1、#*经典易错题会诊与 2012 届高考试题预测（十）考点 10空间直线与平面空间直线与平面的位置关系空间角空间距离简单几何体利用三垂线定理作二面角的平面角求点到面的距离折叠问题经典易错题会诊命题角度 1空间直线与平面的位置关系1 （典型例题）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面ABCD，PD=DC ，E 是 PC 的中点，作 EFPB 于点 F.（1 ）证明：PA/平面 EDB；（2 ）证明：BP平面 EFD；（3 ）求二面角 CPDD 的大小.考场错解 第（2）问证明：PD=DC ，E 为 PC 的中点，DE PC，DF 在平面 PBC 上的射影为 EF
2、，又由已知 EFPB，所以根据三垂线定理可得：DFPB，又 EFPB，PB平面 EFD。专家把脉 直线在平面上的射影的概念理解错误，只有 DEPC ，不能得出 EF 为 DF在面 PBC 上的射影，应先证明 DE平面 PBC，才能得出 EF 为 DF 在面 PBC 上的射影，再利用三垂线定理。对症下药 （1）如图，连接 AC、AC 交 BD 于 O，连接 EO。底面ABCD 为正方形，O 为 AC 的中点，在 PAC 中，EO 是中位线，PA/EO ，又 EO 平面 EDB，且 PA 平面 EDB，所以 PA/平面EDB；（2 ） PD 平面 ABCD，平面 PDC平面 ABCD，又底面 AB
3、CD 为正方形，BC CD，BC平面 PCD，BCDE，又 DEPC ，DE平面 PBC，DF 在平面 PBC 上的射影为 EF，又 EFPB，DFPB，又 PBEF，PB 平面 DEF；（3 ）由（2 ）知，PBDF ，故EFD 是二面角 CPBD 的平面角。由（2）知，DEEF ，PD DB ，设正方形 ABCD 的边长为 a 则PD=DC=a，BD= 2a，PB= 3a，PC= 2a,DE= 1PC= ,在 RtPDBk ,OF=#*aPBD36.在 RtEFD 中，sinEFD= 23DFE,EFD= .3所以二面角 CPBD 的大小为 .2 （典型例题）下列五个正方体图形中，l 是正
4、方体的一条对角线，点 M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 l面 MNP 的图形的序号是_.( 写出所有符合要求的图形序号)考场错解 由于 l 在 MN、NP、MP 所在的面内的射影分别为各面正方形的对角线，由正方形的性质可得 lMN，lMP ，l NP ，（1 ）中 l 面 MNP；（2）中 l 在下底面的射影与 MP 垂直，l MP ，l 面 MNP；（3）中取 AB 的中点 E，连接ME、NE，l 在下底面的射影垂直于 EN，l EN ，l 面 MEN，lMN，同理lMP，l面 MNP；（4）中 l 在面 ADD1A1 上的射影与 MP 垂直，lMP，l面 MNP；（5）中取 AA1
5、 中点 E，连接 ME，EP，l 在面 ADD1A1、面ABB1A1 内的射影分别与 ME， EP 垂直，l ME，l面 MP，得 l面 MPN；综合知，本题的答案是（1） 、 （ 2） 、 （3） 、 （4 ） 、 （5）专家把脉 直线与平面垂直的判定有误，证一条直线与一个面垂直，应该证明这条直线与该平面内的两条相交直线垂直，而错解中只证一条垂直，所以出错。对症下药 （1）中 l 在面 ADD1A、A 1B1C1D1，内的射影分别为 AD1，B 1D1，而AD1MN，B 1D1MP，l MN，lMP, l 面 MNP；（ 2）中若 lMN,则取 AA1的中点 E，连接 ME、NE，l 在面
6、ADD1A1 内的射影为 AD1 而 AD1ME，lME，结合 lMN，得 l面 MEN，lNE,这显然不可能，l 与 MN 不可能垂直，l 与面MNP 不垂直；（3）类似（2）的证明，可得 l 与面 MNP 不垂直；（4 ）中 lMP 易证，而 MNAC，l AC，lMN ，l面 MNP；（5）中取 AA1 中点 E，连接ME，PE，可证得 l面 MEP，lMP，同理可证 lNP ，l面 MNP，综上知，本题的正答案是（1） 、 （4） 、 （5） 。3 （典型例题）如图 10-4 所示，在正三棱锥 ABCD 中，BAC=30，AB=a ，平行于 AD、BC 的截面 EFGH 分别交 AB、
