1、运筹学试题样卷（一）题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分得分一、判断题（共计 10 分，每小题 1 分，对的打，错的打 X）1. 无孤立点的图一定是连通图。2. 对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定有最优解。 3. 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。4对偶问题的对偶问题一定是原问题。5用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与 0j对应的变量都可以被选作换入变量。6若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。7. 度为 0 的点称为悬挂点。8. 表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。 9. 一个
2、图 G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。10. 任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 二、建立下面问题的线性规划模型（8 分）某农场有 100 公顷土地及 15000 元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500 人日；春夏季 4000 人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为 25元 / 人日，秋冬季收入为 20 元 / 人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资 800 元，每只鸡投资 3 元。养奶牛时每头需拨出 1.5 公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为 100 人日，春夏季为 50 人日，
3、年净收入 900 元 / 每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季 0.6 人日，春夏季为 0.3 人日，年净收入 2 元 / 每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养 1500 只鸡，牛栏允许最多养 200 头。三种作物每年需要的人工及收入情况如下表所示：大豆 玉米 麦子秋冬季需人日数春夏季需人日数年净收入（元/公顷）205030003575410010404600试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中 54,x为松弛变量，问题的约束为 形式（共 8 分） 1x23x45x3x5/2 0 1/2 1 1/2 15/2 1
4、1/2 0 1/6 1/3jzc0 0 (1)写出原线性规划问题；（4 分）(2)写出原问题的对偶问题；（3 分）(3)直接由上表写出对偶问题的最优解。 （1 分）四、用单纯形法解下列线性规划问题（16 分）321maxxZs. t. 3 x1 + x2 + x3 60x 1- x 2 +2 x 3 10x 1+ x 2- x 3 20x 1, x 2 , x 3 0 五、求解下面运输问题。 （18 分） 某公司从三个产地 A1、A 2、A 3 将物品运往四个销地 B1、B 2、B 3、B 4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示：问：应如何调运，可使得总运输费最
5、小?销 地 产 地1B234产 量1A231089523674768252550销 量 15 20 30 35 100六、灵敏度分析（共 8 分）线性规划 max z = 10x1 + 6x2 + 4x3s.t. x1 + x2 + x3 10010x1 +4 x2 + 5 x3 6002x1 +2 x2 + 6 x3 300x1 , x2 , x3 0的最优单纯形表如下：6 x2 200/3 0 5/6 1 5/3 1/6 010 x1 100/3 1 1/6 0 -2/3 1/6 00 x6 100 0 4 0 -2 0 1j 0 8/3 0 -10/3 2/3 0(1)C1 在何范围内变
6、化，最优计划不变？(4 分)(2)b1 在什么范围内变化，最优基不变？ (4 分)七、试建立一个动态规划模型。 （共 8 分）某工厂购进 100 台机器，准备生产 p1 , p2 两种产品。若生产产品 p1 ，每台机器每年可收入 45 万元，损坏率为 65%；若生产产品 p2 ，每台机器 每年可收入 35 万元，损坏率为 35%；估计三年后将有新 的机器出现，旧的机器将全部淘汰。试问每年应如何安排生产，使在三年内收入最多？八、求解对策问题。 （共 10 分）某种子商店希望订购一批种子。据已往经验，种子的销售量可能为 500，1000，1500 或2000 公斤。假定每公斤种子的订购价为 6 元
7、，销售价为 9 元，剩余种子的处理价为每公斤3 元。要求：（1）建立损益矩阵；（3 分）（2）用悲观法决定该商店应订购的种子数。 （2 分）（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法决定商店应订购的种子数。 （5 分）九、求下列网络计划图的各时间参数并找出关键问题和关键路径。 （8 分）6812345756379342783十、用标号法求 V1 到 V6 的最短路。 （6 分）工序代号工序时间最早开工时间最早完工时间最晚开工时间最晚完工时间机动时间1-2 81-3 71-4 62-4 32-5 53-4 23-6 34-5 34-6 74-7 45-7 96-7 83V4V5V3V1V2V6465664
8、384运筹学试题样卷（二）题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分得分一、判断题（对的打，错的打 X. 共计 10 分，答在下面的表格中）1、单纯形法计算中，选取最大正检验数 k对应的变量 kx作为换入变量，可使目标函数值得到最快的减少。2、单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。 3、对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。 4、应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量 0ix，且 i所在行的所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。5、用位势法计算检验数时，每一行（或列）的位势的值是唯一的，
