1、电磁场理论基础,第八章 平面电磁波主讲教师：司黎明办公室：4号楼202；新信息楼212办公电话：68915628、68918212E-mail: 手机号：13810113982,北京理工大学 信息与电子学院司黎明,第八章课后习题,8.1； 8.3； 8.4； 8.8； 8.10； 8.11； 8.12； 8.13； 8.16； 8.23；8.27；8.32；8.33；8.38；8.40；8.41；8.42,电磁波：变化的电磁场脱离场源后在空间的传播。,分类：按等相位面的形状分有平面波、柱面波和球面波等。,在某一时刻，空间具有相同相位的点构成的面称为等相位面。等相位面是平面的电磁波称为平面电磁波
2、。,8.1 亥姆霍兹方程的一般解,在 的无源均匀媒质区域，时变的电场和磁场满足,1、亥姆霍兹方程,对于正弦电磁场，电场和磁场的复矢量满足矢量齐次亥姆霍兹方程,k 称为传播常数,其中,2、亥姆霍兹方程的解,直角坐标系中，电磁场复矢量各分量满足标量齐次亥姆霍兹方程,以 x 分量为例，利用分离变量法求解，令,则有,引入分离常数,分离常数间满足约束关系：,于是得到三个独立的二阶全微分方程,以上三个方程的解分别为,由此得到电场分量 的复振幅表达式,式中 ，是复常数，可表示为,称为振幅， 为初始相位，都是实常数，其值由初始条件决定。,考虑到 也是具体问题的待定参数，故将复振幅表达式指数上的“”取成“”并不
3、失普遍意义，此时有,令,任意场点 的位置矢量为,则有,所以复振幅表示为,同理可得,将各电场分量矢量相加，就得到电场强度的复矢量表达式,3、横电磁波,利用电场的复矢量可以求得瞬时值,讨论一个最简单的情况 ： 并且媒质是无耗的，此时,于是电场的瞬时表达式为,这样的电场矢量有两个特点：,当场点坐标固定时，电场矢量是时间的余弦函数，随着时间的改变，电场矢量沿着与 垂直的方向（即 方向）改变大小。,取两个相邻时刻 t1和t2= t1+t ，则曲线 只是曲线 沿 方向的一个平行移位。,对传播方向而言，电场和磁场只有横向分量，没有纵向分量，这种电磁波称为横电磁波，简写为TEM 波。,这两个特点正是横波运动的
4、两个基本特征。因此， 代表着一个向 方向传播的电磁波。,4、波速（相速度）,波速：电磁波的运动速度，也就是其曲线等值点的平移速度。,由于曲线各点的平移速度相同，只需考察其波峰的平移速度即可。,t1时刻，原点右侧的第一个波峰位置 z1 由零相位 决定,t2时刻，原点右侧的第一个波峰位置 z2 由零相位 决定,在t时间内波峰的平移距离,所以波峰的平移速度为,真空光速,5、波矢量,当选择 时，其电场的瞬时表达式为 ，表示一个向 方向传播的正弦电磁波；而当 和 时， 则分别表示向 和 方向传播的正弦电磁波。,可见若是k实数，则的 方向就表示电磁波传播方向, 称为波矢量。,若 的方向用单位矢量 表示，并
5、记,分别是 与 的夹角,称为传播方向 的方向余弦。,于是 可表示为,其中,可见，波矢量的三个分量由传播常数k 和传播方向 的方向余弦决定。,6、电场与磁场之间的相互联系,求解磁场可以利用波动方程，也可以利用麦克斯韦方程。,其中,= 0（与坐标无关）,又因为,于是,所以磁场可以由电场求得,利用 求,右手定则,利用 求,根据麦克斯韦方程有,所以,同时磁场可表示为,所以有幅度关系,同样的,右手定则,从电场和磁场的叉积关系可以看出，电磁波的电场矢量、磁场矢量与波矢量方向两两正交，且满足右手螺旋关系 。电场和磁场只有垂直于传播方向的分量(称为横向分量)，而没有传播方向的分量（即纵向分量），因此又称为横电
6、磁波，或简称TEM波。,亥姆霍兹方程的解代表正弦电磁波，进一步说，它们代表着等相位面（又称波面）为平面的平面电磁波。如果将不同 的平面波进行叠加，还可以表示等相位面为柱面或球面等其它形式的电磁波。,总结：,8.2 理想介质中的均匀平面电磁波,1、基本概念,理想电介质：没有极化损耗、磁化损耗和导电损耗的媒质,，是正实数，= 0,是正实数，称为相位常数。,均匀平面电磁波,平面：等相位面为平面,均匀：等相位平面的所有场点上，场量的方向和大小都相同。,在理想电介质中的波动方程解表示为,所以等相位面方程是,平面方程,2、均匀平面电磁波的,由于 ，所以有 ；又注意到 为实矢量，得,电场的复矢量表示为,相应