7、BD、DC、CA 于 E、F、G、H。（1 ）判定四边形 EFGH 的形状，并说明理由；（2 ）设 P 是棱 AD 上的点，当 AP 为何值时，平面 PBC平面 EFGH，请给出证明。考场错解 （1）AD平面 EFGH，又平面 ACD 平面EFGH=HG，AD HG，同理 ADEF，EFHG，同理 EHFG，四边形 EFGH 为平行四边形；（2 ）取 AD 中点 P，连接 BP、CP，ABCD 为正棱锥，所以BPAD ，CPAD ，AD 面 BCP，又由（1）知 HGAD，HG面 BCP，P 为所求，此时 AP= 2a.专家把脉 正三棱锥的性质不熟悉而出错，正三棱锥的相对的棱互相垂直；正三棱锥
8、的三个侧面是等腰三角形不是等边三角形。对症下药 （1）AD面 EFGH，面 ACD 面 EFGH=HG， ADHG，同理 EFAD，#*所以 HGEF，同理 EHFG， EFGH 为平行四边形。又 ABCD 为正三棱锥，A 在底面 BCD 上的射影 O 是BCD 的中心，DOBC，根据三垂线定理，ADBC，HGEH，四边形 EFGH 为矩形；（2 ）作 CPAD 于 P 点，连接 BP，ADBC，AD面 BCP，HG AD，HG 面 BCP，又 HG 面 EFGH， 面 BCP面 EFGH，在 RtAPC 中，CAP=30，AC=a, AP= a23.专家会诊解线面位置关系的题目，首先要熟悉各
9、种位置关系的判定方法及性质，其次解题时应将判定与性质结合起来，多用分析法，如要证 a 则过 a 作一平面 ，使 =b ，再证 ab；第三要善于转化，如两条羿面直线是否垂直，要用三垂线定理将其转化为两相交直线是否垂直。线面的位置关系是立体几何的基础，学习时应予以重视。考场思维训练1 如图 10-5 所示的四个正方体图形中，A、B 为正方体的四个项点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB平面 MNP 的图形的序号是_ .(写出所有符合要求的图形序号)答案： 解析：中平面 MNP/平面 AB， AB/平面MNP；中取下底面中心 O，MP 的中点 C，连接 NO，NC，则由已知 AB/N
10、O，ABNCAB面 MNP；中 AB/MP,AB/平面 MNP；中 AB面 MNP填2 如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=AA 1，E 是棱 BB1 的中点。（1）求证：平面 A1EC 平面 AA1C1C；答案：连接 A1C 与 AC1 交于点 F，则由条件可得 EC1=EA1，则 EFAC 1，同理 EC1=EA，则EFA 1C 所以 EF 上平面 AA1C1C，而 EF 平面 A1EC，所以平面 A1EC平面 AA1C1C.（2 ）若把平面 A1EC 与平面 A1B1C1 所成锐二面角为 60时的正三棱柱称为“黄金棱柱” ，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱” ，并说明理由。答
11、案：延长 CE 交 C1B1的延长线于点 H，则有 C1B1=B1H=A1R1,故HA 1C1=90且CA 1H=90，所以CA 1C 为平面 A1EC 与平面 A1B1C1所成的锐二面角的平面角，若此棱柱为“黄金棱柱” ，则 CA 1=60, 应有 CC1= 3与条件 AB=AA1矛盾此三棱柱不为“黄金棱柱” （3 ）设 AB=a，求三棱锥 A-A1EC 的体积。答案： VA 1-A1EC=VE-AA1C= 3EF 2AA1AC3 已知正三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两互相垂直，G 是侧面PAB 的重心，E 是 BC上的一点，且 BE= BC，F 是 PB 上一点， 且#*PF= 31PB
