1、第三章 平板介质光波导理论,引言3.1 光波的电磁场理论3.2 光在平板介质波导中的传输特性,引言,从理论上说，平板介质光波导是一种最简单的光波导形式，可以运用电磁场的基本理论，将平板介质波导处理为边界条件，从而得到数学上简单、物理上容易理解的基本光波导的有关方程。一旦熟悉了这种介质光波导的一般方法，就不难从数学上深入认识圆形光波导（如光纤）和其它形状的光波导分析介质波导的一般方法是根据介质波导的边界条件求解麦克斯韦方程，得出有关光场传播模式的表示式；传播模式可以分为偶阶的和奇阶的横电波（ TE ）和横磁波 ( TM ) ；由传播模式的本征方程或特征方程得出与模有关的传播常数。然后求出传输模的
2、截止条件、相位延迟等与波导有关的参数，分析平板介质波导的实际意义在于，许多半导体光电子器件和集成光学是以平板介质波导作为工作基础的。如，异质结半导体激光器和发光二极管正是利用异质结所形成的光波导效应将光场限制在有源区内并使其在输出方向上传播。,3.1 光波的电磁场理论,一、基本的电磁场理论 麦克斯韦方程组,(3,1 1a ),(3.1 - 1b ),(3.1 - 1c ),(3.1 - 1d ),设介质是均匀且各向同性的，且假设在低场强下不足以产生非线性效应，并且不考虑在半导体介质中实际存在的色散效应，而认为和与光波的频率无关。,(3.1 - 3a ),(3.1 - 3b ),(3.1 - 4
3、),在非铁磁性的半导体中，在可见与红外波段范围内，可以认为相对导磁率r = 1。同时，电磁波在时间上是交变的，在交变电磁场下，可以认为电阻率为无穷大，因而可忽略传导电流密度J 。基于上述简化的假设，麦克斯韦方程组可简化为,(3,1 5a ),(3.1 - 5b ),(3.1 - 5c ),(3.1 - 5d ),二、光学常数与电学常数之间的关系,(3.1 - 8),(3.1 - 9),(3.1 - 10),E和H的方程可以分别分解为三个独立的标量波动方程,(3.1 - 12),(3.1 - 13),(3.1 - 14),最简单的情况是设光波的电矢量沿y方向偏振、沿z方向传播的平面电磁波，即有
4、E = Ey、Ex = Ez = 0。Ey在z方向以角频率 = 2发生周期变化，因为只在z方向有空间变化，故有/x = /y = 0 由式(3.1 13)可以得到以z和t作为函数的Ey：,(3.1 - 15),将式(3.1 15)代入式(3.1 13)得到,(3.1 - 16),(3.1 - 17),(3.1 - 18),故波动方程(3.1 13)的解为,(3.1 - 19),如果只取正z方向传播的波，则其三角函数的行波表达式为,(3.1 - 20),将式(3.1 20)代入式(3.1 5b)可求出与Ey相垂直的磁场分量Hx为,(3.1 - 21),根据波传播的概念，式(3.1 20)和式(3
5、.1 21)还可分别表示为,(3.1 - 22),(3.1 - 23),式中为光波波长，2(t z/)称为位相。由于式(3.1 22)和式(3.1 23)中不出现坐标x与y，因此与z轴相垂直的某一平面内各点具有相同的位相。等相位面为平面的光波称为平面光波。将式(3.1 20)与式(3.1 22)比较，就可得出传播常数为,(3.1 - 24),3.2 光在平板介质波导中的传输特性,一、平板介质波导的波分析方法,1 光在对称三层介质板波导中传播,在 z = 0 处是半导体与空气的界面，x = 0 处是有源层的中线。设波导沿y方向是无穷的，故有/y = 0 。对于TE模，有Ez = 0,利用/y =