7、磁场的复矢量为,所以平均坡印廷矢量可求得,3、一个特例,假定：a. 传播方向为 方向，即 b. 电场只有 分量，振幅和初相分别为,电场强度,可见：电场的复矢量只是坐标变量z的函数。,复矢量,瞬时值,磁场强度,复矢量,瞬时值,本征阻抗（特征阻抗）,计算式,单位：欧姆（）,数值等于电场强度与对应磁场强度的振幅之比，并且仅决定于媒质的电磁参数。,真空中,结论：a. 振幅与场点位置无关b.在时间上 同相c.在空间上,4、电磁波的基本参数,相速度,波长：传播方向上同一时刻的两个相邻等相位点之间的距离,能量密度,坡印廷矢量,并且有 we= wm,即：理想电介质中正弦电磁场的电场能量密度等于磁场能量密度。,
8、频率和角频率,例8.1 设真空中一均匀平面电磁波的磁场瞬时矢量为,求电磁波的传播方向 、频率f、电场 和平均功率流密度 。,(A / m),比较 可得,波矢量的模值为,电磁波的传播方向为,解：求传播方向,求波长、频率和角频率,(rad/s),电场的复矢量为,电场瞬时矢量为,求电场瞬时值,求平均功率流密度,5、简化计算,正交关系： 振幅关系：,例：,波矢量方向,故应用正交关系有,再利用振幅关系可求得磁场瞬时值,8.3 电磁波的极化,电磁波的极化: 在电磁波的传播方向上任意一点，电场瞬时矢量尾端随时间的运动轨迹。,极化的形式: 电场矢量尾端轨迹是直线，称为线极化波； 电场矢量尾端轨迹是圆， 称为圆
9、极化波； 电场矢量尾端轨迹是椭圆，称为椭圆极化波；,矢端曲线：,以 方向的电磁波为例，将其电场分解为x， y两个方向的分量。,利用三角关系，得在 P( z0) 处，电场矢量的矢端曲线方程,这个方程就是极化方式分类的依据,、线极化波,当 或 时，方程简化为,即,轨迹直线与x轴正方向之间的夹角满足下面关系式,表明：当电场矢量的两个分量的初相相同或相差 时，电场矢量的尾端随时间 t 的变化在一条直线上运动，电场矢量的指向半个周期作一次反向。,方程是 以k为斜率的直线方程,二. 圆极化波,当 ，并且 时，,矢端曲线方程简化为,电场矢量 与 方向的夹角表示为,电磁波的传播方向与电场矢量的旋转方向成右手螺
10、旋系统，称为右旋圆极化波。,当 时,当 时,电磁波的传播方向与电场矢量的旋转方向成左手螺旋关系，称为左旋圆极化波。,圆极化波,三. 椭圆极化波,一般情况下， 不等于0、 或 ，而且 。,此时矢端轨迹方程不能简化，是一个椭圆方程。与此相应的电磁波称为椭圆极化波。,电场矢量 与 方向的夹角表示为,尾端的旋转速度为,当 时， ，电磁波为右旋椭圆极化波,当 时， ，电磁波为左旋椭圆极化波,某时刻 的分布,对线极化波，在 t0时刻，各点的电场矢量大小是坐标z的余弦函数,对圆极化波，在 t0时刻，各点的电场矢量与x正方向的夹角为,如果将传播方向直线上各点的尾端连接起来，就得到一条半径为 Em的螺旋线。,右
11、旋圆极化波在给定时刻的矢端曲线为左旋螺旋线；,对椭圆极化波，情况与圆极化波类似。,左旋圆极化波在给定时刻的矢端曲线为右旋螺旋线。,例8.3 证明任一椭圆极化波可用两个旋转方向相反的圆极化波表示。,于是电场复矢量为,证明：选择 方向为电磁波的传播方向，则波矢量 ，,其中Ex0和Ey0是带有初相的复常数。,假设 可以表示成两个圆极化波之和 ，即,比较以上两式，可得,解此联立方程，可求得,由求得的E10和E20可以确定分解后的两个圆极化波的复振幅，故命题得以证明。,线极化波、圆极化波和椭圆极化波的联系,口诀：两线变一线，两线变圆，两线变椭；两圆变线，两圆变椭。,8.4 导电媒质中的均匀平面电磁波,本