12、，如图（1 ）求证：GF平面 PBC；答案：连接 BG 并延长交 AP 于 M，由 C 为 APAB 的重心，则 MG= 31BM，又由PF=，GF/MPAPBP,APCPAP平面 PBC，GF 平面 PBC（2 ）求证：EF BC；答案：在侧面 PBC 内作 FD/PC 交 BC 于 DPF= 31PB,DC= 31BC.又 BE= 31BC,DE= 31BC.故 BE=DE，E 为 BD 的中点，由PBC 为等腰三角形，得FBD 也为等腰三角形FB=FD EFBC（3 ）求证：GE 是异面直线 PG 与 BC 的公垂线。答案：GF平面 PBC，且 EFBC，GEBC，连 PG 交 AB 于
13、 H，则 GH= 31PH，过 C 作GN/AB 交 PB 于 N，则 BN= 31 PBPHAB，PGAB，PGGNBN= 31PB， BE= BC，NE/PC，而 PC 上平面 PAB， NE平面 PAB，又 PG 面PAB，NE PG，又 PGGN，PG平面 GEN，而 GEC 平面 GENPGGE ，又由GEBC，GE 是异面直线 PG 与 BC 的公垂线命题角度 2空间角1 （典型例题）如图 10-8，在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面SAC平面 ABC，SA=SC=2 3，M、N 分别为 AB、SB 的中点。（1）证明：ACSB ；（2）求二面角 NCM
14、B 的大小；（3）求点 B 到平面 CMN 的距离。考场错解 第（2）问：过 N 作 NFCM，过 F 作 FE CM 交 BC 于 E 点，则NFE 为二面角 NCMB 的平面角。 （此题只做到此处，因为不知 E、F 的位置，NFE 等于多少计算不出来） 。专家把脉 求二面角的大小时，只顾用定义作出二面角的平面角，给计算千百万麻烦或根本就算不出来，所以一般用三垂线定理来作二面角的平面角，就是便于计算。对症下药 （1）如图 10-9，取 AC 中点 D，连接SD，DB，SA=SC，AB=BC ， AC SD，且 ACBD，AC平面 SDB。又 SB 平面SDB， ACSB。#*（2 ）取 BD
15、 的中点 E，连接 NE，过 E 作 EFCM 于 F，连续 NF，平面 SAC平面ABCD，SDAC，SD 面 ABCD，又 N、E 分别为 SB、BD 的中点，NESD，NE面ABC，又 EFCM，NFCM，NFE 为二面角 NCMB 的平面角。NE= 21SD= ，在正ABC 中，由平面几何知识可求得 EF= 41MB= 2，在 RtNEF 中，tanNEF= 2EFN,二面角 NCMB 的大小是 arctan2 ；（3 ）在 RtNEF 中，NF= ,232EFS CMN= 21CMNF= 3，S CMB = 1BMCM=2 .设点 B 到平面 CMN 的距离为 h, V BCMN=V
16、N-CMB,NE平面 CMB， 3SCMN h= 31SCMB NE，h= .324即点 B 到平面 CMN 的距离为 324。2 （典型例题）在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知 AB=4，AD=3，AA 1=2，E、F 分别是线段 AB、 BC 上的点，且 EB=FB=1。（1）求二面角 CDEC1 的正切值（2）求直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值。考场错解 第（2）问：D1FDE，C 1ED 为 EC1 与 FD1 所成的角，DE=3 ，C1D=2 5，C1E= 4，cosC 1EE= ,42832084EC 1 与 FD1 所成角的余弦值为 1428。专家把脉 缺少空间
17、想象能力，题中的 D1F 与 DE 不平行，实际上 D1F 与 DE 是异面直线。对症下药 正解一：（1）如图过 C 作 CGDE，垂足为 G，连接 C1G。CC 1平面ABCD，CG 是 C1G 在平面 ABCD 上的射影，由三垂线定理得 DEC 1G。CGC 1 是二面角 CDEC1 的平面角。在ADE 中，AE=AD=3，DAE=90，ADE=45，得CDG=45，CG=CDsinCDG=2 .2tanCGC 1= G二面角 CDEC1 的正切值为 2（2）延长 BA 至点 E1，使 AE1=1，连接 DE1 有 D1C1E 1E，D 1C1=E1E，四边形 D1E1EC1是平行四边形。