6、 0 及,(3,1 5a ),(3.1 - 5b ),可以得出：Hy = Ex = 0因此，只有y方向电场存在利用分离变量法对波动方程(3.1 13)求解，便可得到平板介质波导的场模表示式为,其中Ey(x)及模传播常数满足,(3.2 2),(3.2 l),(3.2 2),该方程的解为,式中Ae和Ao为常数,表示为,的物理意义： Ey在x方向的传播常数,将麦克斯韦方程组应用到厚度为、长为dl的一个界面面积元ds = dl内，就得到电场或磁场的边界条件： E1l = E2l (3.2 5) H1l = H2l (3.2 6)即电场和磁场的切向分量在界面上必须是连续的,(3.2 3),(3.2 4)
7、,2偶阶TE模式的本征值方程,(3.2 l),(3.2 3),在 x d/2)的指数解是实数而不是虚数，即,(3.2 2),故在有源区外的电场分量为,(3.2 11),(3.2 9),由,(3.2 12),(3.2 11),(3.2 12),式中为衰减系数，与传播常数有如下关系；,(3.2 13),这种在垂直于结平面方向 x d/2的区域内指数衰减的场称为消失场，更确切地称为倏(shu, 极快地;疾速地)逝场(evanescent)。其特点是在界面上不产生相位的变化，场的指数衰减不是由介质吸收所引起的，而是由于在一定深度范围内进入限制层（折射率为n1）的入射光能量完全反射回有源层中引起的，这在
8、古斯一亨森（ Goos - Honche 。）的实验中得到了证实，因此消失场是一种平行于界面运动的均匀界面波。,在 x = d/2 处，利用,可以得出偶阶 TE 模的本征值方程；,(3.2 10),(3.2 12),(3.2 15),本征值是不能用显函数表示的未知量,为说明模式数目和截止条件等性质，将上式改写为,(3.2 16),将式(3.2 8)和式(3.2 13)相加消除，得到,(3.2 8),(3.2 13),(3.2 17),(3.2 16),(3.2 17),则,表示的是一个圆方程：,(3.2 18),(3.2 19),根据式(3.2 18)和式(3.2 19)作图，就可得到如图3.
9、2 - 3所示的图。两个曲线的交点即为偶阶 TE 模的本征值方程(3.2 15)的解,(3.2 18),(3.2 19),存在于波导中的模数是与圆半径 R 成正比的，随着有源层的折射率n2、厚度d和波数k0与的增加以及与有源层毗邻的限制层折射率n1的减少，存在于波导中的传输模式数增加,由,(3.2 17),可以求出偶阶 TE 模截止的d值，即式(3.2 19)为零时所对应的d值,(3.2 19),将Y=0、X=m、k0=2/0代入(3.2 17)，则偶阶 TE 模截止的d值为,(3.2 20),偶阶 TE 模截止的d值为,(3.2 20),可见，要想使半导体激光器工作在基横模，其有源层厚度应小
10、于某一允许值（通常d 2 )，则至少出现4个TE模，,图 3 . 2 一 6 表示出头 4 个模的模场分布。,二、平板介质波导的射线分析法,1光在异质结界面上的反射和透射,设一单色平面光波由折射率为n2的光密介质入射到折射率为n1的光疏介质(n2 n1)，如图3.2 7(a)所示。为简单起见，用指数形式表示沿x和z 轴正向传播的平面光波的电场：,(3.2 41),电场的偏振方向可以是任意的，但总可以分解为平行于和垂直于入射面（即纸面）的两个偏振分量在前面所讨论的三层平板介质波导中，已认定电场只有Ey分量，而光波是横电磁波，故磁场是在垂直于传播方向而平行于纸面的方向上偏振。,根据式(3.2 4)
11、和图3.2 7(b)在x方向的传播常数和z方向传播常数与光束入射角i之间的关系为,(3.2 4),(3.2 42),(3.2 43),(3.2 44),(3.2 41),因此，可以将入射、透射和反射的电场分别表示为,(3.2 45),(3.2 46),(3.2 47),(3.2 45),(3.2 46),(3.2 47),由电场的边界条件，要求在z = 0处，光在第二种介质中入射和反射光电场强度切向分量之和等于第一种介质透射光电场的切向分量，即,该连续性条件适用于任何时刻和所有的z值，,该连续性条件适用于任何时刻和所有的z值，,斯涅尔(Snell)折射定律。,(3.2 49),(3.2 51)
