1、平淡中出奇 玄妙里生花一道宁波中考选择题赏析浙江省宁波市鄞州实验中学 315100 蔡卫兵浙江省宁波国家高新区教育教学研究室 315040 邹锦丽 题目 如图 1 是一个由 5 张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为 S1，另两张直角三角形纸片的面积都为 S2，中间一张正方形纸片的面积为 S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为A. 4S1 B. 4S2 C. 4S2+S3 D. 3S1+4S3 此题图文结合，简洁明了，以直角三角形和正方形为素材，以赵爽弦图的适当变形与平方差公式的几何解释图形的合理组合为背景，以生成的动态平行四边形面积的定
2、值为问题核心，着重考查学生的数学分析能力与数学基本素养，在问题解决的过程中突出考查学生的符号意识、图形变换的方法和归纳探索、逻辑推理、空间想象等各种能力，让学生体会数学的无穷魅力。特色一 熟而不俗，平中出奇初看本题，似曾相识。它取材于教材中的赵爽弦图（如图 2）和平方差公式的几何解释图形（如图 3）及 2015 年宁波市中考试题第 12 题：如图 4，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成 3 个正方形和 2 个长方形后仍是中心对称图形若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（ ）A B C D 对学生来说属于“熟题”，教材在探索平方差公式和勾股定理时利用了面
3、积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，印象极其深刻。平时例、习题（2015 年宁波市中考试题）考查矩形、正方形、中心对称图形的性质及数与式、定值问题，将符号意识、方程思想、整体思想、数形结合思想、转化思想和平移方法融汇在基本图形中，更多地关注学生的思维能力和创新精神、洞察力，是融 PISA 理念和初中数学思想于一体的典型范例。命题者从熟悉的图形和教材背景出发，抓住核心条图 1图 2 图 4图 3件进行适当变式，一是将赵爽弦图中的大正方形一般化，将四个全等的直角三角形特殊化，将平方差公式的几何解释图形中正方形、长方形分割化，将 2015 年中考试题中
4、部分三角形隐形化；二是将直角三角形三边关系探究生成整体图形与局部图形面积关系探究，将乘法公式的发现、验证生成运用乘法公式探究面积关系，将局部周长定值问题探究生成整体面积定值问题探究，对陈题实施科学、有效、合理的改编，是古典与现代巧妙的结合，对面积关系的猜想、结论的判断、推理与证明，实现对学生几何直觉、几何推理能力的有效考查。老问题新考法的命题理念，彰显了命题者创新的智慧，通过对教学资源进行深入研究和拓展，对教材内容进行适当的延伸和整合，丰富教学资源的内涵，实现其应有的教学价值的同时让学生对试题顿生亲切感，面对试题有了大显身手的愿望。特色二 解法多元，彰显个性本题突出了“数”与“形”的有机联系，
5、彰显了美和真的和谐统一。题目条件文本与图形组合同步呈现，要求考生能够边读文本，边读图，边思考，让学生经历知识的发生与发展过程，方法与规律的概括过程，解题思路灵活多样，精彩纷呈，创意无限。解法 1：符号意识。设等腰直角三角形的直角边长为 a，正方形边长为 b，则S1= ，S 2= ，S 3= ，a)(21)(bab2所以平行四边形面积=2S 1+2S2+S3= 。故选 A。解法 2 特殊值法。设正方形边长为 1，等腰直角三角形的直角边长为 2，则S1=2，S 2= ，S 3=1，平行四边形面积 =2S1+2S2+S3=4+3+1=8，利用选项进行排除。故选A。解法 3 等积转化。如图 5，连接
6、AC、BD、EF，设 AC 与 BD 的交点为 O。因为四边形 ABCD 为平行四边形，则 OA=OC，OB=OD，平行四边形 ABCD 的面积= 。AOD4S易证四边形 BFDE 为平行四边形，则 EF 过 BD 的中点 O。易证 EFAD，所以 ，1E所以平行四边形 ABCD 的面积= 4S 1，故选 A。 解法 4 图形变换。方法一 如图 6，将两张等腰直角三角形纸片拼成面积为 2S1 的正方形，另两张直角三角形纸片拼成面积为 2S2 的矩形。再由图 7 可知 2S2+S3=2S1 或由图 8 可知 2S1-S3=2S2，由此14S图 5ODABCFE平行四边形面积=2S 1+2S2+S
7、3=2S1+2S1=4S1，故选 A。方法二 如图 9，将一张等腰直角三角形纸片分割成标号分别为和的两部分，将标号为的直角三角形放置到标号为的位置，将标号为的直角梯形放置到标号为的位置，将标号为的正方形放置到标号为的位置，将标号为的等腰直角三角形放置到标号为的位置，由此可知平行四边形 ABCD 的面积等于等腰直角三角形 AFG 的面积。因为AF=2AE，所以 ，所以平行四边形 ABCD 的面积= 4S 1，故选 A。由此可见，本题给一些有潜力的学生创造性地使用图形解决问题，挖掘新思路，寻求新方法留下创造的空间，同时也诱发学生在解题灵感中展现数学的精彩和魅力。特色三 能力立意，凸显核心命题充分渗
