1、第三章 分式3.1 分式一、教学目标1.在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感.2.了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系.3.掌握分式有意义的条件，认识事物间的联系与制约关系.二、教学过程.创设问题情境，引入新课面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限固沙造林 2400 公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多 30 公顷，结果提前 4 个月完成任务.原计划每月固沙造林多少公顷？这一问题中有哪些等量关系？如果原计划每月固沙造林 x 公顷，那么原计划完成一期工程需要_个月，实际完成一期工程用了_个月.根据题意，可得方程_.
2、根据题意，我认为这个问题的等量关系是：实际固沙造林所用的时间+4=原计划固沙造林所用的时间.（1）这个问题的等量关系也可以是：原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林的公顷数.（2）在这个问题中，涉及到了三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.工作量=工作效率工作时间.如果用第（1）个等量关系列方程，应如何设出未知数呢？因为第（1）个等量关系是工作时间的关系，因此需用已知条件和未知数表示出工作时间.题中的工作量是已知的.因此需设出工作效率即原计划每月固沙造林 x 公顷.原计划完成一期工程需 个月，x240实际完成一期工程需 c 个月，3根据等量关系（1）可列出方程：+4= .3024
3、xx用等量关系（2）设未知数，列方程呢？因为等量关系（2）是工作效率之间的关系，根据题意，应设出工作时间.不妨设原计划 x 个月完成一期工程，实际上完成一期工程用了（x4）个月，那么原计划每月固沙造林的公顷数为 公顷，实际每月固沙造林 公顷，根据题意可得方程x240420x.3240x同学们观察我们列出的两个方程，有什么新的发现？我们设出未知数后，用字母表示数的方法，列出几个代数式，表示出我们需要的基本量.如 ， , .这些代数式和整式不同.我们虽然列出了方程，但分母中含有字x2403024x母，要求出它的解，好像很不容易.像 这样的代数式同整式有很大的不同，而且它是以分数的形式出,4现的，它
4、们是不同于整式的一个很大的家族，我们把它们叫做分式.2.例题讲解（1）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？5x7,3x 21, , ,5, , , .13ab7)(pnm122xy7cb54（2）当 a=1，2 时，分别求分式 的值.a当 a 为何值时，分式 有意义？2当 a 为何值时，分式 的值为零？1（1）中 5x7,3x 21, ,5, 是整式； , , 是分7)(pnm123ab22xycb54式.（2）解：当 a=1 时， = =1;21当 a=2 时， = = .43当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.由分母 2a=0，得 a=0.所以，当 a 取零以外的任何
5、实数时，分式 有意义.a21分式的值为零，包含两层意思：首先分式有意义，其次，它的值为零.因此 a 的取值有两个要求： 012a所以，当 a=1 时，分母不为零，分子为零，分式 为零.a21三、随堂练习1.当 x 取什么值时，下列分式有意义？（1） ；（2） ;（ 3）8912x12x分析：当分母的值为零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.解：（1）由分母 x1=0，得 x=1.所以，当 x 取除 1 以外的任何实数时，分式 都有意义.18x（2）由分母 x29=0，得 x=3.所以，当 x 取除 3 和3 以外的任何实数时，分式 都有意义.92（3）由分母 x2+1 可知，x 取任何实
6、数时，x 2 是一个非负数，所以 x2+1 不管 x 取何实数时，x 2+1 都不会为零.即 x 取任何实数， 都有意义 .12.把甲、乙两种饮料按质量比 xy 混合在一起，可以调制成一种混合饮料，调制 1 kg这种混合饮料需多少甲种饮料？解：根据题意，调制 1 kg 这种混合饮料需 kg 甲种饮料.yx3.2 分式的乘除法一、教学目标1.分式乘除法的运算法则，2.会进行分式的乘除法的运算.二、教学过程探索、交流观察下列算式： = , = ,32547925 = = , = = .437295猜一猜 =? =?abcd观察上面运算，可知：两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积
7、作为积的分母；两个分数相除，把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘.即 = ;abcd = = .ab这里字母 a,b,c,d 都是整数，但 a,c,d 不为零.1.分式的乘除法法则两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.2.例题讲解例 1计算：（1） ;（2） .yx343aa21分析：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式.解：（1） =yx34323xy= = ;2x（2） aa12= = .)()(2例 2计算：（1
8、）3xy 2 ;（2） xy641a2分析：（1）将算式对照分式的除法运算法则，进行运算；（2）当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路.解：（1）3xy 2 =3xy2xy6yx= = x2;2y（2） 41a2= 414a2= )()22= )1()(12aa= )(3.做一做通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多.因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是 d，已知球的体积公式为 V= R3（其中 R 为球的半径） ，那么4（1）西瓜瓤与整个西瓜的体积各
