1、第二节 数列的极限教学目的：理解数列极限的概念，为研究微积分作好工具准备教学重点：收敛数列的性质及运算法则教学难点：数列极限概念的理解及计算一、数列极限的概念及定义本节讨论定义域为自然数集 N，值域含于实数集 R 的函数。其函数只可按照变量的顺序排列为 1()xf， 2()f， ()nxf，因此，有下列定义：定义 设 f 是定义于 N 上的一个函数，其函数值按 1,23的顺序排列成一个序列：1()xf， 2()f， 3()xf， ()nxf，就成为数列，简单地记作 n。 称为数列的第 n 项或通项，n 为脚标.例如： 1 1():23():(3)42:4682357(5)n nn nnn ，
2、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ,， ， ， ， ， ， ，观察上面的几个数列，我们可以发现随着 的无限增大，有的数列无限的趋近一个常数 a，有的数列无限增大，而有的数列则与前两种情况不同.数列的极限就是研究在自变量无限增大这种趋势下,因变量 ()nxf的变化趋势.当 n（即 无限增大）时，如果的 ()nxf的变化趋势由一个确切的“目标” a，那么常数 就叫做该数列 ()fn在时的极限 .例如：当 n时，1的极限为 0，1的极限也是 0，21n的极限为 2，而 与 1n没有极限.如果数列 x，当 无限增大时，数列 x的取值能无限接近常数 a，
3、我们就称 是 nx当时的极限，记作limnxa.当然，以上的说法 仅仅是数列极限的一种定性描述.我们在研究数列极限时，只凭定性描述和观察很难做到准确无误，特别在理论推导中，以直觉作为推理的依据是不可靠的，因此有必要寻求用精确的、定量化的数学语言来刻画数列的极限.我们注意到在数列极限中“n”，以及“ nx无限的趋近于 a”，它主要强调的是“一个过程”以及一种“接近”程度，经过前人的不断总结给出了一下定义.设 x为一个数列对于任意给定的正数 （不论它多么小） ，总存在正整数 N，使得对于N时的一切 n，不等式an都成立，则称常数 是数列 nx的极限，或者称数列 nx收敛于 a，记为，xnlim或
4、an.如果数列没有极限，就说数列是发散的.为了以后论述的方便, 数列极限的定义，常用逻辑符号来表达：0,N，使得 N，有 nx.定义中极限 a（ 是一个常数）及任意给定的正数 ，它确定了 a一个领域 ,a；总存在正整数 ，也确定数列 n中的某一项 N；只要 n，就有 xn成立.即说明从 Nx以后的所有项 12,Nx ，全落入 ,a中.需要指出的是，任意给定的数 ，一方面由于 的任意性，决定了它的取值有无限种的可能，从而可以任意的小，以刻画 n与 的无限逼近. 另一方面是 的确定性，它是任意给定的，一旦给出后，它就定了，这样就可以找出 （即确定出 Nx这一项） ，使得 Nx以后的所有项在 ,a中
5、，但是 不是唯一的，只要保证 存在即可.例如对于某一个0，存在正整数 N，只要 n，就有 axn成立，那么此时也有：对于上面的 ， 1是大于 的确定的正整数（例如 15） ，当 1n时，0nx也成立.为了更直观的说明 与 之间的关系，看下面例题。例 2-1 用数列极限定义证明2()limnn。证 因为 12nxa，0，欲使 n。只要2n，即，取0N（即确定了 Nx这一项） ，则当 N时，有2(1)n所以 ()limnn在以上证明中，当10时， 20N.也就是说从第 200 项以后，数列的所有项：201,x均满足 nxa当 51时， 5210， nN的 nx均满足5na.需要指出，一般 ()越小
