1、 新东方网（高考）频道 http:/ http:/ 2013 年湖南文科数学分析撰写人：曾立军 刘志雄就文科生而言得数学者得天下，文科数学是很容易考高分或低分的，刚刚结束的2013 年高考又验证了这一点。今年文科数学难度总体和去年持平，但考生看到试卷会更亲切一点，因为相比较去年，今年试卷的结构、题型更加传统，基本上考的是学生的学习态度和习惯，也就是说只要平时专注于基础知识、基本能力和基本思想方法，特别是能把新东方课堂上所讲的经典题型消化，讲义上的题吃透的考生，这次拿到试卷都笑得特别开心。今年文科数学的特点：容易题求稳、中档题求变、难题求深，充分体现了高考数学作为选拔性考试的特点，但千万不要把题
2、型新颖，求变创新的较难题作为片面追求偏题、怪题等邪路的理由，在新东方的课堂，我们不止一次地强调方向比方法重要，方法比技巧重要。比如：【新东方向量讲义】设向量 ,abc满足 1,b， ，若 满足0ac，则 的最大值等于（ ） 0acbAA1 B2 C 2 D解析：解法 1 , , 由此可知 ，将 展开得，ab02ab0acbA.设 与 c的夹角为 ， ，故当 时，abcAoscs1的最大值 2解法 2 因为 ，所以 与 相互垂直，又因为 ，所以0acbacbab构成的四边形是圆内接四边形， 是此四边形的一条对角线.当 时直径时，,ab c新东方网（高考）频道 http:/ http:/ c达到最
3、大值，此时圆内接四边形是以 为邻边的正方形，所以 c的最大值为 2.,ab解法 3 因为 是平面内两个相互垂直的单位向量，所以可以 作为基底建立直角坐标,ab ,ab系， ，设 ，则 . 由10,cxy1,1cxycxy得 ，所以 ，cA1022从而 ，当 时取等号，又 c，故 c的最大值2xyxyxy解析：平时我们强调向量的运算，可以用向量的代数运算、几何运算或坐标运算分别求解，这次 2013 年文科数学第 8 题，也是拉分的一道题以接近原题的形式出现【2013 湖南高考文科数学第 8题】已知 ， 是单位向量， =0，若向量 满足ababc=1，则 的最大值为（ ）cabcA B. C. D
4、. +2212212还有把一部分考生拒之门外的 19 题，也是倒数第三题【2013 湖南高考文科数学第 19题】设 为数列 的前 项和，已知 ， ，nSna10a12nnaS*N（1） 求 ，并求数列 的通项公式12,n（2） 求数列 的前 项和n解（1）令 ，得 ，即 ，因为 ，所以211a21a10a1令 ，得 ，解得n222S2当 时，由 ， 两式相减得 ，即nn11nS12nna12n于是数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，因此，a 所以数列 的通项公式为n 12na新东方网（高考）频道 http:/ http:/ （2）由（ 1）知， 12na记数列 的前 项和为 ，于是n nB2
5、13.nB21n两式相减， ，所以21n21nnB这道数列题比较基础，是围绕着定义进行的考察，在平时多训练数列常规题目，碰到这道题就不会陌生，在我们新东方的课堂中，就进行过反复训练，学生掌握程度较好，下面就是几道相同类型的题目【新东方春季讲义】 （2012 年浙江文）已知数列 的前 项和为 ,且nanS，数列 满足 .2*,nSNnb*24log3,nbN（1）求 ；nab（2）求数列 的前 项和 .nnT解析：【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的概念,通项公式以及求和公式等基础知识,同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力.（1）由 ,得2nS当 时, 13a;当 时,21nn
6、S22(1)()41nn, .*N由 ,得 .24log3ab*,N（2）由（ 1）知 1(4)2nna,所以 137.nnT,新东方网（高考）频道 http:/ http:/ 232371.412nnT,4(.)n(45)2n(5)n, .*N【新东方一模试题】数列 的前 项和为 ， ， .求数列nanS1anS(*)N的通项.na接下来我们看看压轴题【2013 湖南高考文科数学第 21题】已知函数 21()xfxe（1） 求 的单调区间（2） 证明：当 （ ）时，12()fxf12x120x解（1）函数 的定义域为 ，(,)222 22()1(1)()xx xxfxeee当 时， ；当 ，
7、0x()0f()0fx所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为f(,(,)（2）当 时，由于 ， ，故1x2xxe)fx同理，当 时， ，当 时，不妨设 ，由（1）知，()0f1212()(f2x， ，下面证明： ， ，即证1(,0)x2,x0,)x()fx221e此不等式等价于新东方网（高考）频道 http:/ http:/ 1()0xe令 ，则1()xge2 )g当 时， ， 单调递减，从而 ，即0,x()0()x()gx10xe所以 ，(,1)x()fx而 ，所以 ，从而20,22(f12()fxf由于 ， 在 上单调递增，所以 ，即1(,)xx,012x120x也居然出现在新东方课堂，
