1、1第 5 章 真空中的静电场5.1 物质的电结构实验证明,自然界中存在两种电荷,分别称为正电荷和负电荷.它们之间存在相互作用力,同种电荷相互排斥,异种电荷相互吸引.物体所带电荷的多少称为电量,用 q 或 Q 表示,电量的单位取库仑（C）.实验还表明,在自然界中,存在着最小的电荷基本单元 e,任何带电体所带的电量只能是这个基本单元的整数倍,即(5.1),(21ne电荷的这一特性称为电荷的量子性.实验测得这基本单元的电量为(5.2).()(. CCe 191906204602173、由于 e 的量值非常小,在宏观现象中不易观察到电荷的量子性,常将电量 Q看成是可以连续变化的物理量,它在带电体上的分
2、布也看成是连续的.由物质的电结构可知,原子中一个电子带一个单位负电荷,一个质子带一个单位正电荷,其量值就是 ,原子失去电子带正电,原子得到电子带负Ce19062.电.随着人们对物质结构的认识,1964 年盖尔曼（M Gell-Mann）等人提出了夸克模型,认为夸克粒子是物质结构的基本单元,强子（质子、中子等）是由夸克组成的,而不同类型的夸克带有不同的电量,分别为 或 .截止 1995 年,核e312子的 6 个夸克已全部被实验发现,可靠的依据也证明了分数电荷的存在.但到目前为止还没有发现自由状态存在的夸克 .我们已经知道,在正常情况下物体不带电,呈电中性,即物体上正、负电荷的代数和为零.当物体
3、呈带电状态时,是由于电子转移或电子重新分配的结果,在电子转移或重新分配的过程中,正、负电荷的代数和并不改变.大量实验表明,把参与相互作用的几个物体或粒子作为一个系统,若整个系统与外界没有电荷交换,则不管在系统中发生什么变化过程,整个系统电荷量的代数和将始终保持不变.这一结论称为电荷守恒定律,它是自然界中一条基本定律.实验还发现,一切宏观的、微观的,物理的、化学的、生物的等过程都遵守电荷守恒定律.25.2 库仑定律实验表明,带电体之间的相互作用与带电体之间的距离和所带电量有关,也与带电体的大小、形状、电荷在带电体上的分布情形以及周围介质的性质有关.所以在通常情况下,两个带电体之间的相互作用表现出
4、与多种因素有关的复杂情形.当带电体的线度与带电体之间的距离相比小得多时,带电体的大小、形状对所研究问题的影响可以忽略,这样的带电体称为点电荷.显然,点电荷的概念与质点、刚体等概念一样,是对实际情况的抽象,是一种理想化的物理模型.一个带电体能否看成点电荷,必须根据具体情况来决定.一般的带电体不能看成点电荷,但总可以把它看成是许多点电荷的集合体,从而能由点电荷所遵从的规律出发,得出我们所要寻找的结论.本节我们讨论真空中点电荷间的相互作用.两点电荷之间的相互作用是库仑(C.A.Coulomb,17361806)通过扭称实验于1785 年总结出来的,其内容为：真空中两静止点电荷之间的相互作用力的大小与
5、它们所带电量的乘积成正比 ,与它们之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着两电荷的连线,同号电荷相斥(为正),异号电荷相吸(为负),这一结论称为库仑定律.其数学表达式为( 5.3 )rqkF21k 为比例系数,在 SI 单位制中,实验测得其数值为22CmNCmN991010875.为使由库仑定律导出的其它公式具有较简单的形式,通常将库仑定律中的比例系数写为( 5.4 )041k其中 0 为真空的电容率(或真空中的介电常数),于是库仑定律又可写为(5.5)rqF2014图 5.1(a)表示两个同号电荷的作用力是排斥力；图 5.1(b)表示两个异号电荷的作用力是吸引力.值得指出的是,库仑定律只适用于
6、描述两个相对于观察者为静止的点电荷之3的相互作用,这种静止电荷的作用力称为静电力（或库仑力）.空气对电荷之间的作用影响较小,可看成是真空.例题 5.1 三个点电荷 和 Q 所处的位置如图 5.2 所示,它们所带的电21q、量分别为 ， .求 对 Q 的作用力.Cq6210. C6104.21q、解：本问题一般是先利用库仑定律求出 分别对 Q 的作用力 F 21、和 F ,然后求出它们的合力.由本问题的对称性可知 F 和 F 的 y 分量大小相等,方向相反,因而互相抵消.Q 所受 之合力方向沿 x 21q、轴正向.由库仑定律得 对 Q 的作用力大小为N290430121984266210 . r
