1、HLLYBQ 整理 供“高中试卷网（http:/sj.fjjy.org） ”12013 年全国高中数学联赛山东赛区预赛参考答案及评分标准一、填空题（本大题共 10 个小题，每小题 8 分，共 80 分）1函数 值域是 4cos2yxR_【解析】令 ，则 1,t213,5yt2已知复数 满足 ，则 的最大值是 z2z _【解析】令 ，由 得： ，cosin1zA故 ，22112cos3zzzA当且仅当 即 时取等号，因此 的最大值是 3cs z【法二】 ，2223144zz当且仅当 时取等号，故 的最大值是 321z3如图，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB
2、、AC 于不同的两点， ，则 的值是 ,MN,ABmCnANmn_【解析】 ，122M由 M、O、N 三点共线得： ， 1n2n【法二】直线 MON 是ABC 的割线，由梅涅劳斯定理得：，即 ， 1ABCm4如果关于 的不等式 的解集是 R，则实数 的取值范围是 x1axa_【解析】令 时，有 即 ；0令 时，有 即 ，故 ；1x102a0aONMCBAHLLYBQ 整理 供“高中试卷网（http:/sj.fjjy.org） ”2当 时， ，故 总成立，0amax,11xax因此实数 的取值范围是 05已知正数 满足 ，则 的最小值是 ,bc4abcc_【解析】由已知得： ，故 ，1146ab
3、当且仅当 时取等号，因此 的最小值是 6,2abc6已知对 ， 恒成立，则实数 的取值范围是 xR2logsinaxa_【解析】当 时，有 ，由于函数 无上界，故不可能恒成立，12sin41x2sin4x当 时，有 ，若 恒成立，则 ， ，0a2sin4x2sin4xa21a20a综上，实数 的取值范围是 0,7已知 ，,ABCabcdeABabc，则符合上述条件的 共有 组cC_【解析】如右图，集合 可分为 7 个互不相交的区域，分别记为 1234567,II已知 ，元素 属于 、 中的某一个区域，共有 4 种可能，7cab4I元素 属于 、 、 、 、 中的某一个区域，各有 5 种可能，共
4、有 25 种可能，,de1I2356因此符合条件的 共有 100 组,ABC8已知函数 ，对 ，有 ，fxR21306,10524fxfxff则 2013f_I7 I6I5I4 I3I2I1HLLYBQ 整理 供“高中试卷网（http:/sj.fjjy.org） ”3【解析】由已知得： ，21131056050524f ff，31070624fff211323074ff ff9用五种不同颜色给三棱台 六个顶点涂色，ABCDEF要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有 种_【解析】当六个顶点使用三种颜色涂满时，A、B、C 三点的涂色方法共有 种，3560这时，点 D
5、、E、F 只有两种涂色方法，故共有 种涂色方法；35210当六个顶点使用四种颜色涂满时，A 、B、C、D 三点的涂色方法共有 种，45120A这时，点 E、F 只有三种涂色方法，故共有 种涂色方法；45360A当六个顶点使用五种颜色涂色涂完时，先用五种颜色涂不同的五点的涂色方法有 种，567这时，余下的那一点只有两种涂色方法，共有 种涂色方法；56214综上知，满足题意的所有不同的涂色方法共有 1920 种10假设实数 满足 ，且 的图像上存在两条切线垂直，,bc21sincosfxabx则实数 的取值范围是 a_【解析】由已知得： ， 2iifxabc，其中 ，cosfxsin,os若 的图
6、像上存在两条切线垂直，incabx则存在实数 使得： ， （*）12,12scs1axax即 ，2 21cosco0x 从而 ， ，1s40x12cscosxxDA BECFHLLYBQ 整理 供“高中试卷网（http:/sj.fjjy.org） ”4又 ， ，12cos,cos1xx12coscsxx故 ，2,于是（*）式化为 ，解得 ，因此实数 的取值范围是 20aaa0二、解答题（本大题共 4 个小题，前两个小题各 15 分，后两个小题各 20 分，共 70 分）11 （本小题满分 15 分）如图所示，在长方体 中，1ABCD已知 ，,2,c若对角线 上存在一点 P 使得 ，11BC求实
7、数 的取值范围c【解析】以点 D 为原点，分别以 1,AD为 轴的正向，建立空间直角坐标系,xyz则 ，设 ，11120,0,2,0BcCc11,2PDBc则 ，1PCPB ，222940cA由 ，解得： ，因此实数 的取值范围是 22816160c1c10,412 （本小题满分 15 分）已知椭圆 的243xy内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点 ，12,F求该平行四边形面积的最大值【解析】由已知得： ，如图所示，12F由于四边形 ABCD 是椭圆的内接四边形，所以原点 O 是其对称中心，且 12ABCDABFS四 边 形，1211212AFBFFSADyy当直线 AD 的斜率存在时，设
8、其方程为 ，kxPx yzD1 C1B1A1 D CBAGODCB AF1 F2yxHLLYBQ 整理 供“高中试卷网（http:/sj.fjjy.org） ”5代入椭圆方程，整理得： ，2234410kxk由韦达定理得： ，228,3ADADx ，22 143AD ADkykkxx ，22148961634ABCDADkSyk 当直线 AD 的斜率不存在时，易得： ， ，3,2AD26ABCDADSy综上知，符合条件的椭圆内接四边形面积的最大值是 6【法二】求出 ，再求出 AD 与 BC 间的距离 ，亦可解出2134kAD 21kd13 （本小题满分 20 分）已知数列 的前 项和 满足 n
9、anS*naN 试求数列 的通项公式；na 设 ，求证：列 的前 项和 11nnncnc125nP【解析】 ， ，作差得： ，*nnSaN11nnSa1*nnaN又当 时， ，故 12n 由已知得：当 时， ，结论成立，125P当 时，2n1223 11n nnaaa 12122 1 22innnina HLLYBQ 整理 供“高中试卷网（http:/sj.fjjy.org） ”61 12 2413342inn nini i ，结论也成立，2125n综上知，对 ， 都成立*nN5nP14 （本小题满分 20 分）已知 均为正整数，且 ， 是一素数， 的 进制表,nabnabp,nabp示分别为 ，其中 ，用 表000sssiiiiiinpp,1,0,2iiis x示不超过 的最大整数，用 表示集合 A 中元素的个数，证明：x 若 ，且对整数 有 ，0,01,2siindpis 0js1i iijjdpp则 ；sij ijijijp ， p!nab1!nab,01,2iiabns【证明】 ， ，12jjjppp 1j iijp ，1ii iijijijjj j ij ijj j ijdddn dpppp ijjij 不会做
