1、1具随机扰动和 B-D 功能反应的捕食系统的正解全局存在性基金资助：国家自然科学基金项目（10971240） ；重庆市自然科学基金科研项目（No.CSTC2008BB2364） ；重庆市教委科研项目（No.KJ080806） ；? 作者简介：谢伟忠，男（1986.11）硕士生，研究方向为随机微分方程 。 摘 要：讨论一类具有 Beddington-DeAngelis功能性反应的随机捕食系统的正解的全局存在性。首先，建立在随机白噪声的干扰环境下，具有 B-D功能反应的捕食系统的数学模型? ?dx(t)=x(t)r?1(t)-a?1(t)x(t)-b?1(t)y(t)(t)+(t)x(t)+(t)
2、y(t)dt+?1x(t)dB?1(t)?dy(t)=y(t)r?2(t)-a?2(t)y(t)+b?2(t)x(t)(t)+(t)x(t)+(t)y(t)dt+?2y(t)dB?2(t)? 然后借助 Lyapunov函数的方法和伊藤公式，在假设（A）：?r?i(t)，b?i(t)?有界；?a?i(t,(t),(t),(t)0)?且有界成立的情况下，证明正解在有限时间内不爆破，即正解是全局存在的。? 2关键词：布朗运动；伊藤公式；Beddington-DeAngelis 捕食模型；存在性? 中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1673-0992（2011）1-0373-02? 1.引
3、言? 在生物种群动力学的研究中，各种功能性反应的食饵捕食系统广泛受到关注。由于 Holling-类功能性反应 Lotka-Volterra的食饵捕食系统只与被捕食者有关，1975 年，J.R. Beddington和 D.L. DeAngelis在捕食模型中引入了 Beddington-DeAngelis功能性反应函数1，2（即捕食者以 Beddington-DeAngelis功能性反映函数 xya+bx+cy来消费食饵） ，建立了具有 Beddington-DeAngelis功能性反应的捕食食饵模型。近年来，一些学者对具有 Beddington-DeAngelis功能反应的捕食系统模型的稳定
4、性、持续性、唯一性、周期解的存在性等动力行为进行了研究。? 自从日本数学家伊藤清（K.Ito）创立随机微分方程理论以来，随机微分方程得到了迅速发展，并广泛应用各个领域。在现实世界中，生物系统常常会受到环境噪声，特别是白噪声的影响，研究在随机干扰环境下的生物系统就显得十分必要。最近，一些学者曾研究种群系统的随机模型5-7，但是，对于具有 B-D功能反应的捕食系统，仍未考虑其随机干扰因素。? 3本文将考虑在随机噪音的干扰环境下，一类具有 Beddington-DeAngelis功能性反应的捕食系统的数学模型。利用 Lyapunov函数的方法和 Ito公式，获得该系统正解全局存在性的充分条件。? 2
5、?蹦兔枋龊妥急釜? 引进记号?R?2?+=xR?2：x?i0,i=1,2?，a.s.表示几乎必然。设?(,F,F?t?t0?,P)?是完备的概率空间，具有流?F?t?t0?满足通常条件（即单调递增右连续，且?F?0?是包含所有的零测集） 。设?B(t)=(B?1(t),B?2(t),.,B?m(t),)?T,t0?是定义在这个概率空间上 m维标准布朗运动。? 具有 Beddington-DeAngelis功能性反应函数的食饵-捕食系统为：? ?dx(t)=x(t)r?1(t)-a?1(t)x(t)-b?1(t)y(t)(t)+(t)x(t)+(t)y(t)dt?dy(t)=y(t)r?2(t)
6、-a?2(t)y(t)+b?2(t)x(t)(t)+(t)x(t)+(t)y(t)dt?(1)? 其中，?x(t),y(t)?表示两个具有捕食关系的两个种群在?t?时刻的密度（?y 捕食 x?） ，且具有 Beddington-DeAngelis功能性反应和密度制约，?r?i(t)，a?i(t)，b?i(t)，(t)，(t)，(t)?表示生物意义下连续有界的连续函数。? 我们假设系统出生率死亡率受到白噪声随机扰动，即? ?r?1(t)r?1(t)+?1B?(t),r?2(t)+?2B?2(t)?，? 4这里?B?i(t)?为独立的白噪音且 B?i(t)=0，t0,i=1,2?宝要?i,i=1,
7、2代表白噪音的强度。那么系统（1）成为具有随机扰动和Beddington-DeAngelis功能性反应的捕食系统：? ?dx(t)=x(t)r?1(t)-a?1(t)x(t)-b?1(t)y(t)(t)+(t)x(t)+(t)y(t)dt+?1x(t)dB?1(t)?dy(t)=y(t)r?2(t)-a?2(t)y(t)+b?2(t)x(t)(t)+(t)x(t)+(t)y(t)dt+?2y(t)dB?2(t)?(2)? 初值满足?(x(0),y(0)R?2?+,B?i(t)?是标准独立的布朗运动。不失一般生物意义，我们总是假设系统（2）满足? （A）：?a?i(t),(t),(t),(t)0