12、节讨论的介质为和是实常量，但0的导电媒质 。,1、复参数,对导电媒质中平面电磁波，仍然有,复传播常数,相位常数和衰减常数,令,则有,由此解得,复波矢量,复特征阻抗,模值和辐角分别为,由于传播常数变为复数，所以特征阻抗也成为复数,2、电场和磁场,讨论最简单的情况： ，并且只有Ex , Hy分量,电场复矢量写成,将 代入上式，得,电场矢量的瞬时值是,磁场复矢量可以求得,磁场矢量的瞬时值,瞬时坡印廷矢量,平均坡印廷矢量为,磁场能量密度,能流密度,能量密度,电场能量密度,3、导电媒质中平面电磁波的特点：,正交关系,幅度关系,沿着电磁波的传播方向，例如 方向，电场和磁场的幅度随z的增加按指数 衰减。,幅
13、度的衰减是由能量损耗引起的，焦耳热等,的物理意义为平均能流密度对距离的相对减少率的1/2,的单位：奈培/米（NPm）,工程上常用分贝（dB）,dB是一个表征相对值的值，纯粹的比值，只表示两个量的相对大小关系，没有单位，当考虑甲的功率相比于乙功率大或小多少个dB时，按下面计算公式：10log（甲功率/乙功率），如果采用两者的电压比计算，要用20log（甲电压/乙电压）。,例 甲功率比乙功率大一倍，那么10lg（甲功率/乙功率）=10lg2=3dB。也就是说，甲的功率比乙的功率大3 dB。反之，如果甲的功率是乙的功率的一半，则甲的功率比乙的功率小3 dB。,相位关系,磁场在相位上比对应的电场有一个
14、滞后角 。,当频率一定时，随媒质电导率的增大而增大，最大可达/4。,相速度（色散）,能量密度,相速度与频率有关的现象也称为电磁波的色散。,导电媒质中的电场能量密度和磁场能量密度是不等的。,如对平均能量密度,因为导电媒质中,所以,例8.4 已知海水的电磁参数为 。,求：频率分别为1 KHz、1 MHz、100 MHz和10G Hz时，平面电磁波在海水中的衰减常数、相位常数、相速度及功率流密度下降到10-6的绝对距离l 和相对距离l /0,解：,所以,将频率f 值代入上面各式，所得结果列表如下:,功率衰减量的绝对深度l 随频率的升高而减小；,海水中电磁波的传播速度随频率的升高而增大；,相对衰减深度
15、l /0随频率升高而增大。,几点结论：,4、媒质的分类,参数、 、都含有/,令,则有,可见：Q 值实际上是位移电流密度与传导电流密度的幅度比值， 表示媒质的导电性与介质性的比例关系。,5、低损耗媒质中的均匀平面电磁波,Q 1（通常取Q 100）时，Jdx Jcx ，接近理想电介质,低损耗媒质中平面波的性质：,电导率对相位常数 的影响可以忽略，与理想电介质时相同。 电磁波的相速度基本上与频率无关，可以近似为非色散媒质。,衰减常数比较小，因而电磁波幅度的衰减缓慢。,特征阻抗近似为实数，0，电场与对应的磁场几乎同相位， 与理想电介质中的情况近似。,6、良好导体内的均匀平面电磁波,Q 1（通常取Q 0
16、.1）时， Jcx Jdx ，焦耳损耗很大,其中 称为透入深度或集肤深度。,良好导体中平面波的特点：,很小，使良好导体内电磁波的传播速度 v 远小于真空电磁波速度c，并且与频率有关，是色散媒质。,很大使得电场和磁场的幅度衰减很快。,的相角/4，表明磁场比对应电场的相位滞后约/4 。,特征阻抗很小，因此在良好导体中，磁场占有主要地位， 磁场能量远大于电场能量。,高频趋肤效应,良好导体中传导电流密度的复振幅为,若将坐标的零点选在导体表面处，则导体表面导体一侧 z = 0处,所以导体内z点处的电流密度为,由此式看出：导体内的传导电流也像电场和磁场一样，幅度衰减很快，主要集中在导体表面内侧的一个很薄的
17、区域内，并且频率越高区域越薄。这种现象称为高频趋肤效应。,表面电流密度 Jsx,并且有,除了 的理想导体以外，实用导体内只有体电流而并不存在实际的表面电流。 因此，对实用导体而言，磁场边界条件 中等式右边应为零。 由此可知导体表面内、外侧的磁场应该相等，即,因此，计算表面电流密度时既可以利用导体表面内侧的磁场，也可以取成表面外侧的磁场。因外侧场计算或测量要相对容易，故在实际应用中多以外侧磁场来计算等效表面电流密度。,必须注意，这个外侧磁场是外侧的总磁场，它应该等于入射波磁场与导体表面的反射波磁场在表面外侧的叠加。,良好导体中的平均功率流密度,在 z = 0 的导体一侧，有,表面电阻（良好导体特