6、，则 越大，但 不是唯一的.例如10时，取 30N也行（但 190则不行，为什么？） 。例 1-4 设 q，证明数列23,n 的极限是 0。证 因nnxq令1qt,(由于 1，故 0t)，则2()ntttnt所以 10nnnxqt.要使 nx，只要 t，即1nt，取Nt，则当 nN时，有 0nq，所以lim(1)n在以上证明中为了取得 N 的较简单的表达式，应用了二项式定理。如果从nq通过取对数得lq，取lnq也可以。在用 N定义证明极限时，为了得到 N 的较为简单的表达式，要对 nxa进行适当的放大，其主要手法是使 ()nxaq，当()n时，比较容易地解出 ()h。例 2-2 用极限定义证明
7、2si1lm03n证 因为 22 2i()sin(1) 100331nx nn要使 nx，只要，即。取N，则对 nN有2sin(1)003nx所以 2si()lm1n在以上证明中。我们也可以使103nx。但若使 2103nx，那 N 的表达式就过于繁琐。由于极限定义中的 N 不唯一，证明时我们力求使 N 更简单一些。需要指出：一般情况下，用定义只能验证某数是否为某数列的极限，不能用它来求数列的极限，但通过数列的 N定义可以证明有关的运算法则及定理，再通过它们来求极限。下面我们介绍极限的运算法则和求极限的一些方法。二、收敛数列的性质及运算法则对于一个数列，如何判断它是否收敛（即极限是否存在）？如
8、果收敛，又怎样求出它的极限？这是极限理论中至关重要的两个基本问题，为此我们必须讨论数列极限的性质及运算法则。定理 设 lim,linnxayb，则（1） n a（2） lilinnyAA（3）(0)linnxab（4） lim（由此可得） limnC（5） linnxaxa证 （1）仅就 lililinnnyyb证之。由 li,nxb知：110,2,nNxa有22,y有因为 ()(nnnnnxyabbxayb所以 120,mx,)0,NN使 得，有()( 2nnnxyay注 证明中出现了 12,主要是为了体现对同一标准,nnxayb“速度”的不同。例如10,0nnxy。当12时，102n，取1
9、2,2N，取 3N。至于,xayb，中用 2是为了最后结论与定义一致。（2） 、 （3）在后面加以证明， （4） 、 （5）可直接用极限定义证明（读者自证） 。定理 若数列 nx有界，且 lim0ny，则lim0nxy证 由 有界知 ,MN，有 nxM，又由 lin，可知， 0,，有0ny因为0nnnxyxyA（当 N时）所以， ,N，有 ，也即 limn.读者也许注意到了，对于一个具体数列我们用定义证明其极限是某个数时，项数 N 是一个具体的表达式（表达式不惟一） 。而对于抽象的数列极限（如以上的法则等）证明,项数 N是通过已知数列极限中所得的项数确定的，它们虽然不尽相同，但是目的是为了保证
10、项数N 的存在性。用 定义证明一些命题，初学者有一定的难度，下面再介绍夹逼定理。通过该定理可以证明一些数列的收敛性，相对而言，比用 N定义要简单一些。定理 （夹逼定理） 已知三数列 ,nnxyz满足 ,nnyxz且lim,linnyaz则 limnxa证 由 , 得110,nNy有22,za有当 1ax()n时，nyz即 n所以 120,max(,),nNNxa,有 有所以 linx.例 2-3 证明 lin，证 欲证1lin，即证1li0n因为 时，10n，所以11nn令1(0)nu即 所以 22(1)(1)1n nnnnuuu即2()又因为 2(1)1nu所以0由于2lim,li01nn，
11、 （读者自己证明）所以 0u,即n.定理 （极限的惟一性） 设 lim,linnxaxb，则 a证 ()()nabb由已知条件可知：lim0,li0nnxx,所以 li 0nnx又由夹逼定理可知linab所以定理 （极限的保号性） 设 limnxa,且 cd，则 0,Nn,有 ncxd。证 因 ad，故 0a。取 1110,2，有 2na,即 2nxd有因为 ca，所以 0c，取 2220,acN，有 2nacx,即 2nx取 1m,N，则当 n时，有ncd推论 若 linx收敛，则 nx有界.证 因为 limnx收敛，即使 aRlina那么 limnxa由于 1，据定理 1-2-5 可知，
