1、1两个含时滞的耦合网络间的同步摘 要：本文在李常品等人对复杂网络间同步问题研究的基础上，得出含时滞的复杂网络间局部同步的充分条件。? 关键词：复杂网络；同步；时滞 ? 中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1673-0992（2011）1-0382-01 引言? 近些年复杂网络同步问题成为研究的热点，之前有很多专家学者在复杂网络领域得出了很多重要的结论，但多是在网络内部进行研究得出的结论，但在研究过程中我们越来越发现网络间（两个网络）是否会有同步发生成为当下讨论的热点，其中李常品等人研究了不含时滞的两个网络同步。由于实际情况是离不开时滞现象的。本文在其基础上讨论了含时滞的两个复杂网络之
2、间的同步问题。? 定义 2.1.1 对任意的矩阵?A=(a?ij?)?mn?和?B=(b?ij?)?pq?R?pq?，矩阵?A 与 B?的克罗内克积定义为：? ?A?B=a?11?B a?12?B a?1n?B?a?21?B a?22?B a?2n?B? ? ?螵?a?m1?B a?m2?B 2a?mn?BR?mpnq? 引理 2.1.1 令 R，A，B，C，D 是具有适当维数的矩阵.那么克罗内克积有如下的性质：? ?(i)(A)?B=A?(B)?； ? ?(ii)(A+B)?C=A?C+B?C?； ? ?(iii)(A?B)(C?D)=(AC)?(BD)? 引理 2.1.2 对任意的向量 x
3、,yR?n 和 n 阶方阵 P0，下面的线性矩阵不等式恒成立：? ?x?Ty+y?Txx?TPx+y?TP?-1?y. ? 由2等基础上得以下系统? ?i(t)=f(x?i(t)+(H-?f(s)?s)x?i(t)-y?i(t)2+c?2N?j=1?ijb?ij?2x?j(t-(t)?（2.1）? ?(t)=f(y?i(t)+(H-?f(s)?s)y?i(t)-x?i(t)2+c?2N?j=1?ijb?ij?2y?j(t-(t)?(2.1)? 其中其中?1iN,f()?是连续可微的函数，?x?i=(x?i1?(t),x?i2?(t)，x?in?(t)?TR?n?是结点 i 的状态变量，?y?i
4、(t)=(y?i1?(t),y?i2?(t)，y?in?(t)?TR?n?是输出变量，?x?i(t-(t)=(x?i1?(t-?1(t)?,?x?i2?(t-?2(t)，x?in?(t-?n(t)?T，?1(t)，是时变时滞且 0?1(t)?1，l=1,2,n.?i1，i=1，n?。在这个网络模型3中，?A(t)=(a?ij?)?NN?和?B=(b?ij?)?NN?分别描述在无时滞和有时滞情况下网络的耦合关系,?a,b?分别表示在无时滞和有时滞情况下网络在 t 时刻的拓扑结构和耦合强度.?1,?2?分别表示在无时滞和有时滞情况下网络在 t 时刻的拓扑结构和耦合关系，矩阵?A(t)=(a?ij?
5、)?NN?和?B=(b?ij?)?NN?对角线元素分别定义为：? ?a?ij?=-N?j=1?ij，b?ii?=-N?j=1?ijb?ij?，i-1，2，N a?ij?=1 节点 i，j 有关联?0 节点 i，j 无关联 b?ij，?与之定义相同 ? 令?e?1(t)y?i(t)-x?i(t)2，s?i(t)=x?i(t)+y?i(t)2? 所以?x?i=s?i-e?i，y?i=s?i+e?i?，?f(x?i(t),f(y?i(t)?现在?s?i?处泰勒展开后作差得? ?f(x?i(t)=f(s?i(t)+?f(s?i(t)?s?i(s?i(t)-s?i(t)+? =f(s?i(t)-?f(s
6、?i(t)?s?ie?i+（2?3）? f(y?i(t)=f(s?i(t)+?f(s?1(t)?s?i(y?i(t)-s?i(t)+? =f(s?i(t)+?f(s?i(t)?s?ie?i+（2?4）? 将（2?3） ， （2?4）带入（2?1） ， （2?2）作差后得误差系统如下? ?=He+c?2?2?C?Te(t-(t)? 其中 e(t)=(e?1(t),e?2(t),e?n(t)?T? 4e(t-(t)=(e?1(t-(t),e?2(t-(t)，e?n(t-(t)?T? e?i(t-(t)=y?i(t-(t)-x?i(t-(t).? y?i(t-(t)=(y?i1?(t-?1(t),y
7、?i2?(t-?2(t)，y?in?（t-?n(t)）?T? x?i(t-(t)=(x?i1?(t-?1(t),x?i2?(t-?2(t),，x?in?(t-?n(t)?T? 由 LMI 方法，取李雅普洛夫函数? ?V=ee?T+?廓?t?t-(t)?e(u)c?2?2?C?Te?T(u)du? dVdt|?2?5?=2e?THe+2e?Tc?2?2?C?Te(t-(t)+e?Tc?2?2?C?Te(t)? -e?T(t-(t)c?2?2?C?Te(t-(t)+(1-(t)? ?2e?THe+2e?Tc?2?2?C?Te(t-(t)+e?Tc?2?2?C?Te(t)? -(1-)e?T(t-(
8、t)c?2?2?C?Te(t-(t)? e?T(2H+c?2?2?C?T)e+(1-)e?T(t-(t)c?2?2?C?Te(t-(t)? +1(1-)e?Tc?2?2?C?Te-(1-)e?T(t-(t)c?2?2?C?Te(t-(t)? =e?T(2H+1(1-)c?2?2?C?T)e? 若?2H+1(1-)c?2?2?C?T0?所以方程（2?5）的零解一5直渐进稳定，所以网络间局部同步得证明。? 结论:本文从理论上证明了两个含变时滞的复杂网络在一定条件下可以达到局部同步，如何得出更加符合实际的网络模型，是以后的工作重点。 参考文献：? 1王立夫等，复杂网络输出同步，东北大学学报Jvol29.NO6Jun22008? 2李常品等，两个网络间的相互同步，应用数学学报J,vol23Dec2009? 3廖晓昕，稳定性理论，方法和应用M武汉华中理工大学出版社1999? 4闰醴民非自治系统渐近稳定性的几个判据J数学杂志,1985，4:385-392? 5李克难，微分方程渐近稳定性定理的推广及应用J.应用数学学报,1989,12(1):54-64
