1、1,前面我们实际上学习了量子力学的四个基本原理：,原理3 体系状态的波函数可以用算符的本征 函数来展开,原理2 力学量可以用厄米算符来描述,原理1 微观体系的状态可以用波函数完全描述,原理4 体系状态的波函数要满足Schrdinger 方程。,今天我们开始学习第五个基本原理-,全同性原理,2,5.5 全同粒子系统 和波函数的交换对称性,1、全同粒子,经典粒子：,有轨迹，可分辨,概念：,在量子力学中，把固有性质如电荷、质量、磁矩、自旋等内禀属性完全相同的粒子称为全同粒子。,3,性质,用量子力学的的第五个基本原理描述-,全同性原理：,全同粒子体系的状态不因粒子的交换而改变,全同粒子具有的性质：,任
2、何可观测量，特别是Hamiltonian量，对于任何两个粒子的交换是不变的，即交换对称性。,两个例子：,4,例1,He原子中两个电子组成的体系（我们只研究电子的运动规律）,电子的Hamiltonian表达式可以写为,两电子动能,两电子与核库仑能,两电子相互作用能,显然当两个电子交换时，Hamiltonian不变。设交换算符为P12，则有,故,?,5,例2,考虑N个全同粒子组成的多粒子体系，其量子态用波函数,来描述。,若Pij表示第i个粒子与第j个粒子的全部坐标变换，即,6,根据全同性原理，有,但,而,所以,（想一想，为什么？）,7,可见，全同粒子满足下列关系之一：,（交换对称）,（交换反对称）
3、,结论：,对全同粒子波函数的一个很强的限制，即,全同粒子的波函数对两个粒子的交换要么是对称的，要么是反对称的。这一点务必记住！,8,全同粒子交换算符的本征态,对于全同粒子，由前述可知,比如对任意全同粒子系的波函数,9,？,即在此情况下，我们推不出,或,试分析。,(-1)2|kij ,以反对称波函数为例：,|jki(-1)1|kji,|kij,10,事实上，对全同粒子体系来说，所有的Pij所处的地位应该是相同的。唯一可能的选择是量子态是所有Pij的共同本征态。,这种共同本征态是存在的-完全对称波函数或完全反对称波函数。,既然所有Pij都是守恒量，所以其对称性不随时间变化,即全同粒子的统计性质(B
4、ose或Fermi统计)是不变的。,11,全同粒子的分类,所有的基本粒子可分为两类：,1）玻色子：,如介子（s=0）、光子（ s=1 ）等。,12,2）费米子：,波函数对粒子的交换是反对称，遵从Fermi-Dirac统计的粒子。,3）复杂粒子：,由基本粒子组成，视其总自旋而定。,奇数个费米子组成的粒子仍为费米子；,由偶数个费米子或玻色子组成的粒子均为玻色子。,如电子、质子、中子等，s=1/2,13,如：,质量数（核子数）,质子数,中子数,核子数为偶数，玻色子,核子数为奇数，费米子,一般粒子的标记：,只考虑原子核，不考虑电子,14,全同粒子波函数的构造方法,在忽略粒子间相互作用的情况下，完全对称
5、和反对称波函数可通过单粒子态基矢乘积形式构造出来；,若有相互作用，则可按无相互作用基矢进行展开。,我们下面分别以双全同粒子体系和 N 全同粒子体系为例来进行说明。,?,15,2、两个全同粒子组成的体系,简介,忽略相互作用，Hamiltonian可表为,故,则有,16,则它们组成的双粒子态,对应的能量都是,-能量交换简并,按照全同粒子波函数的特点,-满足交换对称,但任意两粒子态的乘积不一定满足这种交换对称，比如,如何构造对称波函数？,针对不同体系！,17,波函数的构造,1）对玻色子， 交换对称，分两种情况,a.,归一化波函数可表成,（量子态不同）,其中,18,b.,（量子态相同）,这是自然的结果
