1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学理一、选择题：本答题共有 10 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.(5 分)设集合 A=x|x+2=0，集合 B=x|x2-4=0，则 AB=( )A.-2B.2C.-2，2D.解析：由 A 中的方程 x+2=0，解得 x=-2，即 A=-2；由 B 中的方程 x2-4=0，解得 x=2 或-2，即 B=-2，2，则 AB=-2.答案：A2.(5 分)如图，在复平面内，点 A 表示复数 z 的共轭复数，则复数 z 对应的点是( )A.AB.BC.CD.D解析：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同
2、，虚部相反，对应的点关于 x 轴对称.所以点 A 表示复数 z 的共轭复数的点是 B.答案：B.3.(5 分)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )A.B.C.D.解析：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项 A 和选项 C.而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除 B.答案：D.4.(5 分)设 xZ，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集.若命题 p： xA，2xB，则( )A.p： xA，2x BB.p： x A，2x BC.p： x A，2xBD.p： xA，2x B解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以设 xZ，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集.
3、若命题 p： xA，2xB，则p： xA，2x B.答案：D.5.(5 分)函数 f(x)=2sin(x+)(0，- )的部分图象如图所示，则， 的值分别是( )A.B.C.D.解析：在同一周期内，函数在 x= 时取得最大值，x= 时取得最小值，函数的周期 T 满足 = - = ，由此可得 T= =，解得 =2，得函数表达式为 f(x)=2sin(2x+)又当 x= 时取得最大值 2，2sin(2 +)=2，可得 += +2k(kZ) ，取 k=0，得 =-答案：A6.(5 分)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是( )A.B.C.1D.解析：抛物线方程为 y2=4x2p=4，
4、可得 =1，抛物线的焦点 F(1，0)又双曲线的方程为 a 2=1 且 b2=3，可得 a=1 且 b= ，双曲线的渐近线方程为 y= ，即 y= x，化成一般式得： .因此，抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线渐近线的距离为 d= =答案：B7.(5 分)函数 的图象大致是( )A.B.C.D.解析：要使函数有意义，则 3x-10，解得 x0，函数的定义域为x|x0，排除 A.当 x0 时，y0，排除 B.当 x+时，y0，排除 D.答案：C.8.(5 分)从 1，3，5，7，9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a，b，共可得到lga-lgb 的不同值的个数是( )A.9B.10C.
5、18D.20解析：首先从 1，3，5，7，9 这五个数中任取两个不同的数排列，共有 种排法，因为 ， ，所以从 1，3，5，7，9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到 lga-lgb 的不同值的个数是：20-2=18.答案：C.9.(5 分)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过 2 秒的概率是( )A.B.C.D.解析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为 x，y，由题意可得 0x4，0y4，它们第一次闪亮
6、的时候相差不超过 2 秒，则|x-y|2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为： =答案：C10.(5 分)设函数 (aR，e 为自然对数的底数)，若曲线 y=sinx 上存在点(x 0，y 0)使得 f(f(y0)=y0，则 a 的取值范围是( )A.1，eB.e-1-1，1C.1，e+1D.e-1-1，e+1解析：曲线 y=sinx 上存在点(x 0，y 0)使得 f(f(y0)=y0，则 y0-1，1，考查四个选项，B，D 两个选项中参数值都可取 0，C，D 两个选项中参数都可取e+1，A，B，C，D 四个选项参数都可取 1，由此可先验证参数为 0 与
7、e+1 时是否符合题意，即可得出正确选项，当 a=0 时， ，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究 y00，1时 f(f(y0)=y0是否成立，由于 是一个增函数，可得出 f(y0)f(0)=1，而 f(1)= 1，故a=0，不合题意，由此知 B，D 两个选项不正确，当 a=e+1 时， 此函数是一个增函数，=0，而 f(0)没有意义，故 a=e+1 不合题意，故 C，D 两个选项不正确，综上讨论知，可确定 B，C，D 三个选项不正确，故 A 选项正确.答案：A二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11.(5 分)二项式(x+y) 5的展开式中，含 x2y3的项的系
8、数是 (用数字作答).解析：设二项式(x+y) 5的展开式的通项公式为 Tr+1，则 Tr+1= x5-ryr，令 r=3，则含 x2y3的项的系数是 =10.答案：10.12.(5 分)在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， ，则 = .解析：四边形 ABCD 为平行四边形，对角线 AC 与 BD 交于点 O， + = ，又 O 为 AC 的中点， =2 ， + =2 ， + = ，=2.答案：2.13.(5 分)设 sin2=-sin， ，则 tan2 的值是 .解析：sin2=2sincos=-sin，( ，)，cos=- ，sin= = ，tan=- ，则 t
9、an2= = = .答案：14.(5 分)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，f(x)=x 2-4x，那么，不等式f(x+2)5 的解集是 .解析：因为 f(x)为偶函数，所以 f(|x+2|)=f(x+2)，则 f(x+2)5 可化为 f(|x+2|)5，即|x+2| 2-4|x+2|5，(|x+2|+1)(|x+2|-5)0，所以|x+2|5，解得-7x3，所以不等式 f(x+2)5 的解集是(-7，3).答案：(-7，3).15.(5 分)设 P1，P 2，P n为平面 内的 n 个点，在平面 内的所有点中，若点 P 到点P1，P 2，P n的距离之和最小，则称点 P
10、为 P1，P 2，P n的一个“中位点” ，例如，线段 AB上的任意点都是端点 A，B 的中位点，现有下列命题：若三个点 A、B、C 共线，C 在线段 AB 上，则 C 是 A，B，C 的中位点；直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；若四个点 A、B、C、D 共线，则它们的中位点存在且唯一；梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是 (写出所有真命题的序号).解析：若三个点 A、B、C 共线，C 在线段 AB 上，根据两点之间线段最短，则 C 是A，B，C 的中位点，正确；举一个反例，如边长为 3，4，5 的直角三角形 ABC，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点
