为对角阵且主对角线元素是实数.定理:设 f (x1, , xn) 是Hermite型, 则存在非退化线性替换X=CY, 使 其中 是实数.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP:
21、http:/59.77.1.116,Hermite型矩阵_5,惯性定理:设f (x1xn) 是Hermite型,在非退化线性替换X = CY, X = DZ下, 则必有p = k.定理中称r为f (x1xn)的秩, p为f (x1xn)的正惯性指数, q = rp称为f (x1xn)的负惯性指数, s = pq称为f (x1xn)的符号差.,厦门大学数学科学学院网址:http:/IP: http:/59.77.1.116,Hermite型矩阵_6,定义:称Hermite型f (x1xn)为正定的，若对任一组不全为0的复数c1, c2, , cn均有 f (c1, c2, , cn)0.正定Hermite型的相伴矩阵称为正定Hermite矩阵. 定理:一个n阶Hermite矩阵正定的充分必要条件是它的n个顺序主子式全大于0.,