8、?且有界；?r?i(t)?，?b?i(t)?有界。? 考虑一般伊藤型 n维随机微分方程：? ?dx(t)=f(x(t),t)dt+g(x(t),t)dB(t),0t?(3)? 这里?f:R?nR?+R?n?和?g:R?nR?+R?nm?都是 Borel可测的。? 设方程(3)具有初值?x(0)=x?0?，其中?x?0?是 F?0上可测的?R?n?值的随机变量满足 Ex?2?0，那么这个方程等价于如下的随机积分方程：? ?x(t)=x?0+?t0f(x(s),s)ds+?t0g(x(s),s)dB(s),0t?.? 总所周知，下面的伊藤公式是研究随机微分方程（3）的重要工具引5理(伊藤公式)5，
9、6：设?x(t),(t0)?是方程（3）的解，?VC?2?1?(R?nR?+,R)?，则?V(x(t),t)?仍是伊藤过程，且具有随机微分：? ?dV(t),t)=V?t(x(t),t)+V?x(x(t),t)f(t)+12trace(g?T(t)V?xx?(x(t),t)g(t)dt+V?x(x(t),t)g(t)dB(t)?a.s.? 3?闭?解的全局存在性? 当假设（A）满足时，下面我们给出不论白噪音的强度多大（?i?有多大） ，方程（5）正解在有限时间内不爆破，即正解是全局存在的。我们主要借助于毛学荣等关于随机种群系统解存在性的Lyapunov函数方法5-7。? 定理 1：假设（A）成
10、立，则对任意给定的初值?(x(0),y(0)R?2?+?。则方程（2）存在唯一正解?（x(t),y(t)）R?2?+(t0)?a.s.? 证明：显然方程（2）系数是局部 Lipschitz连续的，对任意给定初值(x(0),y(0)R?2?+则方程（2）存在唯一的局部解?（x(t),y(t)(t0,?e)其中 ?e?是爆破时间,那么要这个解全局存在，只需要证明?e=?a.s.? 设?k?00 足够大，使(x(0),y(0)?的每一个分量都落在1k?0,k?0中，定义停时?k?=inf?t0,?e：x(t)?6?(1k,k)或 y(t)?(1k)?，其中?kk?0?，令 inf?吉?=（?嘉?空集
11、） ，显然当?k?时，?k?单调递增，令?=?lim?k?k?则?e?，a.s.如果能够证明?=?，a.s.则?e=?，a.s.也就是(x(t),y(t)R?2?+(t0)，a.s.换句话说也就是要证明?=?，a.s.。? 若不然，则存在常数?T0 和 R?2?+（t0）?，使P?T.则存在 k?1k?0，当 kk?1 时有P?T。(4)? 当?u0?时，?u-1-?ln?u?0。由此我们定义一个 C?2非负函数 V：?V：R?2?+R?+V(x,y)=(x-1?-ln?x)+(y-1-ln y)?,当(x(t),y(t)R?2?+(t0)时，由伊藤公式有：? ?dV(x(t),y(t)=(1
12、-x?-1?(t)x(t)? r?1(t)-a?1(t)x(t)-a?1(t)x(t)-b?1(t)y(t)(t)+(t)x(t)+(t)y(t)dt+?1x(t)dB?1(t)+?(1-y?-1?(t)y(t)r?2(t)-a?2(t)y(t)+b?2(t)x(t)(t)+(t)x(t)+(t)y(t)dt+?2y(t)dB?2(t)+?0?5x?-2?(t)x?2(t)?2?1dt+0?5y?-2?(t)y?2(t)?2?2dt?=(x(t)-1)r?1(t)-a?1(t)x(t)-b?1(t)y(t)(t)+(t)x(t)+(t)y(t)+(y(t)-1)r?2(t)-a?2(t)y(t
13、)+b?2(t)x(t)(t)+(t)x(t)+(t)y(t)+?0?5?2?1+0?5?2?2dt+?1x(t)-?1dB?1(t)+?2x(t)-7?2dB?2(t)?=r?1(t)x(t)-a?1(t)x?2(t)-b?1(t)x(t)y(t)(t)+(t)x(t)+(t)y(t)-r?1(t)+a?1(t)x(t)+b?1(t)y(t)(t)+(t)x(t)+(t)y(t)+r?2(t)y(t)-a?2(t)y?2(t)+b?2(t)x(t)y(t)(t)+(t)x(t)+(t)y(t)-r?2(t)+a?2(t)y(t)-b?2(t)x(t)(t)+(t)x(t)+(t)y(t)+0
14、?5?2?1+0?5?2?2dt+?1x(t)-?1dB?1(t)+?2x(t)-?2dB?2(t)=-a?1(t)x?2(t)+r?1(t)+a?1(t)x(t)-a?2(t)y?2(t)+r?2(t)+a?2(t)y(t)+b?2(t)-b?1(t)x(t)y(t)+b?1(t)y(t)-b?2(t)x(t)(t)+(t)x(t)+(t)y(t)-r?1(t)-r?2(t)+0?5?2?2dt+?1x(t)-?1dB?1(t)+?2x(t)-?2dB?2(t)=F(x(t),y(t)dt+?1x(t)-?1dB?1(t)+?2s(t)-?2dB?2(t)? 其中? ?F(x(t),y(t)