7、qFN54.cosx所以 Q 所受 之合力大小为21q、46023.cos FFfxx作业(P120)：5.645.3 电场和电场强度一、静电场关于电荷之间如何进行相互作用,历史上曾经有过两种不同的观点.一种观点认为这种相互作用不需要媒质,也不需要时间,而是直接从一个带电体作用到另一个带电体上的.即电荷之间的的相互作用是一种“超距作用”.这种作用方式可表示为、另一种观点认为,任一电荷都在自己的周围空间产生电场,并通过电场对其它电荷施加作用力,这种作用方式可表示为、大量事实证明,电场的观点是正确的.电场是一种客观存在的特殊物质,与由分子、原子组成的物质一样,它也具有能量、质量和动量.二、电场强度
8、不同的带电体系具有不同的电场,同一电荷体系的电场在空间具有一定的分布.为了定量的描述电场中各点电场的性质,引入一新的物理量电场强度.电场的一个重要性质,就是对置于其中的电荷施加作用力.为此,在电场中引入电量为 的试探电荷来研究电场的性质.所谓试探电荷是这样一种电荷,首先0q它所带的电量要非常小,一致由于它的引入使原电场发生的改变可以忽略；其次它的几何尺寸亦必须非常小,一致可以看作点电荷.实验证明,在给定的场点处,试探电荷 所受的电场力 F 与 之比为一常矢量,与 的大小无关；不同的场点,0q0q0q比值不同.可见比值 F/ 揭示了电场的性质 ,所以我们可将这一比值定义为电场0强度,简称电场,用
9、 E 表示,即(5.6)0qF上式说明,静电场中任意一点的电场强度其大小等于单位试探电荷在该点所受到的电场力,其方向与正电荷在该点的受力方向相同.通常 E 是空间坐标的函数.若 E 的大小和方向均与空间坐标无关,这种电场称为匀强电场.在 SI 单位制中.电场强度的单位为牛顿/库仑（N C -1）,或伏特/ 米（Vm -1）5三、叠加原理和电场强度的计算1. 单个点电荷产生的电场考虑真空中的静电场是由电量为 q 的点电荷产生的,试探电荷 在其中的0qP 点所受的电场力可由库仑定律式（5.5）得rF204式中 r 是点 P 相对于点电荷的位置矢量,r 是这位置矢量的大小,由电场强度的定义式（5.6
10、）则得 P 点处的电场强度为(5.7)rqrqFE30204上式表示,点电荷在空间任一点 P 所产生的电场强度 E 的大小,决定于这个点电荷的电量和点 P 到该点电荷的距离.电场强度 E 的方向与这个点电荷的符号有关,q 为正,电场强度 E 的方向与位置矢量 r 的方向相同； q 为负,电场强度 E 的方向与位置矢量 r 的方向相反.电场强度在空间呈球对称分布 .2. 场强的叠加原理 多个点电荷的电场强度考虑空间存在 n 个点电荷.实验证明,在它们的电场中任一点 P 处,试探电荷所受的电场力 F 等于各点电荷分别单独存在时 所受电场力的矢量和,并利0q 0q用电场强度的定义得：(5.8) iq
11、FEi 0/、上式表明,在点电荷系的电场中,任意一点的电场强度等于每个点电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和,这一结论称为场强的叠加原理.(5.9)iirqE3041、3. 任意带电体产生的电场任意带电体的电荷可以看成是很多极小的电荷元 dq 的集合,每一个电荷元dq 在空间任意一点 P 所产生的电场强度 ,与点电荷在同一点产生的电场强度相同.整个带电体在 P 点产生的电场强度就等于带电体上所有电荷元在 P 点场强的矢量和.如果点 P 相对于电荷元 dq 的位置矢量为 r,则电荷元 dq 在 P 点产生的电场强度,进而整个带电体在 P 点产生的电场强度为：6(5.10) rdqErdq
12、E 30304141、).(.).(1354125303030、rdlSrVE应该注意,式(5.10) (5.13)都为矢量式.实际应用中多用标量式(投影式) ,如E 沿 X 轴的投影式为cos204rdqExx式中 表示 r 与 X 轴的夹角.例题 5.2 如图 5.3 所示,有两个电量相等而符号相反的点电荷 + q 和 - q,相距 l . 求在两点电荷的中垂面上任一点 P 的电场强度.解：以 l 的中点为原点建立坐标系,如图设点 P 到点 O 的距离为 r.电荷 + q 和- q 在点 P 产生的电场强度分别用 表E、示 ,它们的大小相等为44120/lrqE它们的方向如图所示.点 P
