1、1,集合及其运算,实数的性质,小结 作业,区间与邻域,第一节 集合与实数集,第一章 函数,确界与确界原理,2,1. 集合(set)概念与记号,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该,一、集合及其运算,集合,元素,(简称元),(集),元素(element).,集合的,通常以大写字母,等表示集合,以小写字母,等表示集合的元素.,否则记,记作,或,3,集合分类,有限集,无限集,只含有限个元素;,不是有限集的集合.,列举法,表示集合方法有两种,描述法,把集合的全部元素一一列出来,例,考察由下列元素,可以用列举法将其表示成,列举法有很大的局限性.,组成的集合,外加花括号.,4,如:,由
2、不超过,的奇数组成的集合,其元素有50亿个,要把它们全部写出来,且有很多集合, 其元素是,很多纸张!,根本无法一一罗列出来.,得用,很多时间,不可数的,更常用的是列出规定这个集合特定性质P 的办法来表示集合,就是,描述法.,花括号中竖线前的x,而竖线后,是 M 中元素的通用符号,则是 x 所具有的性质.,可用列举法表示为,的根组成的集合,也可用描述法表示为,例,由方程,5,对几个常用的数集规定记号如下,数集的字母的,数集内排除0的集.,“”,“”,数集内排除0与负数的集.,全体非负整数即自然数的集合,N,即,N,全体正整数的集合为,N+,全体整数的集合记作,Z,即,Z,右上角,标上:,6,全体
3、有理数的集合,即,Q,Z,N+,全体实数的集合,R为排除0的实数集,R+为全体正实数的集.,记作Q,记作R,全体复数的集合记作,C,即,C,R,7,两个集合,一般地,如,则,子集,则称,集合A与B相等,记作,则称,2. 集合(set)的关系及集合的运算,(1) 集合的关系,子集,(读作A包含于B),或,(读作B包含 A).,集合相等,记作,8,如,空集.,不含任何元素的集合称为,则称,真子集,记作,如,N,Z,Q,R.,真子集,空集,规定,空集为任何集合的子集.,今后在,提到一个集合时,一般都是,如不加特别声明,非空集.,9,2. 集合(set)的关系及集合的运算,集合的基本运算有三种:,并集
4、,交集,差集.,即,记作,设 A, B 是两个集合,由所有属于A,称为A与B的,并集,AB,AB ,(2) 集合的运算,于B元素,或者属,组成的集合,10,称为A与B的,记作,即,交集,由所有既属于A,由所有属于A,称为A与B的,差集,记作,即,又属于B元素,集合的基本运算有三种:,并,交,差.,AB,AB,组成的集合,而不属于B的元素,组成的集合,两个集的并与交可推广到任意多个集,推广,并与交.,11,研究某个问题时所考虑的对象的全体,记作,例如,则,余集或补集.,AB,AB,并用 I 表示,称为,全集或基本集,并把差积,特别称为A的,例如,在实数集R中,集合,的余集,12,3. 集合(se
5、t)的运算法则,为任意三个集合,则下列法则成立:,(1) 交换律,AB,=BA,AB,=BA ;,(2) 结合律,( AB ) C,= A ( B C ) ,( AB ) C,= A ( B C ) ;,(3) 分配律,( AB )C,= ( A C )( B C ) ,( AB )C,= ( A C ) ( B C ) ;,(4) 对偶律,(AB)C,= AC BC ,(AB)C,= AC BC ;,13,(5) 幂等律,AA,AA,(6) 吸收律,A,= A,= A;,= A,A,=,4. 直积 (乘积集或笛卡儿乘积),法国数学家、哲学家(Descartes 15961650年),设 A,
6、B 是两个集合,则称,为 A, B 的,直积.,如,又如,即为xOy面上,全体点的集合,常记作,即,14,5. 逻辑符号,在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号,“ ”,表示 “任取 ”, 或“任意给定”.,“ ”,表示 “存在 ”,“至少存在一个”,或“能够找到”.,如实数的阿基米德 (Archmed) 公理是这样叙述的:,任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个,自然数n,用逻辑符号,将阿基米德公理改写:,Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写,Exist(存在)的 字头E的倒写,练习,15,符号,“ ”,表示 “蕴含 ”,或 “推出”.,符号,“ ”,表示 “等价 ”,或 “充分
7、必要”.,16,二、实数的性质,实数的性质:,1. 实数对加减乘除运算是封闭的;,2. 实数是有序的;,3. 实数具有稠密性;,4. 实数与数轴上的点一一对应.,17,常用的不等式.,(1). 绝对值(absolute value)不等式,运算性质,绝对值不等式,18,(2). 伯努利(Bernoulli)不等式,(3). 平均值不等式,用数学归纳法可证上面两个不等式.,19,三、区间与邻域,称为,称为,开区间,闭区间,1. 区间,20,称为,有限区间,无限区间,半开半闭区间.,全体实数的集合R 也可记作,是无限区间.,21,区间长度的定义,两端点间的距离(线段的长度),称为区间的,今后在不需
8、要辨明所论区间是否包含,有限区间、,称它为,“区间”,常用I 表示.,长度.,无限区间的场合,端点、,简单地,22,2. 邻域(neighbourhood),数集,即,邻域,记作,几何表示,23,有时简记为,去心(空心),即,两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形,区域.,如,即为xOy平面上的矩形区域,这个区域在x轴与y,轴上的投影分别为闭区间,和闭区间,24,四、确界与确界原理,对于有限数集,一定有最大值和最小值.,如,但对于无限数集,就未必有最大值和最小值.,如,没有最大值和最小值.,Maximum minimum,25,定义1: 设E为一非空数集,如果存在数M,使得对,则称M是E的一个
9、上界,下界,若数集E既有上界又有下界,则称E为有界数集,否则就称为无界数集.,思考:,1. 若数集E有上(或下)界,则其上(或下)界是否唯一?,2. 是否任何一个数集都有上(或下)界?,26,结论:,任何一个有限区间都是有界数集,任何一个无限区间都是无界数集.,定义2(确界).,设E为一非空数集,若数,是E的一个上 界,且对E的任意一个上 界,上确界(最小的上界).,记作,(下),(下),下确界(最大的下界).,Supermum infimum,27,例 设,求其上(下)确界.,思考:,一个有界数集是否一定有上(下)确界?若有,是否唯一?,28,定理1(确界原理),一个非空有上(下)界的数集必
10、存在上(下)确界.,由实数理论可证.,定理2,(1) 设E是有上界的非空数集,记,实数的完备性或连续性,(2) 设E是有下界的非空数集,记,利用反证法可证.,进一步说明上（下）确界是最小（大）的上（下）界,29,结论：,(1) 设E是有上界的非空数集,则,(2) 设E是有下界的非空数集,则,定义3（确界）,30,定理3,若数集E包含了它的一个上界,则,例 设,求其上(下)确界.,31,例,设E是非空的有界数集,定义,试证明：,证明：,则,从而,32,五、小结,集合,集合概念,集合的运算,实数的性质,确界与确界原理,区间,邻域,33,作业 习题1.1 P7-8,(A) 10.(3),(B) 7.(1) 8.（1） 10.,