18、E 1D1EC 1，于是E 1D1F 为 EC1 与 FD1 所成的角。在 RtBE 1F 中，E 1F= 26，在 RtD 1DE1 中，D 1E1= 4，在 RtD 1DF 中，FD 1= 24，#*所以在E 1FD1 中，由余弦定理得：cosE 1D1F= .142426正解二：（1）以 A 为原点， ,AB分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系,则有 D(0,3,0)、D 1（0，3 ，2） 、E（3，0 ，0） 、F（4 ，1，0 ）C1 （4 ，3，2）于是E=（3，-3，0） ， C=(1,3,2), 1FD=(-4,2,2).设向量 n=(x,y,z)为平面 C
19、1DEA 的法向量,则有 Gn,得 x=y=- z2,令 x=1,得 n=(1,1,-2),向量 1A=(0,0,2)与平面 CDE 垂直, 所与 1A成的角 为二面角 CDEC1 的平面角。;2tan,36|cos1n（2）设 EC1 与 FD1 所成的角为 ，则 cos= .142|1FDEC3 (典型例题) 如图 10-11，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PA底面ABCD，AEPD，EFCD，AM=EF。（1）证明 MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线；（2）若 PA=3AB，求直线 AC 与平面 EAM 所成角的正弦值。考场错解 第（2）问：由（1）知 PCMF，AF 为
20、AC 在面 EAM 内的射影，CAF 为 AC 与平面 EAM 所成的角，通过解三角形 FAC，解得 sinCAF= 0.AC 与平面 EAM 所成的角的正弦值为 10。专家把脉 直线 AC 与平面 EAM 所成的角不是就得不出 AF 为 AC 在面 EAM 内的射影，直线与平面所成的角必须是斜线与斜线在平面内的射影所夹的角，所以找射影是关键。对症下药（1）PA平面 ABCD，PACD，又 底面 ABCD 为正方形，CDAD ，CD平面 PAD，得平面 PCD平面 PAD，又 AE 平面PAD，AEPD， AE平面 PCD，AECD，又 EFCD AB，AM=EF，四边形AMFE 为平形四边形
21、，MFAE，MFCD，MFAB，MFPC ，MF 为异面直线AB 与 PC 的公垂线；（2）解法一：连接 BD 交 AC 于 O，连接 BE，过 O 作 OHBE ，H 为垂足，AEPD，CDPD，EF CD ，EFPD ，PD平面 MAE，又OHBE，OH DE ，OH平面 MAE。连接 AH，则 HAO 是直线 AC 与平面 MAE所成的角，设 AB=a 则 PA=3a，AO= 21AC= a，因 RtADERtPDA, 故 ED=,021,02aEDOHaPDA从而 RtAHO 中，sin HAO= .105AOH#*解法二：以 AB、 D、 P分别为 x、y、z 轴的正方向建立空间直角
22、坐标系，则A（0，0 ，0） 、E（0， a103,9） ， nABaF设),(),139,(为平面 EAM 的法向量，且 n=（x,y,z） ，可得面 EAM的一个法向量为（0，1，-3） ， C=（a,a,0）sin= 5。专家会诊空间的各种角是对点、直线、平面所组成的穿间图形的位置关系进行定性分析和宣量计算的重要组成部分，空间角的度量都是转化为平面角来实现的，要熟练掌握种类角转化为平面角的常用方法，为了实现这种转化，一是靠经验和知识的积累；二是利禄识图和画图的训练；三要以推理为主要依据，求角的一般步骤是：（1）找出或作出要求的角；（ 2）证明它符合定义；（3）在某一三角形中进行计算，得结
