1、第二章 機率,2-1 集合的基本概念,2-2 樣本空間與事件,目錄,2-3 機率,2-4 數學期望值,2-1,2-1,集合的基本概念,2-2.1 集合的表示法,描述一個集合除了用文字敘述外，另有兩種表示法：,1.表列法,2-2.1 集合的表示法 (續),1.購式法,一般來說對於元素個數較多或元素個數為無限個的集合，用構式法較為方便。,2-1.2 集合與集合之間的關係,一、子集（部分集合）,2-1.2 集合與集合之間的關係 (續),二、空集合,例題1,例題1,例題1 (續),隨堂練習1,若集合 A 有9個相異元素，則 A 的子集共有幾個？,2-1.2 集合與集合之間的關係 (續),三、集合的相等
2、,例題2,隨堂練習2,2-1.3 集合與集合之間的運算,一、交集,2-1.3 集合與集合之間的運算(續),二、聯集,2-1.3 集合與集合之間的運算(續),三、差集,2-1.3 集合與集合之間的運算(續),四、字集 (基集) 與補集 (餘集),2-1.3 集合與集合之間的運算(續),例題3,例題3 (續),隨堂練習3,例題4,例題4 (續),隨堂練習4,2-1.4 元素個數與笛摩根定律,1.若集合 A 的元素個數為有限時， 表示集合 n(A) 的元素個數。由圖示法我們可以得到：,2-1.4 元素個數與笛摩根定律 (續),2-1.4 元素個數與笛摩根定律 (續),例題5,例題5,例題5 (續),
3、隨堂練習5,在1到300的自然數中，試求 (1) 不是3的倍數共有幾個？ (2) 3或5的倍數共有幾個？,2-2,2-2,樣本空間與事件,2-1 樣本空間與事件,(1)樣本空間：一個隨機試驗中，所有可能發 生的結果所形成的集合，稱為此試驗的樣本空間，通常以 S 表示。,(2)樣本：樣本空間中的每一個元素，稱為一個樣本。,(3)事件：樣本空間中的每一個子集，稱為一個事件。,2-1 樣本空間與事件,(5)不可能事件：空集合為樣本空間中之一子集，稱為不可能事件或空事件。（例如：擲一粒公正骰子，出現點數7的事件）,(6)餘事件：以樣本空間為宇集，事件 A 的餘集 A 稱為 A 的餘事件。,(4)必然事
4、件：樣本空間本身，即 稱為必然事件或全事件。（例如：擲一枚硬幣出現正面或反面的事件）,2-1 樣本空間與事件 (續),(8)積事件：發生事件 A 且發生事件 B 的事件，即 AB 。,(9)互斥事件： 表樣本空間中兩事件，若 AB，稱 A、B 為互斥事件。,(7)和事件：發生事件 A 或發生事件 B 的事件，即 AB。,例題1,投擲一枚均勻硬幣二次，觀察其出現正面或反面，試寫出：(1)樣本空間 S。(2)出現一正面一反面的事件 E。,(1) (x,y)x 為硬幣第一次投擲出現情形， 為硬幣第二次投擲出現情形 (正,正),(正,反),(反,正),(反,反) 。,例題1 (續),(2)每一枚硬幣都
5、有正面與反面，投擲 二次，發生一正面一反面的可能情形 為 (正,反),(反,正)，故樣本空間 (正, 反),(反,正) 。,隨堂練習1,1.投擲一枚均勻硬幣三次，觀察其出現正面或反面，試寫出：(1)樣本空間 S。 (2)出現正面恰好二次的事件 E。,例題2,投擲一粒公正骰子兩次，觀察其出現的點數，試寫出：(1)兩次的點數和為6的事件。 (2)兩次的點數相同的事件。,(1)設 (x,y) 表 ( 第一次點數 , 第二次點數)，則點數和為6的事件為 (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) 。,例題2 (續),(2)點數相同的事件為 (1,1),(2,2),(3,3),(4,4)
6、,(5,5),(6,6) 。,隨堂練習2,同時擲一粒公正骰子及一枚均勻硬幣，試寫出：(1)樣本空間 S。(2)骰子點數為偶數且硬幣出現反面的事件。,例題3,由甲、乙、丙、丁四人中任選兩人參加比賽，試寫出：(1)樣本空間 S。 (2)乙入選的事件 E。,例題3 (續),隨堂練習3,由1到10共10個自然數中，每次取一個數，試寫出：(1)樣本空間 S。(2)取到質數的事件 E。,2-3,2-3,機 率,2-3.1 機率的定義,定義2.1,2-3.1 機率的定義,這個定義是由法國數學家拉普拉斯（Pierre Simon Laplace）所提出的，所以又稱拉普拉斯古典機率。,例題1,投擲一粒公正骰子（