12、,(3.2 52),(3.2 9),(3.2 45),利用表示磁场Hx与电场Ey的关系式(3.2 9)和入射场的公式(3.2 45)，可以得到,(3.2 54),反射波和折射波与入射波振幅比值的关系式 菲涅尔公式。,考虑到0 = 1和k0/ = 1/c,(3.2 55),同样，可以将反射和透射波的磁场强度写为,(3.2 56),(3.2 57),磁场在 x = 0 处的切向分量连续的条件为,(3.2 55),(3.2 56),(3.2 57),(3.2 58),将式(3.2 55)、(3.2 56)和(3.2 57)代入式(3.2 58)，就得到,(3.2 59),利用式(3.2 49)和式(
13、3.2 51)，就可以得到反射波相对于入射波的电场振幅反射率或振幅反射系数,(3.2 49),(3.2 60),(3.2 51),同样，利用式(3.2 49)和式(3.2 51)，可由式(3,2 59)得到电场的振幅透过率或振幅透射系数,(3.2 49),(3.2 51),(3.2 61),(3.2 60)和(3.2 61)为电场矢量垂直于人射面的菲涅尔公式。,(3.2 60),可以看出，电场的振幅反射率和振幅透过率是入射角i的函数,当光束垂直于界面入射，i = 0，则由式(3.2 60)和式(3.2 61),(3.2 61),电场矢量垂直于人射面的菲涅尔公式,(3.2 60),(3.2 62
14、),一般常用的是功率反射率而不是振幅反射率，因此应取式(3.2 62)的平方,(3.2 63),在垂直入射下，式（ 3 . 2 一 61 ）变为,(3.2 61),电场矢量垂直于人射面的菲涅尔公式,(3.2 60),(3.2 64),由式(3.2 61)和式(3.2 -64)都可以看出，当光由光密介质向光疏介质入射时(n2 n1)，其振幅透过率 t 1。但可以证明，磁场的振幅透过率比较小，因此，总的功率(或能量)的透过率，仍小于1。,2全反射,(3.2 60),由式(3.2 60)可以看出，当光从折射率大的介质向折射率小的介质入射(n2 n1)时，随着入射角的增加，电场的振幅反射率也增加(因为
15、cost下降的速度要比cosi下降的速度快)，当入射角大到某一值时，振幅反射率迅速趋近于 1 ，这一现象被称为全反射。为了区分光从光疏介质入射到光密介质在一定条件(i=90)下所产生的“掠人射”，而把在某一入射角下光从光密介质向光疏介质传播，在界面上所产生的全反射称为全内反射，产生全内反射的入射角称为临界入射角或临界角。,(3.2 52),从斯涅尔定律(3.2 52)求得全内反射的临界入射角，（达到全反射时，折射角t = /2，这时的入射角为临界入射角,(3.2 65),2全反射,(3.2 60),(3.2 52),当i c时，由(3.2 52)，sin i 1,(3.2 66),将其代入式（
16、 3 . 2 一 60 ）后取复数场反射率的平方，均能得到功率反射率,因此，只要满足i c，都能产生光的全反射。,(3.2 60),但另一方面，当i = c时，由式(3.2 60)和(3.2 61)得到,(3.2 61),(3.2 67),说明，即使是全反射，在折射率小的一侧介质中的电场并不为零。还可以证明，在达到全反射条件时，磁场也不在界面上中断，而是渗入折射率小的一侧介质中，这种渗透的场即为前面所述的消失场从物理意义上讲，这种消失场是一种衰减场，因此式(3.2 66) 应该取负号，而将电场的复反射率写为,(3.2 66),(3.2 68),令,(3.2 70),(3.2 66),由式(3.