8、透新课程的教育理念，作为有一定区分度的选择最后一题，内容丰富而生动，立意深刻有内涵，必须突出数学的本质，紧扣核心知识，在核心知识的交汇处涉及试题。此题以能力考查为导向，蕴涵探究味，试题不仅考查了学生的阅读理解能力、观察分析能力、拼图实践能力，还考查了学生的直觉思维能力、灵活变形能力，策略选择能力。从知识层面看，主要考查了直角三角形、等腰直角三角形、正方形、平行四边形的性质，三角形、平行四边形面积的计算公式，纸片的拼图，线段的和差，图形变换，平方差公式等知识，这些知识都是初中数学的核心知识，具有一定的综合性。从方法层面看，此题核心的解题方法是在数形结合思想方法的引领下，利用上述基础知识，借助符号
9、意识、代数推理、转化思想、图形变换、面积法等数学思想方法来解决有关问题，体现了直观感知和理性思考的结合，具有一定的灵活性。从经验层面看，图形是数学信息的载体，更是催生数学解题智慧的摇篮，问题解决的过程是一个动态操作、尝试猜想、联想决策、运算验证的过程，解决此题需要学生具有一定的基本活动经验，让学生在图形的变化（等腰直角三角形的大小、正方形的大小、等腰直角三角形与正方形的位置关系、平行四边形的形状与2S22S1S3图 62S22S1S3图 82S22S1S3图 7图 9GFEDCBA 1AEDFG4S大小的可变性）中抓住不变的本质（平行四边形面积与等腰直角三角形面积之间关系的确定性），引导学生用
10、数学的眼光观察、用数学的思维分析；改变数学学习只死做题，而不洞察问题本质的偏差；改变数学教学只教知识本身，而不关注知识间联系的偏差，较好的体现了对课堂教学中解题教学的关注。因此，注重基础知识、基本素养和基本能力的考查，直指学生的核心素养是中考的导向。特色四 变中不变，玄里生花由 两张等腰直角三角形纸片、两张直角三角形纸片、一张正方形纸片拼图操作获取平行四边形的感知，由符号意识、代数推理、等积转化、图形变换等活动积累经验，结 合 平行 四 边 形 的 不 稳 定 性 ， 显 然 通 过 题目载体的改变和条件的弱化仍可获得不变的核心特征，由此进一步提升知识关联和思维接轨的能力，可谓朴实蕴藏奇异 ，
11、简单透出真情。借 助 “从特 殊 到 一 般 ， 再 从 一 般 到 特 殊 ”的 常 用 数 学 探 究 方 法 ， 对 这 道 中 考 试 题 研 究 的 逐 步 深 入 ， 可将问题进行如下变式：问题 1 如图 10 是一个由 5 张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰三角形纸片（AE=AH，CF=CG）的面积都为 S1，另两张三角形纸片的面积都为 S2，中间一张菱形纸片的面积为 S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为A. 4S1 B. 4S2 C. 4S2+S3 D. 3S1+4S3问题 2 如图 11 是一个由 5 张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间
12、互不重叠也无缝隙，其中两张全等直角三角形纸片的面积为 S1，另两张直角三角形纸片的面积都为 S2，中间一张矩形纸片的面积为 S3，若这个平行四边形的面积一定可以表示为 4S1，则AB、BC、AH、AE 之间有何关系？（ ）AHEBC问题 3 如图 12 是一个由 5 张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张全等三角形纸片的面积为 S1，另两张三角形纸片的面积都为 S2，中间一张小平行四边形纸片的面积为 S3，若 ，则这个大平行四边形的面积还一定可以表示为 4S1吗？显然，试题的改编和修正着眼于学生现有的知识水平和能力储备，形状“变”了，大小“变”了，位置“变”了，但图形基
13、本构件及问题本质“没变”，问题的解决思路“没F变”，解题方法也“没变”，符合学生的常规思维和认知规律，在此过程中既关注了知识的融合创新，又注重了学生的迁移能力与应变能力，关注学生的数学素养与持续发展，体现“含而不露”的命题情怀。 参考文献1陈德前.一道江苏省泰州市中考试题赏析J。中国数学教育（初中版），2015（9）：57-60。2吴彤.熟而不俗 韵味悠长J。中学数学教学参考（中旬），2014（8）：28-29。作者简介 蔡卫兵，男， 1976 年生，浙江宁波人，中学高级教师，主要从事初中数学课堂教学与初中数学解题等方面的研究。在中学数学杂志中学数学教学参考数学教学中学数学数学通报等杂志上发表教学论文多篇。
