1、第七节 傅立叶(Fourier)级数,问题的提出 三角函数系的正交性 函数展成傅立叶级数 正弦级数和余弦级数 小结、作业,1/27,一、问题的提出,正弦函数,简单的周期现象,2周期三角级数。,非正弦周期函数能否表为不同频率正弦波的叠加,2/27,二、三角函数系的正交性,三角函数系,在2长周期区间上具有正交性：,任两个不同函数的乘积在2长周期区间上积分=0：,3/27,三、函数展成傅里叶级数,问题:,1.若能展开, 是什么?,2.展开的条件是什么?,1.傅里叶系数,4/27,5/27,傅里叶系数:,傅里叶级数:,问题:,6/27,2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理),注意:,函
2、数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.,7/27,解,(所给函数满足狄利克雷充分条件.,8/27,根据收敛定理，有,函数图象,和函数图象,9/27,观看：u( t ) 不同频率正弦波分量的叠加过程,10/27,观看：u( t ) 不同频率正弦波分量的叠加过程,11/27,观看：u( t ) 不同频率正弦波分量的叠加过程,12/27,观看：u( t ) 不同频率正弦波分量的叠加过程,13/27,观看：u( t ) 不同频率正弦波分量的叠加过程,14/27,注: 对2 长区间上定义的非周期函数 f(x) 也可展成2 周期傅氏级数。,作法:,15/27,解,16/27,*利用傅氏展开式求数
3、项级数的和：,17/27,四、正弦级数和余弦级数,由,18/27,解,（为奇函数，傅氏级数为正弦级数）。,由狄氏充分条件，有,函数的图象,19/27,和函数的图象,观察两函数图形,20/27,解,（为偶函数，傅氏级数为余弦级数）,21/27,(0, )、(0, 、0, )、0, 上的非周期函数 既可展成2 周期正弦级数又可展成余弦级数.,1. 正弦级数展开:,2. 余弦级数展开:,22/27,解,(1) 正弦级数展开.,23/27,(2) 余弦级数展开.,24/27,问：,(0, )、(0, 、0, )、0, 上的非周期函数 f (x)的2 周期傅氏级数只能是正弦级数和余弦级数?,例:,25/27, 长区间上函数的2 周期傅氏级数展开式有无穷多个。,26/27,五、小结,1. 三角函数系的正交性；,2. 傅里叶系数；,3. 狄利克雷充分条件；,4. 2长区间上非周期函数的傅氏展开式。,5. 奇函数和偶函数的傅氏级数。,6. 0到上非周期函数的2周期傅氏级数展开。,27/27,作 业,习题11-7 1-(1) 2-(2) 6,