18、征阻抗的实部）,表面电抗（良好导体特征阻抗的虚部）,表面阻抗,8.5 相速度和群速度,1、相速度,单一频率正弦电磁波等相位面的前进速度，称为相速度，记作vp,理想电介质中,它的大小仅决定于媒质的电磁参数，而与电磁波的频率无关。,2、群速度,包络,假设需要将角频率为 的正弦信号 沿z轴传递，此时可以用这个正弦信号对一个频率为 的高频正弦载波进行调制。于是，在 z = 0的平面内，调制后的电磁波的电场为,在传播方向的任意z点上，三个频率的电场复振幅分别为,可见，一个正弦调制波实际上是三个不同角频率正弦波的叠加。,即,在理想电介质中,此时，合成波电场强度瞬时值为,包络,群速度,包络的运动速度称为合成
19、波的群速度。,实际上，包络运动的群速度就是调制信号 的传送速度。,正常色散与反常色散,对于弱色散媒质，当调制信号的频率远低于载波频率时,此时，合成波的瞬时值近似表达式为,仍定义合成波的包络运动速度为群速度，有,若 ，有 ，称为正常色散若 ，有 ，称为反常色散,可得,8.6 理想媒质界面上电磁波的反射和折射,几个基本概念折射波、反射波入射面、反射面入射角、反射角、折射角垂直极化波、平行极化波,入射面入射线、反射线、折射线所构成的平面，入射线、反射线、折射线与法线共面,垂直极化波入射波电场 与入射面垂直,平行极化波入射波电场 与入射面平行,由于任意平面波可以分解为两个极化方向垂直的线极化波，因此在
20、讨论平面波的反射折射时，只要考虑线极化波即可。,一、垂直极化波,假设媒质分界面为相应xy平面，入射面为xz平面（ 指向下）。z 0 区域为媒质2 （ ）,1、入射波,波矢,设原点上入射波的电场复振幅为 ，则入射面内任意点上入射波的电场复矢量为,对应的入射波磁场复矢量为,其中,2、反射波,波矢,其中,磁场复矢量,电场复矢量,波矢,其中,磁场复矢量,电场复矢量,3、折射波,其中,4、反射定律和折射定律,利用边界条件,可得,若对任意 x 都成立，则有,考虑到 ，由上式推出,反射定律,折射定律（或斯耐尔定律）,5、反射系数与折射系数,将反射定率和折射定律应用在边界条件上，得,所以有,反射系数,折射系数
21、,其中 ，,菲涅耳公式（TE波）,二、平行极化波,入射波的磁场复矢量为,1、波的电场和磁场,平行极化的波矢量与垂直极化时一致,平行极化波的磁场复矢量只有y分量,对应的入射波电场复矢量为,反射波的电磁场复矢量为,折射波的电磁场复矢量为,3、反射系数与折射系数,2、反射定律和折射定律,利用边界条件可得,根据垂直极化的分析过程可知反射定律和折射定律仍然成立。,菲涅耳公式（TM波）,三、电磁波垂直入射时1区的场,1、垂直入射时的反射率,对于垂直入射的情况，因入射线、反射线和折射线重合，极化形式的名称可以任意规定，并且两种极化的反射系数和折射系数应该相同。,为了讨论方便，今后对垂直入射问题一般都视为垂直
22、极化，并将反射系数R简记为R，即,菲涅耳公式,2、1区的总电场和总磁场,3、行驻波,将电场表达式稍加变换可得,忽略Ei0的初始相位常量，令其等于实数Em，1区总电场瞬时值为,行波,驻波,+行驻波,4、驻波比,1区中的电磁场也可以写作,可以将其理解为向z方向传播的一个平面波，它的振幅为,以上两式是以z为变量，以为/ 2周期的周期性函数。其性质可以分两种情况讨论：,当电磁波由光密媒质入射到光疏媒质上时,处，为电场振幅的最大点和磁场振幅的最小点,处，为电场振幅的最小点和磁场振幅的最大点,场强振幅的最大点处称为波腹，最小点处称为波节。,当电磁波由光疏媒质入射到光密媒质上时,情况与时正好相反。,驻波比,