8、以重点知识反复强调【新东方二模试题】已知函数 xaxxf )2(ln)(（1）讨论 的单调性；)(xf（2）设 ，证明：当 时， ；0aax10)1()(xaff解析：（I） ()(,)fx的 定 义 域 为 (21)2.xax（i）若 单调增加., (0,)f则 所 以 在（ii）若 10()afxa则 由 得且当 1(,().xfx 时 当 时所以 单调递增，在 单调递减. )fa在 (（II）设函数 则1(),gxffxa32()ln1)l.1axx当 .0,()0,(),()0gg时 而 所 以故当 ，1xa时 .fxfa新东方网（高考）频道 http:/ http:/ 偶然还是必然？
9、我想这个问题还是交由我们的上帝去判断。接下来我们看看常规题目三角函数，今年文科的三角仍保持稳定，在去年的基础上发生一些变化，但重点仍是三角函数的恒等变形及图像性质，今年又特意考察了解三角不等式，正好加强了对图像性质的深入考察，预计明年的考法仍是三角函数恒等变形及图像性质和解三角形，所以作为明年的学生要多加强这方面的训练，做到三角函数 360 度无死角.【2013 湖南高考文科数学第 16题】已知函数 ()cos()3fxx（1） 求 23（2） 求使 成立的 的取值集合1()4fxx解析：（1） 4123cos3cos23 f（2） xxxxxf cosin3csin1cos 4132cosi
10、n43214等价于 ，即 .于是xf 1cosx0x.解得Zkk,232 Zk,1225故使 成立的 的取值集合为 41xfx kxx,1考察三角求值、诱导公式、三角变形以及利用三角图象解不等式.【新东方二模试题】已知函数 22()53cosin4sico3fxxx（1） 求 ()2f（2） 求值域、单调区间。新东方网（高考）频道 http:/ http:/ （3） 解不等式： 。()2fx接下来我们谈谈立体几何，今年文科的立体几何，仍然是保持不变，第一问证明垂直，第二问求体积，与往年以及全国各地的考法大同小异，在我们的课堂中，反复讲解练习，学生掌握程度较好，一般问题不大，第二问求体积又是新瓶
11、装老酒，换汤不换药，通过我们课堂的不断训练，掌握程度不错. 预计明年的考法不会有太多的变化，作为明年的考生，一定要把立体几何作为常规题型反复练习【2013 湖南高考文科数学第 17题】如图，在直棱柱 中， ， , , 是 的1ABC09ABC2AC13DBC中点，点 在棱 上运动E（1） 证明： 1D（2） 当异面直线 所成的角为 时，,ACE06求三棱锥 的体积1B解析：（1）因为 ， 是 的中点，所以 .2ACDBACD又在直棱柱 中， ,而 ，所以1BAC平 面1 B平 面1AD由，得 ，所以C1平 面 1DE(2)因为 ,所以 是异面直线 ， 所称的角，由题设，1AEAC.160ACE
12、因为 ,所以 ,又 ,从而190B11B1,于是 .11ACE新东方网（高考）频道 http:/ http:/ 故 ，又 ,112cos60ACE2111BCAB所以 .1B从而 .11 12333ABECABEVS三 棱 锥这道题几乎和去年湖南立体几何题一摸一样，同时也在新东方的课堂上讲解过【新东方春季讲义】 （2012 湖南文）如图 6，在四棱锥 中， ，底PABCDABC面 是等腰梯形， .ABCD/,ABCD（1）证明： ；P（2）若 ,直线 与平面 所成角为4,2PA03，求四棱锥 的体积。ABCD【新东方春季讲义】 （2012 陕西）直三棱柱 中1ABC， 1AB90CAB（1）证
13、明 ;1（2）已知 求三棱锥 的体积.2,5,1CAB接下来我们再看看解析几何，主要考察了点关于线的对称，点到直线的距离以及均值不等式求最值【2013 湖南高考文科数学第 20题】已知 分别是椭圆 : 的左、右焦点， 关于直线 的对称12,FE215xy12,F20xy点是圆 的一条直径的两个端点.C（1） 求圆 的方程新东方网（高考）频道 http:/ http:/ （2） 设过点 的直线 被椭圆 和圆 所截得的弦长分别为 ，当 最大时，求直2FlEC,ab线 的方程l解析（1）由题设知， 的坐标分别为 ，圆 的半径为 ，圆心为 关12,2,0C2O于直线 的对称点 .0xy设圆心的坐标为
14、，由 解得 ，所以圆的方程为0,xy012xy02xy.224x(2)设直线 l 的方程为 ,则圆心到直线 L 的距离 ，所以xmy21md，由 得 ，2241bd215xy2540y设 l 与 E 的两个交点坐标分别为 ，则12,，12124,55myyA于是 2222211151maxmy从而 22222285858541411mb当且仅当 ，即 时等号成立224m3m故当 时， 最大，此时，直线 的方程 或3abl2xy32xy新东方网（高考）频道 http:/ http:/ 【新东方二模试题】若不同两点 的坐标分别为 ，则线段 的垂,PQ(,)3,)abaPQ直平分线 的斜率为 ,圆
15、关于直线对称的圆的方程为 .l 22()(3)1xy【新东方押题卷】如图，一束光线从点 出发，经直线 上一点1,0F:230lxy反射后，恰好经过点 .P2(,0)（1）求以 为焦点且经过点 的椭圆 的方程；12,FPC解析：（1）设 关于 对称点为 ，l(,)Fmn则 且 .2nm9230,25所以， .9(,)5F由已知， .1222aPFPa故方程为 .2xy【新东方春季讲义】 （2012 浙江理）如图，椭圆 C：2+1xyab（ ）的离心率为012，其左焦点到点 的距离为 不过原点 的直线 与 相交于 两点，且(2,1)P0Ol,AB线段 被直线 平分ABO（1）求椭圆 的方程；C（2） 求 的面积取最大时直线 的方程PlxyPF1 F2Ql