23、果，当然在解选择或填空题时，一些间接方法也经常用。考场思维训练1 如图，在矩形 ABCD 中， AB=1，BC=a，现沿 AC 折成二面角 DACB，使 BD 为异面直线 AD、BC 的公垂线。（1）求证：平面 ABD平面 ABC；答案：解：(1)ADCD，ADBD，AD平面 BCD，BCAD，又 BC 上 BD，BC平面 ABD，而 BC平面 ABC，故面 ABD面 ABC（2）a 为何值时，二面角 DACB 为 45；答案：面 ABD 上面 ABC，作 DEAB 于 E，则 DE平面 ABC，作 EFAC 于 F，由三垂线定理有 ACDF，DFE 为二面角 D-AC-B 的平面角在 RtA
24、DC 中，AD 2=AFAC，AF= 12a又 RtAFERtABC， EF= .28,cos, 422 aDFEDEFRtABCF中在（3）a 为可值时，异面直线 AC 与 BD 所成的角为 60。答案：作 BMAC 于 M，过点 O 作 BNAC 与 FE 的延长线交于点，则 BMFN 为矩形，且BNDNDBN 为异面直线 AC 与 BD 所成的角MF=AC-2AF= ,1,122aBDNa又在 RtBND 中 cosDBN= ,BDN#*.51,1212aa解 得2 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别为 BB1、DD 1 上的点，且AEA 1B，AF A1D。（1
25、）求证：A 1C平面 AEF答案：在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，A 1B 为 A1C 在平面 A1B1BA 内的射影，AE 上A1B，AEA1C 同理 AFA 1C，A 1C平面 AEF（2）若 AB=3，AD=4，AA 1=5，M 是 B1C1 的中点，求 AM 与平面 AEF 所成角的大小。答案：以 D 为坐标原点， ,分别为 x、y、z 轴的正方向建立空间坐标系则A(4,0,0)，M(2，3，5)，A1(4，0，5)，C(0,3,0)， )5,34()1(5,2(),54(1 CAAMCA得由为平面 AEF 的个法向量，.914234|98|sin 221 C直线 AM 与平面
26、 AEF 的所成的角为 arcsin .53 已知四棱锥 PABCD，底面是边长为 2 的正方形，侧棱 PA底面 ABCD，M、N 分别为 AD、BC 的中点。MQPD 于 Q，直线 PC 与平面 PBA 所成角的正弦值为 3如图所示。（1）求证：平面 PMN平面 PAD；答案：M、N 分别是 AD、BC 的中点，MNAD，又平面 PMN，平面 PMN平面 PAD.（2）求 PA 的长；答案：由已知 BC平面 PBA，BPC 是 PC 和平面 PBA 所成的角. PC=2,3sinPBBC可得 PA=2.（3）求二面角 PMNQ 的余弦值。答案：由（1）知，MNPM，MNQM. PMQ 是二面
27、角 PMNQ 的平面角.由（2）知PMQ为等腰直角三形.且 AM=DM=1.1052cos,.PMQ二面角 PMNQ 的余弦值为 .10命题角度 3#*空间距离1 （典型例题）在空间中，与一个ABC 三边所在直线距离都相等的点的集合是 （ ）A一条直线B两条直线C三条直线D四条直线考场错解设该点为 P，且 P 在平面 ABC 上的射影为 O，因为 P 到ABC 三边所在直线距离都相等，所以 O 到ABC 的三边直线的距离都相等，即 O 为ABC 的内心，所以本题中符合条件的点在过 0 且与平面 ABC 垂直的直线上，所以选 A。专家把脉 在平面上与一个三角形三边所在直线等距离的点不只内心一个，
28、实际任意两个角的外角平分线的交点（我们称其为傍心）也符合到三角形三边所在直线等距离对症下药 设该点为 P，且 P 在平面 ABC 上的射影为 O，因为 P 到ABC三边所在直线距离都相等，所以 O 到ABC 的三边所在直线的距离都相等，即 O 为ABC 的内心或傍心，所以本题中符合题意的点在过内心或傍心且与平面 ABC垂直的直线上，这样的直线有 4 条，所以选 D。2 （典型例题）如图 10-15，在棱长为 4 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 是正方形A1B1C1D1 的中心，点 P 在棱 CC1 上，且 CC1=4CP。（1）求直线 AP 与平面 BCC1B1 所成角的大小（结果