9、是多少？（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？（3）买大西瓜合算还是买小西瓜合算？我们不妨设西瓜的半径为 R,根据题意，可得：（1）整个西瓜的体积为 V1= R3;4西瓜瓤的体积为 V2= （Rd） 3.（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比为：= =134)(R3)(=（ ） 3=（1 ） 3.d（3）我认为买大西瓜合算.由 =（1 ） 3 可知，R 越大，即西瓜越大， 的值越小， （1 ）的值越大，2VRdRd（1 ） 3 也越大，则 的值也越大，即西瓜瓤占整个西瓜的体积比也越大，因此，买Rd12大西瓜更合算.三、随堂练习1.计算：（1） ;（2） （a 2a） ;（3） b1yx2212.化简：
10、（1） ;362xx2（2） （abb 2） ba解：1.（1） = = = ;2a1（2） （a 2a） =（a 2a）1= =（a1） 2)(=a22a+1（3） = yx2yx12= =（x1）y=xyy.)(12.（1） 362xx2= )(= )3(2)(xx=（x2） （x+2）=x 24.（2） （abb 2） ba=（abb 2） =2)(ba=b.3.3 分式的加减法一、教学目标1.同分母的分式的加减法的运算法则及其应用.2.简单的异分母的分式相加减的运算.二、教学过程问题一：从甲地到乙地有两条路，每条路都是 3 km，其中第一条是平路，第二条有 1 km 的上坡路、2 km
11、 的下坡路.小丽在上坡路上的骑车速度为 v km/h,在平路上的骑车速度为2 v km/h,在下坡路上的骑车速度为 3v km/h,那么（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间?（2）她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？问 题 二 ： 某 人 用 电 脑 录 入 汉 字 文 稿 的 效 率 相 当 于 手 抄 的 3 倍 ， 设 他 手 抄 的 速 度 为 a 字 /时 ，那么他录入 3000 字文稿比手抄少用多少时间？答案：问题一，根据题意可得下列线段图：（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为（ + ）h.v132（2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为 h.但要求出
12、小丽走哪条路花费的时间少.就需要比较（ + ）与 的大小，少用多少时间，就需要用它们中的较大者v132v减去较小者，便可求出.如果要比较（ + ）与 的大小，就比较难了，因为它们的分母中都含有字母.2比较两个数的大小，我们可以用作差法.例如有两个数 a,b.如果 ab0，则 ab;如果 ab=0,则 a=b；如果 ab0,则 ab.显然（ + ）和 中含有字母，但它们也是用来表示数的，所以我认为可以用实v132v数比较大小的方法来做.如果用作差的方法，例如（ + ） ，如何判断它大于零，等于零，小于零呢？132v做一做（1） + =_.a2（2） =_.x4（3） + =_.113x同分母的分
13、数的加减是分母不变，把分子相加减，例如 + = =1347134.130我认为分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样，应该是分母不变，把分子相加减.解：（1） + = = ;a21a3解：（2） = ;x42x解：（3） +1213= )()(x= = 1x异分母的分数加减时，可利用分数的基本性质通分，把异分母的分数加减法化成同分母的分数加减法例 1计算：（1） + ;（2） +a351x例 1中的第（1）题，一个分母是 a,另一个分母是 5a，利用分式的基本性质，只需将第一个分式 化成 = 即可.解：（1） + = +a351a5= = = ;)(（2） + = +1x12x= =1)
14、(2x3x三、计算：（1） ;b（2） + ;a（3） b解：（1） = = ;xb3x2（2） + = + = = ;a2a1（3） = bb= = .)(3.4 分式方程一、教学目标1.了解分式方程的一般步骤.2.了解解分式方程验根的必要性.二、教学过程解方程 + =2213x5624x（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数 6，得3（3x1）+2（5x +2）=62（4x2）.（2）去括号，得 9x3+10x+4=124x +2,（3）移项，得 9x+10x+4x=12+2+34,（4）合并同类项，得 23x=13,（5）使 x 的系数化为 1，两边同除以 23，x= .231例
15、1 解方程： =4x30248解：方程两边同乘以 2x，得600480=8x解这个方程，得 x=15检验：将 x=15 代入原方程，得左边=4，右边=4，左边=右边 ,所以 x=15 是原方程的根.例 2 .解方程：（1） = ;（2） + =2.3x41025分析先总结解分式方程的几个步骤，然后解题.解：（1） =去分母，方程两边同乘以 x（x1） ，得3x=4（x1）解这个方程，得 x=4检验：把 x=4 代入 x（x 1） =43=120，所以原方程的根为 x=4.（2） + =21025去分母，方程两边同乘以（2x1） ，得105=2（2x1）解这个方程，得 x= 47检验：把 x= 代入原方程分母 2x1=2 1= 0.4725所以原方程的根为 x= .