11、的距离之和为 5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为 7，直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故错误；若四个点 A、B、C、D 共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一；故错误；如图，在梯形 ABCD 中，对角线的交点 O，P 是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得 PA+PB+PC+PDAC+BD=OA+OB+OC+OD，梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.正确.答案：.三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)16.(12 分)在等差数列a n中，a 1+a3
12、=8，且 a4为 a2和 a9的等比中项，求数列a n的首项，公差及前 n 项和.解析：设该数列的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则利用 a1+a3=8，且 a4为 a2和 a9的等比中项，建立方程，即可求得数列a n的首项，公差；利用等差数列的前 n 项和公式可求和.答案：设该数列的公差为 d，前 n 项和为 Sn，a 1+a3=8，且 a4为 a2和 a9的等比中项，2a 1+2d=8，(a 1+3d)2=(a1+d)(a1+8d)解得 a1=4，d=0 或 a1=1，d=3前 n 项和为 Sn=4n 或 Sn= .17.(12 分)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c
13、，且 2cos2 cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=- .()求 cosA 的值；()若 a=4 ，b=5，求向量 在 方向上的投影.解析：()由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出 A 的余弦值，然后求 sinA 的值；()利用 ，b=5，结合正弦定理，求出 B 的正弦函数，求出 B 的值，利用余弦定理求出 c 的大小.答案：()由可得 ，可得 ，即 ，即 ，()由正弦定理， ，所以 = ，由题意可知 ab，即 AB，所以 B= ，由余弦定理可知 .解得 c=1，c=-7(舍去).向量 在 方向上的投影： =ccosB= .18.(12 分)某算法的程序框
14、图如图所示，其中输入的变量 x 在 1，2，3，24 这 24 个整数中等可能随机产生(I)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 pi(i=1，2，3)；(II)甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行 n 次后，统计记录输出 y 的值为 i(i=1，2，3)的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据.甲的频数统计图(部分)乙的频数统计图(部分)当 n=2100 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；(III)将按程序摆图正确编写的
15、程序运行 3 次，求输出 y 的值为 2 的次数 的分布列及数学期望.解析：(I)变量 x 是在 1，2，3，24 这 24 个整数中随机产生的一个数，共有 24 种可能，由程序框图可得 y 值为 1，2，3 对应的情况，由古典概型可得；(II)由题意可得当 n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的 y 值为 1，2，3 时的频率，可得答案；(III)随机变量 的可能取值为：0，1，2，3，分别求其概率可得分布列和期望.答案：(I)变量 x 是在 1，2，3，24 这 24 个整数中随机产生的一个数，共有 24 种可能，当 x 从 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23
16、这 12 个数中产生时，输出的 y 值为1，故 P1= = ；当 x 从 2，4，8，10，14，16，20，22 这 8 个数中产生时，输出的 y 值为 2，故P2= = ；当 x 从 6，12，18，24 这 4 个数中产生时，输出的 y 值为 3，故 P3= = ；故输出的 y 值为 1 的概率为 ，输出的 y 值为 2 的概率为 ，输出的 y 值为 3 的概率为 ；(II)当 n=2100 时，甲、乙所编程序各自输出的 y 值为 i(i=1，2，3)的频率如下：比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大；(III)随机变量 的可能取值为：0，1，2，3，P(=0)=
17、 = ，P(=1)= =P(=2)= = ，P(=3)= = ，故 的分布列为：所以所求的数学期望 E= =119.(12 分)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，AB=AC=2AA 1，BAC=120，D，D 1分别是线段 BC，B 1C1的中点，P 是线段 AD 的中点.(I)在平面 ABC 内，试做出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l，说明理由，并证明直线 l平面 ADD1A1；(II)设(I)中的直线 l 交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，求二面角 A-A1M-N 的余弦值.解析：(I)在平面 ABC 内过点 P 作直线 lBC，根据线面平行
18、的判定定理得直线 l平面A1BC.由等腰三角形“三线合一”得到 ADBC，从而得到 ADl，结合 AA1l 且 AD、AA 1是平面 ADD1A1内的相交直线，证出直线 l平面 ADD1A1；(II)连接 A1P，过点 A 作 AEA 1P 于 E，过 E 点作 EFA 1M 于 F，连接 AF.根据面面垂直判定定理，证出平面 A1MN平面 A1AE，从而得到 AE平面 A1MN，结合 EFA 1M，由三垂线定理得 AFA 1M，可得AFE 就是二面角A-A1M-N 的平面角.设 AA1=1，分别在 RtA 1AP 中和AEF 中算出 AE、AF 的长，在 RtAEF中，根据三角函数的定义算出 sinAFE 的值，结合同角三角函数的平方关系算出cosAFE 的值，从而得出二面角 A-A1M-N 的余弦值.答案：(I)在平面 ABC 内，过点 P 作直线 lBC，直线 l 平面 A1BC，BC 平面 A1BC，直线 l平面 A1BC，ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，ADBC，结合 lBC 得 ADl，AA 1平面 ABC，l 平面 ABC，AA 1l，AD、AA 1是平面 ADD1A1内的相交直线，直线 l平面 ADD1A1；(II)连接 A1P，过点 A 作 AEA 1P 于 E，过 E 点作 EFA 1M 于 F，连接 AF，