12、0N， ,有nxa取 12m,1NMxa则 ，有 n，所以 nx有界.以上的推论表明，有界是数列收敛的必要条件.但是有界数列也不一定收敛，例如 ()n虽然有界，但它发散 .夏我们利用夹逼定理与极限的保号性定理证明极限的乘法、除法运算法则.已知设li,linnxayb，则（1） mlinxyabAA（2）lili(0)nny证（1）因为0nnnxabxxbaynnM又因为lim0,li0nnbxa所以 linnny又 lim所以 0nxyab即 li（2）只需证：1linyb，在利用极限的乘法运算法则就可得到除法法则.因为 nnyb又因为limli(0)2nnby所以 N， n有 12nyb即
13、0N， 有 21nnnyb因为 2lim0,li0nnnyb所以 1lim0nyb即 lin以上“乘法、除法”极限的证明使是夹逼定理的一个应用，其目的是说明有了一些运算法则后，用定义证明一些命题就不是唯一的途径了.例 2-4 证明 22211limnnn 证明：因为 112222 而 limli22nn所以原式极限为 1. 例 2-5 求11lim23()nA解： 1(1)n23n1n故 1lim23()n n A第三节 函数的极限教学目的：理解极限的概念，理解左右极限的概念，为研究微积分作好工具准备教学重点：各种趋势下的极限定义，左右极限存在与极限存在的关系教学难点：极限概念的理解教学内容：
14、一、函数极限的定义自变量趋于有限值时函数的极限满足 0x的 的范围称作以 0x为中心的 邻域，满足 0x的范围称作以 为中心，以 为半径的去心邻域，记作 0U.现在考虑自变量 的变化过程为 0.如果在 x的过程中，对应的函数值 f无限接近于确定的数值 A，那么就说 是函数 f当 0时的极限.当然，这里我们首先假定函数 xf在点 0的某个去心邻域内是有定义的.定义 ：设函数 在点 x的某一去心邻域内有定义.如果对于任意给定的正数 （不论它多么小） ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 0x的一切 x，对应的函数值xf都满足不等式 A那么常数 就叫做函数 xf当 0时的极限，记作xf0lim或 A（
15、当 ）.该定义用几何语言描述为：对于任意给定的因变量的范围 (,)A，总存在自变量这样的范围 00(,)x，有 (),)f（图 1-2）)(xfyA0x0xxyo图 1-21. 证明下列极限（1） 0limx（2）21x（3） 000,limx当 时证：（1） ,)(Af,、,、 ,00、x0)(xf、.li00xx（2）函数在点 x=1 处没有定义. 21)(f ， ,、 ,)(Axf、 ,、,00、xx.21limx（3） 0)(xAf0x,0,0、 ,)(f、 .、,in0x,0、,0x、.lm0x上述 0时函数 xf的极限概念中， 是既从 0的左侧也从 0的右侧趋于 0x的.但有时只能
16、或只需考虑 仅从 0的左侧趋于 0x（记作 x）的情形，或 仅从0的右侧趋于 0（记作 ）的情形.在 0的情形，此时我们有下列定义：设函数 xf在 0x内有定义.如果对于任意给定的正数 （不论它多么小） ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 0x的一切 x，对应的函数值 xf都满足不等式 Af那么常数 就叫做函数 xf当 0时的右极限，记作0limxf或 0A（当 x）.类似地，可定义左极限fx0lim或 Af0（留给读者作为练习.左、右极限也称单侧极限，容易证明下列定理.定理 函数 f当 时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即 00xxf.证 （ ）显然（ ）因为 0limxfA，且Axfx0li，故 11,:，有 f，且对于上述的 202,:x
