1、#*经典易错题会诊与 2012 届高考试题预测(二)考点-2 函数 (1)函数的定义域和值域函数单调性的应用函数的奇偶性和周期性的应用反函数的概念和性质的应用借助函数单调性求函数最值或证明不等式综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题反函数与函数性质的综合经典易错题会诊命题角度 1 函数的定义域和值域 1(典型例题)对定义域 Df、D g的函数 y=f(x)，y=g(x)，规定：函数 h(x)=gffxxgf 且当 且当 且当)(1)若函数 f(x)= 1,g(x)=x2，写出函数 h(x)的解析式 ;(2)求问题(1)中函数 h(x)的值域考场错解 (1)f(x) 的定义域 Df为(-，1
2、)(1，+)，g(x)的定义域 Dg为R.h(x)= )1(1),()(2xxx(2)当 x1 时，h(x)= 12x=x-1+ 1x+24或 h(x)= 1x(-，0)(0，+) h(x)的值域为(4，+)，当 x=1 时，h(x)=1综合，得 h(x)的值域为14，+专家把脉 以上解答有两处错误：一是当 xD f但 xDg时，应是空集而不是x1二是求 h(x)的值域时，由 x1 求 h(x)=x-1+ 1x+2 的值域应分 x1 和 x1，则 x-10，h(x)2 )1(x+2=4当且仅当 x=2 时等号成立若 x1，则 x-12a，B=(2a，a+1),B A，2a1 或 a+1-1即
3、a 21或 a-2 而 a1， 21a1 或 a-2 故当 B A 时，实数 a 的取值范围是(-，-2) 21，1.专家把脉 由函数的概念知函数的定义域为非空集合，所以错解中 a=1 时 B= ，说明函数不存在，因此 a=1 不适合对症下药 (1)由 2- 3x0，得 1x0，x2a，B=(2a，a+1)，B A，2a1 或 a+1-1，即 a 21或 a-2而 a 23专家把脉 求集合 N 时解不等式 1- 12x0 两边同乘以(x-1)不等号不改变方向，不符合不等式性质，应先移项化为 )(gf0 的形式再转化为有理不等式，求解，另外定义域不可能为非空集合N= 显然是错误的对症下药 (1)
4、由 2x-30，得 x 23M=x|x 23由 1- 12x0 得10)(3013xxx3 或 x 2x|x3 或 x1=x|x3MN=x|x 23x|x3 或 x1=x|x 23或 x0 Dy|y0考场错解 选 A 或 B专家把脉 错误地认为是求函数 y=2-x和 y= 1x的定义域的交集实际上是求两函数的值域的交集对症下药 集合中的代表元素为 y，两集合表示两函数的值域，又M=y|y=2 -x=y|y0，P=y|y= 1x=y|y0MP=y|y0，故选 C专家会诊1. 对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围，必须对字母酌取值情况进行讨论，特别注意定义域不能为空集。2求
5、函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的#*制约作用考场思维训练1 若函数 y=lg(4-a2x)的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是 ( )A(0，+) B(0，2)C(-，2) D(-，0) 答案：D 解析：4-a .0,24.2402 aRaxxx 上 恒 成 立在的 解 集 为2 已知函数 f(x)的值域是-2，3，则函数 f(x-2)的值域为 ( )A-4，1 B0,5C-4，10，5 D-2，3 答案：D 解析：f(x-2)的图象是把 f(x)的图象向右平移 2 个单位.因此 f(x-2)的值域不变.3 已知函数 f(x)=lg(x2-2mx+m+2)
6、(1)若该函数的定义域为 R，试求实数 m 的取值范围答案：解析：(1)由题设，得不等式 x2-2mx+m+20 对一切实数 x 恒成立，=（-2m） 2-4(m+2)0，g(x)=x 2+2(1-a)x-2a0 在-1，1上恒成立即 0)1(ga或=4(1-a) 2+8a0 或 .0)1(2ga#*解得：a故 f(x)在-1，1上不可能为单调函数专家把脉 上面解答认为 f(x)为单调函数,f(x)就只能为单调增函数，其实 f(x)还有可能为单调减函数，因此应令 f(x)0 或 f(x)0 在-1，1上恒成立对症下药 f(x)=e x(x2-2ax)+ex(2x-2a)=exx2+2(1-a)
7、x-2a f(x)在-1，1上是单调函数(1)若 f(x)在-1，1上是单调递增函数则 f(x)0 在-1，1上恒成立，即 exx2+2(1-a)x-2a0 在-1，1上恒成立e x0g(x)=x 2+2(1-a)x-2a0 在-1，1上恒成立，则有 0)1(ga或=4(1-a)2+8a0 或 0)1(ga 解得，a(2)若 f(x)在-1，1上是单调递减函数，则 f(x)0 在-1，1上恒成立e xx2+2(1-a)x-2a0 在-1，1上恒成立e x0h(x)=x 2+2(1-a)x-2a0 在-1，1上恒成立则有 .4304310)1( ah 当 a ，+时，f(x)在-1，1上是单调函
8、数2(典型例题)已知函数 f(x)=ax+ 12(a1)(1)证明：函数 f(x)在(-1，+)上为增函数；(2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根考场错解 (1)设-1x 1x 2，f(x 2)-f(x1)=ax2+ 1212xaxax2-ax1+122x0f(x)在(-1，+)上是增函数(2)设 x0为方程 f(x)=0 的负数根，则有 ax0+ 120x=0即 ax0= 120x=-1+ 130x， x 0-1，当-13，-1+ 03x2，而 aa x0f(x1)而只是象征性地令 f(x2)-f(x1)0 这是许多学生解这类题的一个通病第(2)问错在把第(1)问的条件当成第(2)