13、的电场强度 E 为 的矢量和,即 、 EE 的 x 分量为2320xx 441coss /)(lrqE 的 y 分量为siniyE所以,点 P 的电场强度大小为7、XlrqEx 2320441/)(当 时,这样一对电量相等、符号相反的点电荷所组成的系统,称为电偶极子.lr从负电荷到正电荷所引的有向线段 l 称为电偶极子的轴 .电量 q 与电偶极子的轴 l 的乘积,定义为电偶极子的电矩,用表示,即(5.14)lqp由于 ,故有 ,所以在电偶极子轴的中垂面上任意一点的电lr3224rr/)(场强度可表示为(5.15)304rpE电偶极子是一个很重要的物理模型,在研究电介质极化,电磁波的发射和吸收等
14、问题中都要用到该模型.例题 5.3 有一均匀带电细直棒,长为 L,所带总电量为 q .直棒外一点 P 到直棒的距离为 a,求点 P 的电场强度 .解：如图 5.4 所示,设直棒两端至点P 的连线与 x 轴正向间的夹角分别为,考虑棒上 x 处的元段 dx,其带电21、量 ,它在 P 点产生的电场dLqd强度大小为204lxE其中 l 是微元 dx 到 P 点的距离, dE 的方向如图所示.计算其沿 x 轴和 y 轴的分量分别积分得： cos204lxdExx )sin(i1204aLq210dco)s(sin21004421 aLqdaEy讨论 1) 对于半无限长均匀带电细棒（ ）则21210,
15、/,、8有；aEx04aEy042) 对于无限长均匀带电细棒（ ）则有21,(5.16)ayx0,作业(P120)：5.9，5.1095.4 高斯定理一、电力线（电场线）为了对电场有一个比较直观的了解,可用图示的方法形象地描绘电场中的电场强度分布状况.为此在电场中作一系列有向曲线,使曲线上每一点的切线方向与该点的场强方向一致,这些有向曲线称为电力线（又称电场线）,简称 E 线.为了使电力线不仅能表示出电场中各点场强的方向,而且还能表示出场强的大小,我们规定：电场中任一点场强的大小等于在该点附近垂直通过单位面积的电力线数,即(5.17)(、EdSN按此规定,电场强度的大小 E 就等于电力线密度,
16、电力线的疏密描述了电场强度的大小分布,电力线稠密处电场强,电力线稀疏处电场弱.匀强电场的电力线是一些方向一致,距离相等的平行线.静电场的电力线具有以下特点：（1）电力线起自正电荷（或来自无穷远）,终止负电荷（或伸向无穷远）,但不会在无电荷的地方中断,也不会形成闭合线.（2）因为静电场中的任一点,只有一个确定的场强方向,所以任何两条电力线都不可能相交.二、电通量通过电场中某一个曲面的电力线数称为通过该曲面的电通量。(5.18) )()(coscbaSdEe 、若对封闭曲面,并规定面元法向 n 的正向为从面内指向面外,则上式可表示为：10(5.19) 、0SedE三、高斯定理高斯（K.F.Gaus
17、s ,1777-1855 年）是德国物理学家和数学家,他在实验物理和理论物理以及数学方面都做出了很多贡献,他导出的高斯定理是电磁学的一条重要规律.定理反映了静电场中任一闭面电通量和这闭面所包围的电荷之间的确定数量关系.下面在电通量概念的基础上,利用场的叠加原理推导高斯定理.1、包围点电荷 q 的球面的电通量以点电荷 q 所在点为中心,取任意长度 r 为半径,作一球面 S 包围这个点电荷 q ,如图 5.6（a）所示,据点电荷电场的球对称性知 ,球面上任一点的电场强度E 的大小为 ,方向都是以 q 为原点的径向,则电场通过这球面的电通量为：204r 042020 qdSrdSrSdEe此结果与球面的半径 r 无关,只与它包围的电荷有关 .即通过以 q 为中心的任意球面的电通量都一样,均为 q/ ,用电力线的图象来说,即当 q 0 时, 0 ,点0 e电荷的电力线从点电荷发出不间断的延伸到无限远处；q0 时, 0 ,电力线从无限远不间断地终止到点电荷.2、包围点电荷的任意封闭曲面 S的电通量S和球面 S 包围同一个点电荷 q ,如图 5.6（a）所示,由于电力线的连续性,可
