1、 四重五步学习法 让孩子终生受益的好方法 1 让更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666 分式方程 的解法及 应用 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： 分式方程的概念以及解法； 分式方程产生增根的原因； 分式方程的应用题。 重点难点： 重点 ：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想， 用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系 难点 ：检验分式方程解的原因， 实际问题中数量关系的分析 学习策略： 经历“实际问题 分式方程 整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养数学的应用意
2、 识。 二、学习与应用 （一） 什么叫方程？什么叫方程的解？ 答：含有 的 叫做方程 使方程两边相等的 的值，叫做方程的解 （二） 分式的基本性质 ： 分式的分子与分母 同 乘（或除以）同一个 ，分式的值不变 ， 这个性质叫做分式的基本性质 用式子表示是： MB MABAMB MABA , （其中 M 是不等于 0 的整式） “凡事预则立， 不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。 我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。 知识回顾 复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ 四重五步学习法 让孩子终生受益的好方法 2 让更多的孩子得到更好
3、的教育 400-661-6666 （三） 等式的基本性质：等式的两边都乘（或除以）同一个数或 （除 数不能为 0），所得的结果仍是等式。 （四） 解下列方程： （ 1） 9 3x 5x 5； （ 2）5 222 1 yyy知识点 一：分式方程的定义 里含有未知数的方程叫 分式方程。 要点诠释： （ 1） 分式方程的三个重要特征：是 ；含有 ；分母里含有 。 （ 2） 分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有 （ 不是一般的字母系数 ） ，分母中含有未知数的方程是 ，不含有未 知数的方程是 方程，如：关于 x 的方程 xx 21 和 12 723 xx 都是 方程，而关于 x 的方程 xxa
4、 21和 dcbx 1 都是 方程。 知识点 二：分式方程的解法 （一） 解分式方程的 基 本思想 把分式方程化为 方程，具体做法是 “去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 （二） 解分式方程的一般方法和步骤 （ 1） ，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 （ 2） 解这个 方程。 （ 3） ：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的 。 注： 分式方程必须 ；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，知识要点 预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点
5、内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。 请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者 其它补充填在右栏。 详细内容请参看网校资 源 ID： #tbjx5#233542 四重五步学习法 让孩子终生受益的好方法 3 让更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666 但增根不适合原方程，可使原方程的 为零。 （三） 增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无 意义 ，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着 不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种 限制 取消了，换言之，方程中未 知数的值范围 了，如果
6、转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。 知识点 三：分式方程的应用 分式方程的应用主要就是 ，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。 一般地， 列分式方程 （ 组 ） 解应用题的一般步骤 ： （ 1） 题意； （ 2） 设 ； （ 3） 根据题意找 关系，列出分式方程； （ 4） 解分式方程，并验根； （ 5） 检验分式方程的根是否符合题意，并根据检 验结果写出答案 知识 点四：常见的实际问题中等量关系 （一） 工程问题 （ 1 ） 工作量 工 作 时 间 ， _ _ _ _工 作 效 率 工 作
7、 时 间，工 作 量_ _ _ _ _ 工 作 效 率； （ 2） 完成某项任务的各工作量的和总工作量 1 （二） 营销问题 （ 1） 商品利润商品 一商品 ； （ 2） 100%_ _ _ _ _商 品 利 润 率 _ _ _ _ _ _； （ 3） 商品销售额商品销售价商品销售量； （ 4） 商品的销售利润 （ 销售价一成本价 ） （三） 行程问题 （ 1） 路程 时间， _ _ _ _ _速 度 时 间， 路 程_ _ _ _ _ 速 度； 四重五步学习法 让孩子终生受益的好方法 4 让更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666 （ 2） 在航行问题中，其中数量关系是： 顺水速度
8、 水流速度，逆水速度静水速度 ； （ 3） 航空问题类似于航行问题 类型一： 分式方程的定义 例 1 下列各式中，是分式方程的是（ ） A 5xy B 2253x y z C 1x D. 05yx 思路点拨： 要逐个检查是否符合分式方程的三个特征： A 5xy因为方程里没有 ，所以 分式方程； B 2253x y z 虽然有分母，但是分母里没有 ，所以 分式方程； C 1x 没有 ，所以 不是 ，它只是一个 ； D 05yx 具备分式方程的三个特征，是 。 总结升华： 举一反三： 【变式】 方程 32xxab 中， x 为未知量， a， b 为已知数，且 ab ，则这个方程（ ） A 分式方程
9、 B 一元一次方程 C 二元一次方程 D 三元一次方程 类型 二 ： 分式方程解的概念 例 2 请选择一组 ,ab的值，写出一个关于 x 的形如 bxa 2的分式方程，使它的解 是 x 0 这样的分式方程可以是 . 思路点拨： 分式方程是 中含有 的 ，能够使分式方程经典例题 -自主学习 认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三 。若有其它补充可填在右栏空白处。 更多精彩请参看网校资源 ID： #jdlt0#233542 四重五步学习法 让孩子终生受益的好方法 5 让更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666 成立的未知数的值 叫分式方程的 . 总结