17、2 66)可以得到,(3.2 69),(3.2 46),将式(3.2 69)代入式(3.2 -46)就可得到全反射情况下消失场的表达式,(3.2 71),可以看出，消失场是一个沿透射方向随指数 exp(-x)衰减的场，不过这种衰减不是由于介质的吸收引起的，而是因为所有的入射能量完全坡反射回光密介质中的缘故 。,3反射相移和古斯 - 亨森(Goos Hanchen)位移,光从光密介质向光疏介质入射，当入射角大于临界角入射时，发生入射能量的全反射。但另一方面在深入光疏介质的一个很小(波长量级)的薄层内存在的消失场也为实验证实。对这一矛盾现象的解释只能是全反射界面向光疏介质推移了一个距离，或在介质面
18、上反射点从入射点沿反射面移了一段距离。这早在 1947 年就为古斯一亨森所发现。由于反射点有位移，反射场相对于入射场就有相位差或反射相移。,当i c，场反射率变成了复数(3.2 68) 。可以将它表示成一实数和一复数ei之积，即为,(3.2 68),(3.2 72),r 反射场与入射场振幅之比， 反射场Eyr相对人射场Eyi所产生的相位变化（相移）。在全反射条件下振幅反射率r = 1，因而有,(3.2 73),式中,运用欧拉公式变换(3.2 73)式，可以得到,(3.2 73),(3.2 74),因而反射相移为,(3.2 75),利用式(3.2 42)、(3.2 43)，(3.2 74)可以写
19、成,(3.2 42),(3.2 43),(3.2 76),(3.2 70),再由式(3.2 70)，,(3.2 77),运用欧拉公式变换(3.2 73)式，可以得到,(3.2 73),(3.2 74),因而反射相移为,(3.2 75),利用式(3.2 42)、(3.2 43)，(3.2 74)可以写成,(3.2 42),(3.2 43),(3.2 76),(3.2 70),再由式(3.2 70)，,(3.2 77),古斯 - 亨森从实验上证明，在满足全反射的条件下，由介质界面反射光束在入射平面内有空间移动，常以反射点在界面上移动的距离2Zg 和消失场渗透深度Xg对古斯 - 亨森移动作定量描述，
20、,求古斯 - 亨森位移的方法很多。根据科格尔尼克的方法，可以得到,(3.2 86),(3.2 4),(3.2 42),(3.2 43),(3.2 44),(3.2 70),取透射场衰减到界面场强的1/e处与界面的距离为消失场渗透深度：,(3.2 87),4.平板介质波导模式,在图3.2 - 9表示三层非对称平板介质波导中，n2 n1 n3，入射在两界面上的全反射临界角分别为,(3.2 65),(3.2 88),(3.2 89),因为n1 n3，所以c1 c3，因此只有入射角 大于c1的光束才能在波导中传播。,在两个界面上，反射光相对于入射光会产生相移，其值由式(3.2 75)分别给出：,(3.
21、2 90),(3.2 91),因为n1 n3，所以n12 n32 ，3 1,(3.2 75),式中,在波导中每一允许的模式代表一簇稳定传播的平面波列。同一波阵面(波前)上各点必须具有相同的相位，该簇各波阵面之间应该是无畸变的再现。如图3.2 9(b)所示，波前AC上各点(对后面的波前来说，可视为点源)通过直接途径AB或经过在两边界面上相继的两次反射到达波前BD，这两种途径的光程差可以由图3.2 9(b)中的几何关系得到,为了使经过两种不同途径而到达同一波前上光线之间相干，要求上面所表示的光程差以及由两次全内反射所造成的附加光程差之和为波长的整数倍,(3.2 92),(3.2 93),(3.2
22、94),(3.2 93),1和3分别为式(3,2 90)和(3,2 91)表示的反射相移,将式(3.2 93)改写为相位之间的关系为,要使光束在两个界面上均产生全反射必须使,(3.2 88),(3.2 95),(3.2 90),(3.2 91),即,将式(3.2 -95)代人式(3.2 94)，得到在此波导中所能允许的模式数：,(3.2 95),(3.2 96),说明：反射相移影响波导中传输的模式,(3.2 94),(3.2 90),(3.2 91),因为3 1，可以将式(3.2 -96)近似为,(3.2 97),(3.2 90),(3.2 91),(3.2 97),1. 随着有源层厚度d的减少，能允许传播的波导模式也减少，即高阶模相继被截止。当d小到某一值时，使得m 0，这时基模也可被截止。,2. 当n1 = n3，对应于对称波导情况。当入射角i = c1 = c2时，有1 = 3 = 0，由式(3.2 93)，,(3.2 88),(3.2 89),(3.2 93),令 m = 0，则(0)m=0 = ，这说明对称波导中，任何频率都可以传输，当然也包括基模。,3.3 矩形介质波导,
