1、二階方陣與二階行列式 石厚高 臺北市立建國高中 (退休 ) n 階矩陣 A = ija ， .011a 。 Chio, Dodgson 與友人證出 211 Baa nij , 其中 B 為n-1 階方陣， 是 由 A 中刪去第行第列後，每個 ijijij aa aaa1111由 所取代 （取材自 Joanthan S.Golan： The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know） 他舉的例子是 ： 1447503162718953414331632171412131812158416831782154637281567
2、84321作個三階的 試試 3136 638731872164315421887654321 我讀高中時看到一種參考書 （書不見了作者好像是范際平） 有個公式 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa111113131112121113131113313311123132111212111321231112212211211321333323122322211131211. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 和 Chio,Dodgson 的一樣，一個用二階行列式來表示，一個用展開以後的結果 ， 不知道誰先誰後 ，應該是前者 。這個公式很容易證明，只要把行列式的行 或列的 n 個元經過行列式的基本運算得到 n-1 個 或若干個 ，就可以 按
4、該行或列展開成 階數 較 n 為 小的 行列式。如果 111a 就要把另一行或列之諸元乘以 11a 以被第一行或列在作基本運算時消去該元，所以出現了 11a 的 n-2 次 冪 。這個公式用起來並不方便，所以只是 看過印象並不深刻，任教多年亦未聽到任何同事 強調。 用 教中學生 行列式的歲月是一段夢魘，有經驗有理念 的數學教師都把傳統教法再講一遍，或先講傳統 教法再說一遍 ，於是學生叫好教師受用皆大 歡喜。傳統教法當然是從定義開始奇排列偶排列前者冠以負號後者冠以正 號是為行列式之項 按某行或列展開，各元乘以該元之餘因式再求和是為行列式之值 。這裡要說明學子 作錯 往往 是 把餘因式 和子行列式
5、弄混，是正負號的問題； Dodgson 公式 最值得稱道之處就是沒有正負號的問題。 二階行列式何以重要？因為行列式求值時最後都要用到二階行列式。 二階方陣也 同樣受 到 青睞。 抽象代數 、 線性代數與群論等，都是一大堆的二階方陣 。為甚麼？因為他們有用。 旋轉要用 c o ss in s inc o s yxyx 中學生都知道。 矩陣的運算中 algorithm 都是一樣的，在舉例時當然用二階作最方便，例如在介紹矩陣數學與傳統數學大相逕庭之處有： 乘法不可交換 平方根不止二個 乘法對加法有分配性 乘法有結合性 沒有消去律 乘積為零時，其中的因式至少有一個為零 數學東華本年版頁有個例題 對任一
6、 10 010100100xxxxx ，恒有 （）， 給 x 任一不為的實數，即可得單位 方陣之一平方根 02120 ，03130 ，04140 所以，單位方陣之平方根有無限個。 David.J. Winter 著 MATRIX ALGEBRA是矩陣大全，其中 1 5 節專論階方陣，習題 第 ： 設 2012，求矩陣，使 。 習題沒有附答案，我作了一遍覺 得很適合中學生 ，把解答 寫在這裡： 令 A 得 222dbccdac bdabbcaAdc ba 2012故得 2012 22 dbccdacbdabbca ， 這一組元次聯立方程式，應有組解 ，只有二 組 滿足 ，它們是： ， 這一題不算
7、太繁，因為數據設計得好 ，有興趣的讀者不妨用其它的數據試試，有的不能解，有的不知如何著手，不是每個階方陣都有平方根的。 George Mackiw 在民國 年三月 Mathematical Gazette 的二階特殊線 性 群是例題之原 The linear group SL(2,3) as a source of examples 一文中 用二階方陣舉了很多例子， 都涉及群，不用群的語言可以介紹的很少，勉強找一個 ： 設集合 1,1,03 Z 之運算為模之加法與乘法，集合 |101 3ZaaT 每個元的秩都是，也就是說它們的次方都是單位方陣（ T 是 SL(2,3)的子 群）。 北京大學出版
8、社的黎景輝與藍以中合著 二階矩陣群的表示與自守形式二月版，全書頁，專事討論二階矩陣群。 作者簡介裡說：以李群無限維表示理論的觀點來研究自守形式理論是目前數論、代數、調和分析和幾何等學科交滙點上的一門新興的活躍的數學領域，它並且將是數學進展 的一個重要方向全書共分六章，主要內容包括在代數數域 2x2 矩陣群在無限維的 Hilbert 空間上的表示興自守形式 。 本書可作為高等學校數學專業研究究生教材。 本書討論率皆簡約符號（ abbreviation notation） 無適當題材可以舉例。 二階方陣這麼多這麼熱鬧，所以就顯得重要了。詩曰： 方陣無限種， 階階都用到； 二階常引用， 看起來熱鬧。 是很妙的數字， dBASE 發行之始 就是 dBASE2 沒有 dBASE1； 如果是dBASE1 大家都不買。 我看過的 多位知名女士寫下她們的求知過程和經驗 ，談及讀書時代 轟轟烈烈的 戀情，男主角建中人只有一次， 其它 幾乎都是師大附中。我一直為建中人抱屈 ，為麼她們不喜歡第一志願的建中人，反而要去喜 歡 第二志願的師大附中學生 ?後來學生家長告訢我，因為建中人不靈活女生不喜歡；社會人士會起 疑，老師為甚麼不把他們教得靈活點？哈哈！靈活是無法教的。