10、升华： 举一反三： 【变式】 在 0,x 1,x 1x 中，哪个是分式方程 3 01xxx 的解，为什么？ 类型 三 ： 分式方程的解法 例 3 (2011 北京房山一模 )解方程： xx x 3 1132 思路点拨： 在解分式方程的时候，要把分式方程变为 方程。原方程的两边都要乘 ，方程等号右边的常数 1 也必须乘 。在找最简公分母的时候有时需要先把分式方程变形。 总结升华： 四重五步学习法 让孩子终生受益的好方法 6 让更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666 例 4. 已知分式方程 112 x ax的解为非负数，求 a 的取值范围 ? 思路点拨： 解这个分式方程即可，注意去分母
11、后所得整式方程的解是非负数，且不等 于 1. 举一反三： 【 变式 1】 解方程： （ 1） 13x x4 ， （ 2） 1210x x215 2. 【 变式 2】 当 a 为何值时，关于 x 的方程 53221 aaxx 的解是 0？ 类型四：增根的应用 例 5.当 m 为何值时，关于 x 的方程 23422 2 xx mxx会产生增根？会无解 ? 思路点拨： 增根是分式方程去分母后的整式方程的根，它使最简公分母得 _，且只适合 _，所以只需把可能出现的增根代入该整式方程中，就可以求得对应的m 的值而分式方程无解有两种情况，一是去分母后的整式方程的根都是 _，二是此整式方程 _ 四重五步学习
12、法 让孩子终生受益的好方法 7 让更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666 总结升华： 举一反三： 【 变式 1】当 m 为何值时，方程 会产生增根 ( ) A. 2 B. 1 C. 3 D. 3 分析 ： 分式方程 ，去分母得 _，将增根 _代入，得 m。 【 变式 2】 .若方程 32xx2mx无解，则 m 。 类型 五 ： 分式方程的应用 （ 一 ） 工程 类应用性问题 例 6.某项工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期 3 天，现两队合作 2 天后，留下的工程再由乙队独做，也正好在限期内完成，问该工程期限是多少天？ 思路点拨 ： 若设工期为 x 天，将总工程量设
13、为“ 1”，则甲效为 _；乙单独做需 (x+3)天，乙效为 _.(法 1)甲共做 2 天，乙共做 x 天，可将工作完成； (法 2)乙独做多用的 _天完成的工作量，相当于甲 _天做的。 四重五步学习法 让孩子终生受益的好方法 8 让更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666 举一反三： 【 变式 1】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？ 分析： 甲 1 个月完成 1/3，即甲效率为 1/3，或理解为甲单独做 3 个月完成，所以甲实际做 1.5 个月完成了 1/2 的工程，
14、另外的 1/2 的工程由乙半个月完成，可见乙的效率为甲的 3 倍，显 见乙的工效快。上述是计算的方法，以下为方程方法。 【 变式 2】今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错， 2640 名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致 .已知教师甲的输入速度是教师乙的 2 倍，结果甲比乙少用 2 小时输完 .问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？ （ 二 ） 行程中 应用性问题 例 7 甲、乙两地相距 828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的 1.5 倍直达快车比普通快车晚出发 2h， 比普通快
15、车早 4h 到达乙地，求两车的平均速度 思路点拨 ： 这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是 ： 路程 速度 时间，应根据题意，找出追击问题 中 的等量关系 总结升华： 四重五步学习法 让孩子终生受益的好方法 9 让更多的孩子得到更好的教育 400-661-6666 举一反三 ： 【 变式 1】 一队学生去校外参观他们出发 30 分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍若骑车的速度是队伍行进速度的 2 倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是 15 千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？ 【 变式 2】 轮船在顺水
16、中航行 30 千米的时间与在逆水中航行 20 千米所用的时间相等，已知水流速度为 2 千米时，求船在静水 中的速度 （ 三 ） 营销类 的应用性问题 例 8 某校办工厂将总价值为 2000 元的甲种原料与总价值为 4800 元的乙种原料混合 后，其平均价比原甲种原料 每 0.5kg 少 3 元，比乙种原料 每 0.5kg 多 1 元，问混合后的单价 每 0.5kg是多少元？ 思路点拨 ： 市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式 总结升华： 四重五步学习法 让孩子终生受益的好方法 10 让更多的孩子得到更好的教育 400-
17、661-6666 举一反三 ： 【 变式 】 A、 B 两位采购员同去一家饲料公司购买 同一种饲料 两 次 ，两 次 饲料的价格有变化，但两位采购员的购 货 方式不同 其中，采购员 A 每 次 购买 1000 千克，购贷员B 每次用去 800 元，而不管购买饲料 多少，问选用谁的购 货 方式合算？ 三、总结与测评 要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。 （一） 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为 0，因此应如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 ，则整式方程的
18、解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解 （二） 列方程 （ 组 ） 解应用题，在弄清题意后，接着就是设未知数，设未知数对后面列方程起着关键作用 ，对于一道应用题，首先考虑设直接未知数，如果设直接未知数不奏效，就应考虑设间接未知数，就是把一个不是题目中最后要求的未知量设为未知数，求出该数后，再求出要求的数 知识点： 可化为一元一次方程的分式方程及其应用 测评系统 分数： 模拟考试系统 分数： 如果你的分数在 80 分以下，请进入网校资源 ID： #cgcp0#233542，做基础达标部分的练习，如果你的分数在 80 分以上，你可以进行能力提升题目的测试。 总结规律和方法 强化所学 认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。 相关内容请参看网校资源 ID： #tbjx13#233542 成果测评 现在来检测一下学习的成果吧！请到网校 测评系统 和 模拟考试系统 进 行相关知识点的测试。
