1、排容原理,機率概念與應用網路學習研究,排容原理,排容原理是計數原理的第一步，通常我們會直接去求我們所要得到的答案，但如果元素彼此之間有關連的時候，那我們就還得再考慮它們之間的關連有沒有影響到我們得到的答案。,排容原理,試問1至120中，4或6的倍數有幾個？,4的倍數個數共 個。 6的倍數個數共 個。將4的倍數個數和6的倍數個數加起來即30+20 = 50個。此時同時為4及6的倍數之個數算了兩次，因此必須減掉，而在1至120中，同時為4跟6的倍數的數即為12的倍數故共有 個。因此，4或6的倍數之個數為30+20-10=40個。,排容原理,若令A為1至120中4的倍數之集合，B為1至120中6的倍
2、數之集合，則 是 12 倍數之集合， 為4或6的倍數之集合，因此 。也可用圖形來說明，其中圓A表4的倍數的集合，圓B表6的倍數的集合，而重疊的部分就是12的倍數的集合。,排容原理,對任意有限集合 A 及 B，仍成立，要計算屬於 A 或 B 的元素個數 ，我們先將集合 A 及 B 的元素個數加起來 ，但此時既是 A 也是 B 的元素 ，算了兩次，所以必須減掉，因此得到 。,排容原理,對有限集合 A, B, C，我們可用下圖表示，其中圓A、圓B、圓C分別表集合 A, B, C想求屬於集合A, B, C的元素個數|A|+|B|+|C|，先求 參考下圖紅色部分，加了兩次，而藍色部分加了三次，須將重複部
3、分減掉。,排容原理,我們將|A|+|B|+|C|減掉 紅色部分被減掉一次，藍色部分卻被減掉三次，因此 沒有包含藍色部分的元素個數，必須再加上去，才是整個圖形的元素個數，即：,排容原理,此式可以用數學歸納法證得！,對三個以上的元素，我們也有類似的結果，即對任意有限集合 屬於集合 或 或 或 的元素個數為：,排容原理,另外，如果 為有限集合A的子集合我們亦常會遇到要計算屬於集合A但不屬於集合 的元素個數，即 ，從 的公式可知，等於：,排容原理,假設A為一元素個數的集合，且 為A的n個子集合，則：,排容原理,屬於集合 的元素個數為：,1,排容原理,假設A為一元素個數的集合，且 為A的n個子集合，則：
4、,排容原理,2,屬於集合A但不屬於集合的元素個數為：,排容原理,例題1.,我們先算出4或6的倍數個數，根據前面的問題中，可以得知4或6倍數之個數是 30+20-10=40(個)，所以算出不為4或6的倍數個數就得120-(30+20-10)=80(個)。故得知不為4或6倍數之個數為80(個)。,解答：,求 1120中，不為4或6的倍數有幾個？,排容原理,例題2.,可以被2整除的個數為500個，可以被3整除的個數為333個，可以被5整除的個數為200個，同時可以被2、3整除的個數為166個，同時能被2、5整除的個數為100個，能同時被3、5整除的個數為66個，同時能被2、3、5整除的個數為33個。所以得到算式為： 1000-(500+333+200)+(166+100+66)-33=266,解答：,試求1至 1000中不被 2,3,5 整除的個數。,排容原理,排容原理是由瑞士人尤拉(Euler)推展出來的，是一個十分重要的原理，在組合數學領域中使用尤為廣泛、重要。,排容原理,更多的說明，就在機率網路學習館,