9、所以每一个空格的检验数是唯一的。6、动态规划的最短路问题也可以用图论中求最短路问题的方法求解。7、图论中的图是为了研究问题中有哪些对象及对象之间的关系，它与图的几何形状无关。8、 动态规划只是用来解决和时间有关的问题。 9、在画网络计划图时，允许有多个起点和多个终点。10、因为运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求其解也可能出现下列四种情况：有唯一最优解；有无穷多个最优解；无界解；无可行解。 10二、试建立此问题的数学模型。 （ 8 分 ）某工厂、三种产品在下一年个季度的合同预定数如下表所示，该三种产品第一季度初无库存，要求在在第四季度末每种产品的库存为 150 件。已知该厂每季度生产工时为
10、15000 小时，生产产品、每件需 3，4，3 小时。因更换工艺装备，产品在第二季度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品、每件每迟交一个季度赔偿 20 元，产品赔偿 15 元，又生产出来的产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费为 5 元。问应如何安排生产，使总的赔偿加库存费用最小。季 度产 品1 2 3 4 1500 1000 2000 1200 1500 1500 1200 1500 1500 2000 1500 2500三、用单纯形法求解线性规划问题 （ 16 分 ）Max Z = 1500 x1 + 2500 x2s.t. 3x1 + 2 x2 652 x1 + x2 403x2
11、75x1, x2 0四、写出下面线性规划的对偶问题 ( 8 分 )321minxz无 约 束321,0,457x；五 、求解下面运输问题。 （ 18 分 ） 某公司从三个产地 A1、A 2、A 3 将物品运往四个销地 B1、B 2、B 3、B 4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示问：应如何调运，可使得总运输费最小?六、灵敏度分析（ 8 分 ）销 地产 地1B234产 量1A3 11 3 10 721 9 2 8 437 4 10 5 9销 量 3 6 5 6 20线性规划 32154maxxz0,536213的最终单纯形表如下： jc4 1 5 0 0BCXb
12、x23x45x4 1x5 1/3 0 1/3 1/35 33 0 1 1 1/5 2/5j 0 8/3 /3 2/3（1） x的系数 C1 在什么范围变化，上述最优解不变？（4 分）（2）b 2 在什么范围变化，最优基不变？（4 分）七、建动态规划模型。 （8 分）某公司拥有资金 10 万元，若投资于项目 i (i1，2，3) 的投资额为 xi 时，其收益分别为 g1(x1)=4x1 , g2(x2)=9x2 , g3(x3)=2x32 ,问应如何分配投资数额才能使总收益最大? 八、解决对策问题。 （10 分）根据已往的资料，一家超级商场每天所需面包数（当天市场需求量）可能是下列当中的某一个：
13、100，150，200，250，300，但其概率分布不知道。如果一个面包当天卖不掉，则可在当天结束时每个 0.5 元处理掉。新鲜面包每个售价 1.2 元，进价 0.9 元，假设进货量限制在需求量中的某一个，要求（1）建立面包进货问题的损益矩阵；（3 分）（2）用乐观法确定进货量。 （2 分）（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法确定进货量。 （5 分）九、用双标号法求下列图中 1V到 9的最短路线及其长度。 （ 6 分 ）十、下图是商业中心建设项目的网络计划图，请用标号法计算出表中的各个参数，最后指出关键问题，并画出关键线路。 （8 分，直接答在下面）2开工时间 完工时间工序时间最早 最晚 最早 最
14、晚机动时间A （20）B （ 10）C （8）D （24）E （ 8）AB C DG HEFJI31 4 5 9 106 872010 8 24 81410 61261V 9V52V4V67V84 323483331 2213运筹学样卷（一）答案一、判断题。共计 10 分，每小题 1 分 10X X X X 二、建线性规划模型。共计 8 分（酌情扣分）解：用 321,x分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数； 54,x分别表示奶牛和鸡的饲养数； 76分别表示秋冬季和春夏季的劳动力（人日）数，则有 76432 20290460ma xZ )7,21(0 )(150243.50475 )(61320
15、15.473211jxxxxj 鸡 舍 限 制牛 栏 限 制劳 动 力 限 制劳 动 力 限 制资 金 限 制土 地 限 制三、对偶问题。共计 8 分解：（）原线性规划问题： 3216maxxz0,3521；4 分（）原问题的对偶规划问题为：2105inywF （14）G （10）H （6）I （ 12）J （6）0,1263y； 3 分（）对偶规划问题的最优解为： )2,4(YT 。1 分四、单纯形表求解线性规划。共计 16 分解：引入松弛变量 x4、 x5、 x6， 标准化得， 321maZs. t. 3 x1 + x2 + x3+ x4 = 60x 1- x 2 +2 x 3 + x5
16、= 10x 1+ x 2- x 3 + x6 = 0x 1, x 2 , x 3， x4、 x5、 x6， 03 分建初始单纯形表，进行迭代运算： 9 分2 -1 1 0 0 0CB Xb b x1 x2 x3 x4 x5 x60 x4 60 3 1 1 1 0 0 200 x5 10 1 -1 2 0 1 0 10*0 x6 20 1 1 -1 0 0 1 201 0 2* -1 1 0 0 00 x4 30 0 4 -5 1 -3 0 7.52 x1 10 1 -1 2 0 1 0 -0 x6 10 0 2 -3 0 -1 1 5*2 20 0 1* -3 0 -2 00 x4 10 0 0 1 1 -1 -22 x1 15 1 0 0.5 0 0.5 0.5-1 x2 5 0 1 -1.5 0 -0.5 0.53 25 0 0 -1.5 0 -1.5 -0.5由最优单纯形表可知，原线性规划的最优解为： ( 15 , 5 , 0 )T 2 分最优值为： z*=25。2 分