15、=-a?1(t)x?2(t)+r?1(t)+a?1(t)x(t)-a?2(t)y?2(t)+r?2(t)+a?2(t)y(t)+b?2(t)-b?1(t)x(t)y(t)+b?1(t)y(t)-b?2(t)x(t)(t)+(t)x(t)+(t)y(t)-r?1(t)-r?2(t)+0?5?2?1+0?5?2?2? 记 x(t)=x，y(t)=y，r?i(t)=r?i(t)=r?i，a?1(t)=a?i，b?i(t)=b?i，(t)=，(t)=，(t)=，? 8易得：? ?(b?2-b?1)xy+b?1y-b?2x+x+yb?2-b?2xy+b?1y+b?2xx+yb?2-b?1xy+b?1y+
16、b?2x(x+y)?(=)b?2-b?1xy(x+y)+b?1yy+b?2xb?2-b?1（x+y）?24(x+y)+b?1yy+b?2xx=b?2-b?1(x+y)4+b?1+b?2=b?2-b?1(x+y)4+b?1+b?2-4?1-r?2+0?5?2?1+0?5?2?2? ?因为 a?i0，且有界：r?i，b?i 有界，显然 F（x,y）有上界，设 K0，? ?则 dV(x(t)，y(t)dtK+?1x(t)-?1dB?1(t)dt+?2x(t)-?2dB?2(t)dt? ?对上式从 0到 T?k（表示 min（?k） ）积分得到? ?廓?T?k?0?dV(x(t),y(t)?廓?T?k
17、?0?Kdt+?廓?T?k?0?1x(t)-?1dB?1(t)+?2y(t)-?2dB?2(t)? 因为 x(T?k)R?n?+，对上式两边取期望：? ?EV(x(T?k)，y(T?k)V(x(0),y(0)+KE(T?k)+V(x(0)，y(0)+KT? ?式中及下面 E（f）表示 f的数学期望。? 令 ?k=?kT(kk?1)，则式（4）可写成 P（?k）。对每一个 ?k，由停时的定义存在 x(?k，)或9y(?k，)等于 k或 1k，从而 V（x(T?k)，y(T?k)）不小于k-1-?ln?k或 1k-1-?ln?1k=1k-1+?ln?k?，即总有? ?V(x(T?k)，y(T?k)
18、k-1-?ln?k?1k-1+?ln?k? 由此知?V(x(0),y(0)+KT1?釜?k?（）V(x?k),y(T?k)k-1-?ln?k? 其中 1?釜?k?()表示 ?k 的特征函数。令 k，则V（x(0),y(0)）+KT=? 所以 ?= a.s.定理得征。? 参考文献：? 1JRBeddington.Mutual interference between parasites or predators and its effect on searching efficiencyJ Animal Ecol， 1975， 44(1)： 331-340? 2DLDeAngelis，RAGol
19、dstein，RVOneillA model for trophic interactionJ Ecology, 1975,56：881-892? 3Cantrell R S., Cosner C. On the dynamics of predator?Cprey models with the Beddington?CDeAngelis functional response, J. Math.Anal. Appl.，257 (2001) 206?C222.? 4袁立伟，杨志春.具有 Beddington-DeAngelis 功能性反应的三维离散顺环捕食系统的持久性，重庆师范大学学报，v.
20、26(4),2009.? 5X. Mao, G. Marion and E. Renshaw, Environmental Brownian 10noise suppresses explosions in Population dynamics, Stochastic Processes and their Applications, 97 (2002), 95 110.? 6X. Mao, G. Marion and E. Renshaw, Asymptotic behavior of the sochastic Lotka Volterramodel, J. Math. Anal. Appl., 287 (2003), 141 156.? 7 ARNOLD L. Stochastic differential equations:Theory and ApplicationsM.New York:Whiley,1972:8-28.