29、用反三角表示） ；（2）设 O 点在平面 D1AP 上的射影为 H，求证：D 1HAP；（3）求点 P 到平面 ABD1 的距离。考场错解 第（3）问：ABCDA 1B1C1D1 为正方体， AB面BCC1B1，BP AB，BP 即为 P 到平面 ABD1 的距离，在 RtBCP 中，BP= 17专家把脉 线面垂直的判定有误，错解中 BPAB，但 BP 与平面 ABD1不垂直，所以 P 到平面 ABD1 的距离不是 BP。正解一：（1）如图 10-16，连接 BP，AB 平面 BCC1B1，AP 与平面 BCC1B1 所成的角就是APB。CC 1=4CP，CC 1=4，CP=1。在 RtAPB
30、 中，PCB 为直角，BC=4，CP=1，故 BP= .7在 RtAPB 中，APB 为直角，tanAPB= ,174BPAAPB=arctan 14.(2)连接 A1C1，B 1D1，A 1B1C1D1 为正方形，D 1O A1C1 又 AA1底面A1B1C1D1，AA 1D 1O，D 1O平面 A1APC1，由于 AP 平面A1AOC1， D 1OAP。平面 D1AP 的斜线 D1O 在这个平面内的射影是D1H，D 1HAP。（3）连接 BC1，在平面 BCC1B1 中，过点 P 作 PQBC 1 于点 Q。AB 平面#*BCC1B1，PQ 平面 BCC1B1， PQAB，PQ平面 ABC
31、1D1，PQ 就是 P 到平面ABD1 的距离，在 RtC 1PQ 中，C 1QP=90，PC 1Q=45，PC 1=3，PQ= .23即点P 到平面 ABD1 的距离为 23。正解二：（1）以 DA、 、 1分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间坐标系，AB 平面 BCC1B1，AP 与平面 BCC1B1 所成的角为APB。CC 1=4CP，CC 1=4， CP=1 ，A （4 ，0，0 ） 、P（0 ，4，1） 。B（4 ，4，0） 。PA=（4，-4，-1 ） ， ),04(PcosAPB= 356|B直线 AP 与平面BCC1B1 所成的角为 arccos 356;(2)连接
32、D1O，由（1）有 D1（0，0 ，4） 、O（2，2 ，4） ， OD=（2，2，0） ， PAPA1,0又因为 D1AP 的斜线 D1O 在这个平面内的射影是 D1H。D 1HAP；（3）由正方体的性质不难得出 CB1为平面 ABD1 的一个法向量，B 1（4，4，4 ） 、C（0，4 ，0 ） 、P（0，4 ，1） =(-4,0,-4), P=(-4,0,1),2323| 11 的 距 离 为到 平 面 ABDPBd3 （典型例题）如图 10-17，在三棱锥 VABC 中，底面ABC 是以B 为直角的等腰直角三角形，又 V 在底面 ABC 上的射影在线段 AC 上且靠近 C 点，且 AC
33、=4，VA= 14，VB与底面 ABC 成 45角。（1）求 V 到底面 ABC 的距离；（2）求二面角 VABC 的大小。考场错解（1）过 V 作 VDAC ，垂足为 D，连接 BD，由已知有 VD平面 ABC，在直角三角形 VBD 中，VBD 为直线 VB与底面 ABC 所成的角， VBD=45 ，BD= ,242V 到底面 ABC 的距离等于 2。专家把脉 BD 与 AC 垂直是错误的，BD ，错误的原因是缺少函数方程思想，VD 直接计算在本题中做不到，而应设未知数，建立方程来求解。对症下药 （1）如图 10-18，在平面 VAC 中，过 V 作 VDAC 于 D，连接 BD，由已知VD平面 ABC，VBD 为 VB 与底面所成的角，VBD=45，设 CD=x,则在 RtVAD中，VD 2=VA2-AD2=14-（x-2） 2=-x2+8x-2,在直角三角形 VBD 中，VDB=90，