23、电(磁)场的最大振幅值与最小振幅值之比称为驻波系数或驻波比(VSWR)，记作，即,反之，也可以用驻波系数 表示反射系数|R|,5、功率反射系数和功率透射系数,在界面两侧的入射波、反射波和折射波的平均坡印廷矢量为,微波工程中常用,功率透射系数,功率反射系数,由以上两式可得,可见，垂直入射到理想媒质界面上单位面积的入射波功率等于反射波功率与折射波功率之和，这一关系附合能量守恒关系。,8.7 全折射和全反射,一. 全折射,全折射：当电磁波以某一入射角入射到两种媒质界面上时，如果反射系数为零，全部电磁能量都进入第二种媒质，这种情况称为全折射。,布儒斯特角：出现全折射时对应的入射角。记作 B,1. 垂直
24、极化波情况,若无反射，则,即,将上式两边平方，并利用,若 则成为同一媒质，不存在折射的问题。,可得,对于一般的 非磁性媒质,若 则上式无解，即不存在这样的入射角；,故垂直极化波只有在两种不同的磁介质界面上才可能产生全折射。,2. 平行极化波情况,若无反射，则,即,结合折射定律可得,发生全折射时,因此,可见，发生全折射时，折射角与入射角互为余角。,应用：起偏器将圆极化光转化为“偏振光”。,因此，布儒斯特角为,对于一般的 非磁性媒质,二. 全反射,全反射：当电磁波入射到媒质界面上时，如果反射系数|R|1，则投射在界面上的电磁波能量全部反射回媒质1，没有平均能流进入媒质2，这种现象称为全反射。,临界
25、角：发生全反射的最小入射角。记作：0,根据折射定律,可知，若 ，即电磁波由光密媒质入射到光疏媒质界面上时，在入射角大于一定数值后，就会出现 的情况。此时在实数域内不存在确定的折射角。我们说此时发生了全反射。,对分界面两侧均为非磁性介质的情况,可见 时的入射角就是临界角,全反射时|R|=1,当 时， 于是折射角的余弦为,（只能取负号）,对于垂直极化波,对于平行极化波,代入反射系数公式得,将A , B代入相位表达式，得,可见，均匀平面波发生全反射时，反射系数|R|=1，但反射波的相位产生了 的滞后，且 值与极化状态有关。,应用：将线极化波转换为圆极化波。,全反射时媒质2中的电磁场,媒质2中的波矢量
26、为,电场复矢量,等振幅面：z = C,等相位面：x = C,沿x方向传播的电磁波能量集中在界面附近，这种能量分布的电磁波称为表面波。,慢波：,全反射的应用,介质波导和光纤,将线极化波转换为圆极化波。,8.8 有耗媒质界面的反射和折射,假定2 区为导电媒质，则传播常数k2 为,所以电场复矢量,令,于是媒质2 中折射波的电磁场复矢量可写成,这是一个衰减的平面波，等相位面和等振幅面分别为,等相位面的法线方向与z轴的交角 称为等效折射角,对于理想导体有,所以,因此,电磁波的能量将全部返回介质1中而不能进入理想导体。,若1区为理想电介质，则电磁波垂直入射时，介质1 内为纯驻波场。,8.9 多层媒质的反射
27、和折射,考虑三层媒质的情况： 在媒质2中，两个界面之间的相位差为 = k2l ，所以,利用级数展开，并考虑到,故有,所以,可得界面1 的反射系数,将用特征阻抗表示的各反射系数代入上，得,利用关系,如果媒质多于三层，可以仿照上述方法处理。,用阻抗表示的折射系数为,同样的方法可推出界面2 的折射率为,例8.5 设分界面为无限大平面的三层介质，其阻抗分别为1、2和3，介质2 的厚度为 l 。如果平面波由介质1 垂直入射到第一界面，试求入射波能量全部进入介质3 的条件。,解: 要使电磁波能量全部进入介质3 ，要求,即,并且, 同时 ，即 成为同一介质，不合题意。, 同时 媒质2 的厚度为 。即只要使介质2 的厚度等于此种介质中平面波波长一半的整数倍即可满足要求。微波雷达天线罩就用此原理设计。, 同时 ，即介质2 的厚度必须为 的奇数倍。,式中,所以,例8.6 假设一厚度 l=0.75 mm ，电容率为 的无限大有耗介质板，一侧为空气，另一侧为理想导体。试求平面波由空气中垂直入射到介质板上的反射系数。,解: 根据多层媒质反射问题的讨论，可得,显然，反射率不仅与媒质电容率有关，还与电磁波波长(频率)有关。,归一化反射系数的模值与频率的关系，用分贝表示如图,可见，反射系数是频率的灵敏函数。利用这一原理，适当选择参数和及厚度，就可以大大减小某一频率范围内的反射率，这就是电磁材料的吸波机理。,
