1、 中国好课堂 http:/ 中国好课堂数字题库 http:/ 年雅礼中学高三数学第一次模拟考试时量 120 分钟,满分 150 分.一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数 ( 为虚数单位 )， 是 的共轭复数，则 的值为（ B ）iz1zz1A. 1 B. C. D. 22122. 命题“存在 ，使 ”的否定是（A ）x4A. 对任意 ，都有 B. 对 ，都有 xx4xC. 存在 ，使 D. 存在 ，使2 23. 设随机变量 ，则 （ D ,1=0.3NP， 且 1=P）A0.4 B0.5 C0.6
2、D0.74已知 x， y 满足 的最大值是最小值的 4 倍，则 的值是（ B 2xzxya， 且 a）A B C D43414215. 双曲线 的一个顶点到一条渐近线的距离为 ，则双曲线的离心率2(0,)xyab 2a为（ D ）A. B. C. D. 232336. 五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（ C ）A12 B24 C36 D487. 如图所示的程序框图运行结束后，输出的集合中包含的元素个数为（ A ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 68. 已知数列 na为等比数列，且 2201304axd，则201420146的值为( C )A B C D 2
3、9. 某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（ C）中国好课堂 http:/ 中国好课堂数字题库 http:/ 视 图A B C D10.已知函数 ,则函数 的零点个数不可能是0)1(,)xfxf aexfg)(（D）A0 B1 C2 D3二、填空题：本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. （一）选做题：在 11,12,13 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分.11.如图，圆 A 与圆 B 交于 C、D 两点，圆心 B 在圆 A 上，DE为圆 B 的直径。已知 ，则圆 A 的半径为 4 。4,1E12.极坐标系下，P 为曲线 上的动点，
4、2sin()(0)aQ 为曲线 上的动点，若线段 长度的最小值为 ，则 的值为 3 。siPQ12a13.关于 的不等式 的解集非空，则实数 的取值范围是 .x1mxm)0,2(（二）必做题（1416 题）14. 如图在平行四边形 中，已知 ，ABCD8,4AD，则 的值是 4 .3,2CP15.某商品一直打 7 折出售，利润率为 ，购物节期间，该商品恢复了原价，并参加了%7“买一件送同样一件” 的活动，则此时的利润率为 .（注：利润率=(销售价格-成本)5成本）16. 等腰 中， ， 为 中点， ，则 面积的最大值为 ABCDDAC1BACD32。【解析】 956)0(8)45(2)145(
5、2,145cos 22 ttbSb三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 12 分）如图是函数 ()sin()0,)2fxAx图像的一部分。中国好课堂 http:/ 中国好课堂数字题库 http:/ 求出 的值； ,A（2） 当 时，求不等式 的解集。)20(x2)6()(2xfxf【解析】 （1） ,3（2）由 2sin4ixsincos0sin()04xx由 得 , .),0(5()432,818.（本小题满分 12 分）甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是 ，规定有一方累计 2 胜或者累1计 2 和时，棋局结束
6、。棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；若一方累计 2 胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军。设结束时对弈的总局数为 X.（1）设事件 A：“X=3 且甲获得冠军” ，求 A 的概率；（2）求 X 的分布列和数学期望。【解析】 （1）设 ：甲恰胜 2 局； ：和 2 局；1则 27831)(31)()()() 211 CPP（2） ； ；32X 942X9)()4(3A分布列为：X 2 3 4P 192数学期望： .6493E19（本小题满分 12 分）如图 1，在边长为 的正方形 中， ,且 ,且 ，21A 11/ACB3B4C分别交 于点 ，将该正方形沿 折叠，使得 与
7、重合，A1,CBQP, , 1A构成图 所示的三棱柱 ，在图 中：21CA2（1）求证： ；（2）在底边 上有一点 ，使得 平面M/，求点 到平面 的距离.PPA ABA1CB1A1 C1PQ（图 1）B（图2）ACB1A1C1PQM中国好课堂 http:/ 中国好课堂数字题库 http:/ （1）由 平面 得 ；由勾股定理得1BAC1B，从而证得 平面 ，从而CA PQAB（2）如图建系，由条件得 ，可求得平面 的7,3QP一个法向量为 。设 ，则),(nM，由题意有 ，0,4M0n解得 ，则 .733nAd中国好课堂 http:/ 中国好课堂数字题库 http:/ （本小题满分 13 分）
8、如图，抛物线 与椭圆 交于第一象限内一)0(2:1pxyC)2(14:22axyC点 ， 为抛物线 的焦点， 分别为椭圆 的上下MF21,F焦点，已知 。,OM（1）求抛物线 和椭圆 的方程；12（2）是否存在经过 M 的直线 ，与抛物线和椭圆分别交于l非 M 的两点 ，使得 ？若存在QP,F21请求出直线的斜率，若不存在，请说明理由。【解析】 （1）由题意得 ，分别代入抛物线和椭圆方3,1102MMyxyxp程得： ， .yC9:214:2（2）斜率不存在时显然不合题意，由 可设 ，)3,1(3)1(:xkyl直线与抛物线联立得： ，0962(22xkxk由韦达定理及 可得 ；1M)P直线与
9、椭圆联立得： ，)3(3()3( 22 kxkxk由韦达定理及 可得 。x26Q由 可得OFP21 096423MP，经检验符合题意。10)934)(kkk存在符合题意的直线，其斜率为 1。21.数列 满足 ，na),0(1)(*21Nncaann（1）证明：“对任意 ， ”的充要条件是“ ”),0( )43,0（2）若 ，数列 满足 ，设 ，,51cnbnnanbT21，若对任意的 ，不等式 的nnbR2 *,10N2015)5(TRk解集非空，求满足条件的实数 的最小值。k中国好课堂 http:/ 中国好课堂数字题库 http:/ （1）必要性： ，由 可得 ，由41)2(12ca)1,0
10、(a41,(2ca得 。),0(4,(c43,c充分性：用数学归纳法证明。时， ，由 ， ，得 ；1,2n已 知 ； 41)2(1ca)1,0(a)43,c)1,0(2a设 时，k),0(ka则当 时， ，由 ， ，得 ；)21ck ),(k),c),(1k从而，对任意 ， 。*Nn,(n综上，原题充要性得证。（2）由（1）知 ，所以：)1,0a；112112 5 nnnnnn aaRb )(1 11112 nnnnnna)()()(321 aaT，5nR对任意 有解，nkkn20150)(2 *,10Nn当 ， ；当 ，04243275.min中国好课堂 http:/ 中国好课堂数字题库 h
11、ttp:/ 13 分）已知函数 ，其中 .axxf2ln)( R（1）当 时，求函数的单调增区间。a（2） 为 在 处的切线，且 图像上的点都不在 的上方，求 的取值范围。l)(f0)(fl0x【解析】 （1）定义域为 ，当 ；当Rx,012)(xf 。故 ，2)(xf ,21)( 21 xxf从而 的单调递增区间为 .f ),0(,（2） ，xaf12)( )(: 00xfxfyl令 ，由题意， 恒成立。)()(00ffxg gxxff 212)()( 000时：若 ，则 ，若 ，则0x )()(0maxg)21()(0maxg时：若 ，则 ，若 ，则0x)21()(0axx)()(0ax综上，原条件等价于 且 ，易得 符合题意。)(0g)(0)(0g故 。令41)2ln()21( 2000 xxxg 041)2ln(0ttxt设 ，又)()()4)l(2thtthtth )(),(1)2(0)( 0xtgt