7、即各種點數出現的機會相等），試求下列各事件發生的機率：(1)點數為奇數點。(2)點數為3的倍數。,例題1 (續),隨堂練習1,同時投擲三枚均勻硬幣，試求下列事件發生的機率：(1)恰有二個反面。(2)至少有一個反面。,例題2,同時投擲兩粒公正骰子，試求點數和小於10的機率。,例題2,例題2 (續),隨堂練習2,投擲二粒公正骰子，求下列各事件發生的機率：(1)點數和為6。(2)至少有一粒出現6點。,例題3,甲、乙、丙三人合住一室，每天抽籤決定一人打掃，試求在三天中恰好每人各打掃一天的機率？,隨堂練習3,三張牌分別寫上1，2，3號碼，任意分給2位男生和1位女生各一張牌，求女生分到3號牌的機率？,例題
8、4,設袋中有10顆大小相同的球，其中2顆是白球，3顆是紅球，5顆是黑球，甲自袋中隨機同時取3顆球，每顆球被取出的機會均等，試求這三顆球皆異色的機率。,例題4 (續),隨堂練習4,一個袋子中有5顆紅球、3顆白球、2顆黑球和1顆黃球，如果球的大小、重量皆一樣，由袋中取出二球，每顆球被取出的機會均等，球的顏色相同的機率是多少？,2-3.2 機率的性質,根據拉普拉斯古典機率的定義，我們可以導出下列機率的性質：,2-3.2 機率的性質 (續),例題5,例題5 (續),隨堂練習5,例題6,同時投擲三粒公正骰子，試求三粒骰子中至少有一粒點數為1的機率。,例題6 (續),隨堂練習6,同時投擲四枚均勻硬幣，求至
9、少出現一次正面的機率。,例題7,例題7 (續),例題7 (續),隨堂練習7,隨堂練習7 (續),2-4,2-4,數學期望值,2-4 數學期望值,定義2.2,2-4 數學期望值 (續),定義2.2,2-4 數學期望值 (續),定義2.2,例題1,投擲一粒公正骰子，若出現點數為1時，則可得30元，試求期望值。,隨堂練習1,1設袋中有大小相同的紅球3顆、白球7顆，現自袋中任取一球，每顆球被取出的機會均等，若取到紅球可得50元，取到白球可得10元，求期望值。,例題2,立軒投擲兩枚均勻硬幣，若出現兩正面可得8元，若恰出現一正面，可得4元，若出現兩反面則可得2元，求立軒的期望值。,隨堂練習2,投擲兩粒公正
10、骰子，若出現相同點數則可得獎金600元，求期望值。,例題3,同時投擲兩粒公正骰子，若兩粒骰子出現的點數相同可得220元，否則需賠50元，求此次投擲所得金額的期望值。,例題3 (續),隨堂練習3,立容投擲一粒公正骰子，若出現奇數點，則可得5元，若出現2或6點則損失3元，若出現4點則損失6元，求立容投擲此骰子的期望值。,例題4,某種刮刮樂彩券，總共發行10000張，其中有1張獎金300000元，有200張獎金1000元，有2000張獎金100元，試求買一張彩券可得獎金的期望值，若彩券每張售價為100元，試問購買這種彩券是否有利？,例題4 (續),隨堂練習4,袋中有十元硬幣5枚、五元硬幣20枚，立雯
11、由袋中任取一枚，求期望值。,例題5,某人自一整副全新的撲克牌中隨機抽牌，每次一張，抽出後放回，如此抽了三次，求抽出黑桃張數的期望值。,例題5 (續),隨堂練習5,某種刮刮樂彩券有8格，其中300元，500元，800元，1200元各佔有二格；今任意排列，顧客任意刮二格。若刮出的二格金額相同，即可得此金額獎金，則顧客對此彩券的期望值為多少元？,隨堂練習5 (續),例題6,有一單選題，共有四個選項，其中恰有一選項是正確的。若答對此題可得6分，答錯則倒扣 x 分。為了公平起見（即考生以猜答方式答題在此題得分的期望值為0），則 x 的值應為多少？,例題6 (續),隨堂練習6,立雯投擲兩粒公正骰子，若點數和為質數，可得7元，為了公平起見，若點數和不為質數，則立雯應賠幾元？,End,