6、。,2）对费米子， 交换反对称，归一化波函数 可表成,归一化波函数可表成,以上两种情况所构造的波函数都是交换对称的。,19,同样，,由上式可知，,则,（不存在）,泡利不相容原理,20,泡利不相容原理：,在全同费米子体系中，不可能有两个或两个以上的粒子处于同一个单粒子态中（包括坐标、自旋量子数完全相同）,统计排斥性,全同性原理对散射体系的影响,设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态，,本征值为,讨论它们在空间距离的几率分布,21,（1）无交换对称性,两粒子的波函数可表示为,作变换,以及,上式中,相对坐标,质心坐标,相对动量,质心总动量,（或不考虑交换对称性）,22,则,质心运动（不考虑）,相对运
7、动（研究目标）,此时波函数 可表为,23,即,令其等于,24,（2）考虑交换反对称波函数,-费米子,根据前述,现在让,25,这样由前面的知识可知,26,27,即,这就是两全同粒子波函数交换反对称时在空间相对距离的几率分布，见下图。,28,（3）考虑交换对称波函数,-玻色子,此时,同理可得,见下页图。,29,可以看出，在空间波函数对称情况下，两个粒子靠近的几率最大，而在交换反对称的情况下两个粒子靠近的几率最小。无交换对称时，,30,这说明，玻色子统计吸引，费米子统计排斥,说明交换对称性只在两单粒子波函数交叠处起作用，即此时才明显地体现出交换对称性。,注意：,全同粒子相对距离的几率分布与波函数的交
8、换对称性密切相关。,这是可观测效应，尤其在电子-电子散射及介子-介子散射中，这种全同性效应可观测到。,31,3、N个全同费米子体系,波函数的特点：,反对称,(1)先考虑三个全同费米子体系，无相互作用，,设三个粒子处于不同的单粒子态,其中k1,k2,k3表示量子数集,即波函数可以用单粒子态波函数来进行展开,即不仅仅表示动量，还可能同时表示其它量子数，如自旋量子数等。,32,其中,则反对称波函数为,称为反对称算子。,33,(2)考虑N个全同费米子体系,设N个全同费米子体系处于不同的单粒子态,同样k1,k2, ,kN表示量子数集，,则,34,其中,称为反对称算子。,对N个粒子，单粒子态有N个。,排列
9、数？,N !个,P表示允许的置换,奇置换,偶置换,上述行列式称为Slater行列式。,为归一化因子。,表示奇偶置换性的量,35,比如原序1 2 3,则,231123,偶置换（2次）,321123,奇置换（1次）,很明显，所有置换奇偶各半。,此时,-1 奇置换,1 偶置换,p=,36,4、N个全同玻色子体系,波函数的特点：,对称,由于不受Pauli原理的限制，可以有任意数目的粒子处于同一状态。,n1个粒子,n2个粒子,37,P指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而构成的置换。,这种置换共有,因此归一化对称波函数为,比如也可以有,如何理解 ？,38,这些置换可以分为两部分：,（2）各态之间置
10、换-这是要求的，共有P 个,因而有下式:,对所有粒子，总共有置换 个,（1）各态内部置换-各有 个,共有 个,故,39,特例：,（1）N=2粒子体系，单粒子态有2个,粒子的填充情况有两种,对称波函数有两个（见前面的讨论）,40,（2）N=3粒子体系单粒子态有3个,则对称波函数可以写为,这种对称态有1个,111,41,则对称波函数可以写为,这种对称态有6个，即,210,书写方式同,42,则对称波函数可以写为,这种对称态有3个，即,300,书写方式同,43,全同粒子波函数的这种表达方式比较繁琐，比较方便的方法是二次量子化和占有数表象,全同粒子状态遵从全同性原理。这是因为：,全同粒子不可追踪，即不能编号。但为了描述方便又必须编号，交换对称性这种表达形式的目的就是使这些编号不起作用。,作业：,P161 思考题1P162 5, 6,