9、问的条件，因而除了上述证明外，还需证明 x00，又 a1，a x2-x11而-10，x 2+10f(x 2)-f(x1)0f(x)在(-1，+)上为增函数(2)设 x0为方程 f(x)=0 的负数根，则有 ax0+ 120x=0即 ax0= 1)(3200xx-1+.130x显然 x0-1，当 0x 0-1 时，1x 0+10， 013x3，-1+ 013x2而 a1-1 的解当 x00 矛盾即不存在 x01 时，x 3-ax0 在(- ,0)上不可能成立专家把脉 上面解答根本没有按复合函数单调性法则进行判断，而只是考虑函数的定义域，这样的答案肯定是错误的对症下药 设 (x)=x3-ax#*当
10、 0a1 时，依题意,(x)在(- 21，0)上单调递减且 (x)在(- 21，0)上大于 0 (x)=3x 2-a.即 (x)0 在(- ，0)上恒成立 a3x 2在(- ，0)上恒成立x(- 1，0)3x 2(0， 43).a 43此时 (x)0 a1 时， (x)在(- 21，0)上单调递增， (x)=3x 2-a0 在(- ，0)上恒成立a3x 2在(- 1，0)上恒成立又 3x2(0， 43)a0 与 a1 矛盾a 的取值范围是 ，1.故选 B.专家会诊1.讨论函数单调性必须在定义域内进行，因此讨论函数的单调性必须求函数定义域2函数的单调性是对区间而言的，如果 f(x)在区间(a，b
11、)与(c，d)上都是增(减)函数，不能说 f(x)在(a，b)(c，d)上一定是增(减)函数3设函数 y=f(u)，u=g(x)都是单调函数，那么复合函数 y=fg(x)在其定义域上也是单调函数若 y=f(u)与 u=g(x)的单调性相同，则复合函数 y=fg(x)是增函数；若 y=f(u)，u=g(x)的单调性相反，则复合函数 y=fg(x)是减函数列出下表以助记忆y=f(u)u=g(x)y=fg(x) 上述规律可概括为“同性则增，异性则减” 考场思维训练1 函数 f(x)对任意实数 x 都有 f(x)1,又f(x 2)0.f(x 1)=f(x1-x2)+x2=f(x1-x2) f(x2)f
12、(x2).f(x)为 R 上的减函数，解不等式 f(x+5) )(1xff(x)0, 不等式等价于 f(x+5) f(x)1.即 f(2x+5)f(0),又f(x)为减函数，2x+51 时，要使 f(x)在区间2，4 上是减函数，则有： aa4180)4(21#*当 0f(cos )B：sin 3cos f(sin 3)f(cos 3)C：sin1cos1 f(sin1)f(cos1)故正确答案 C 2(典型例题)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在(-，0)上是减函数，且 f(2)#*=0，则使得 f(x)0 的 x 的取值范围是 ( )A(-，2)B(2，+)C(-，-2)(2，+
13、)D(-2，2)考场错解 C f(-x)=f(x)0=f(2)x2 或 x-2专家把脉 以上解答没有注意到偶函数在对称区间的单调性相反错误地认为 f(x)在0，+上仍是减函数，导致答案选错对症下药 D f(x)是偶函数，f(-x)=f(x)=f(|x|)f(x)0f(|x|)f(2)又f(x)在(-，0)上是减函数，f(x)在0，+上是增函数，|x|2 -2x2选 D 3(典型例题)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 y=f(x)的图像关于直线 x= 21对称，则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_考场错解 填-f(0) f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(-x)=-
14、f(x)又 f(x)的图像关于 x= 21对称f(x)=f(1-x) f(-x)+f(-x+1)=0f(x)+f(x-1)=0f(5)+f(4)=0f(3)+f(2)=0f(1)+f(0)=0f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=-f(0)专家把脉 上面解答忽视了奇函数性质的运用即 f(x)在 x=0 处有定义 f(0)=0对症下药 填 0 依题意 f(-x)=-f(x)f(x)=f(1-x)f(-x)=-f(1-x) 即 f(-x)+f(1-x)= 0 f(x)+f(x-1)=0 f(5)+f(4)=0，f(3)+f(2)=0 f(1)+f(0)=0又f(x)在 x=0 处有定义
15、，f(0)=0f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=f(1)=-f(0)=O. 4(典型例题)设函数 f(x)在(-，+)上满足 f(2-x)=f(2+x)f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间0，7上，只有 f(1)=f(3)=0(1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性；(2)试求方程 f(x)=0 在闭区间-2005，2005上根的个数，并证明你的结论考场错解 依题意 f(x)=f(4-x)f(x)=f(14-x)f(4-x)=f(14-x)，f(x)=f(x+10)f(x)是以 10 为周期的函数,f(3)=0f(-3)=f(7)=0f(3)=f(-3)=-f(3)f(x)既是
16、奇函数又是偶函数(2)由(1)知 f(x)是周期为 10 的周期函数，又 f(3)=f(1)=0，f(11)=f(13)=f(-)=f(-9)=0故 f(x)在0，10上有两个解，从而可知函数 y=f(x)在0，2005上有 401 个解-2005，0上有 401 个解，所以函数丁 y=f(x)在-2005，2005上有 802 个解专家把脉 (1)对题意理解错误，题设中 “在闭区间0，7上，只有 f(1)=f(3)=0”说明除了 f(1)、f(3)等于 0 外再不可能有 f(7)=0(2)因 f(x)在 R 上既不是奇函数，又不是偶函数不能认为 x0，10，-10，0上各有两个解，则认为在0，2005与在-
